\Annee{2004}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{Fran\c{c}ois \textsc{B\'eguin}}
\Date{2004/05/01}
\Titre{Quelqu'un aurait-il vu passer un polyn\^ome ?}
\Niveau{\DEUGi} 
                
\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\Experimental} 
\AnglesSecondaires{} 
\Theme{\Polynomes} 
\ThemesSecondaires{} 

\Objectif{
Cet exercice a \'et\'e propos\'e en travail en groupe de quatre.
La plupart des \'etudiants, avec un peu de temps, arrivent \`a trouver
un \'enonc\'e satisfaisant (existence et unicit\'e avec la condition
de degr\'e). Le plaisir d'avoir fabriquer un th\'eor\`eme les a marqu\'e. 

Il est assez rejouissant de voir des \'etudiants trouver \'egalement eux-m\^eme
la formule d'interpolation, alors qu'il y a souvent un blocage quand on la leur donne
d'embl\'ee. Notons que la preuve de l'unicit\'e est tr\`es difficile
\`a trouver pour eux (bien que tr\`es courte).
}

\begin{exo}
%%%%%%%%%%%%
\partie{Introduction}

Tous les  logiciels de dessin assist\'e par  ordinateur, poss\`ede une
fonction de trac\'e de courbe passant par des points sp\'ecifi\'es~:
avec la souris,  on marque un certain nombre  de points sur l'\'ecran,
et  l'ordinateur se charge  de trouver  une courbe  qui passe  par ces
points.  Quitte \`a utiliser assez de points, on peut ainsi
tracer n'importe quel contour. 

Comment l'ordinateur fait-il pour trouver une courbe qui passe par des
points  donn\'es~?   En  fait,  en  g\'en\'eral,  il  cherche  un
polyn\^ome  dont le  graphe  passe par  ces  points (une  fois un  tel
polyn\^ome  trouv\'e,  l'ordinateur  n'a  aucun  mal  \`a  tracer  son
graphe). Mais un tel polyn\^ome existe-t-il toujours~? Si oui, comment
l'ordinateur fait-il pour le trouver~? 

%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{\'Enonc\'e}

On  est  donc  confront\'e  au  probl\`eme  math\'ematique  suivant  :
\emph{si  on  se  donne un  certain  nombre  de  points dans  le  plan
  $\bbR^2$, existe-t-il  des polyn\^omes dont le graphe  passe par ces
  points~?  en existe-t-il un  seul~?  sinon,  en existe-t-il  un plus
  simple que les  autres~? quand il en existe  un, peut-on trouver une
  formule le donnant~? }  


On  vous   demande  d'essayer   de  ``fabriquer''  un   \'enonc\'e  de
th\'eor\`eme qui r\'eponde \`a  toutes ces question.  Bien s\^ur, pour
cerner l'\'enonc\'e le plus pr\'ecis et le plus ``joli'' possible, il
faut  commencer  par  ``exp\'erimenter''.   Voici quelques  pistes  de
recherche  (avec l'id\'ee :  quand un  probl\`eme est  trop difficile,
\emph{il faut essayer de le simplifier}, par exemple en commen\c cant 
par des cas  particuliers...)~: 
\begin{itemize}
\item Avez-vous une id\'ee intuitive de la r\'eponse ?

\item Essayer  avec 2 points.  Comment peut-on formuler  le r\'esultat
  dans ce cas-l\`a ? Essayer de donner le ``meilleur'' \'enonc\'e possible.

\item Que dire si tous les points sont situ\'es sur l'axe des abscisses
  (par exemple avec trois ou quatre points)~? 

\item Que dire si tous les points \emph{sauf un} sont sur l'axe des
  abscisses~? Si tous les points \emph{sauf deux} sont sur l'axe des
  abscisses~?...
\end{itemize}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Bilan}

%\setlength{\leftmargini}{12pt}

Rappelons qu'\'etant donn\'e un nombre fini de points dans le
plan, on  cherche  \`a r\'epondre  aux questions  suivantes~:
existe-t-il  toujours  un polyn\^ome  dont  le  graphe  passe par  ces
points~?   ce polyn\^ome est-il  unique~? en  existe-t-il un  qui soit
``plus  simple  que  les   autres''~?   peut-on  trouver  une  formule
d\'efinissant ce polyn\^ome~? 

La  r\'eponse  \`a  toutes   ces  questions  est  r\'esum\'ee  par  le
th\'eor\`eme suivant. 
\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}
Soient $M_1,\dots,M_n$ des points deux \`a deux distincts dans 
$\bbR^2$. Notons $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$ les coordonn\'ees de ces
points, et  supposons que les abscisses $x_1,\dots,x_n$  sont deux \`a
deux distinctes. Alors  il existe un unique polyn\^ome  $P$ de degr\'e
inf\'erieur ou \'egal \`a 
$n-1$  dont  le  graphe  passe  par les  points  $M_1,\dots,M_n$~;  ce
polyn\^ome est donn\'e par la formule suivante~:
$$P(x)=\mathop{\sum}_{k=1}^{n}y_k\mathop{\prod}_{i\neq
  k}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}.$$ 
\end{enonce1*}

La formule ci-dessus a \'et\'e d\'ecouverte par le math\'ematicien
Joseph Louis Lagrange (voir sa biographie \`a la fin du texte)~; on parle du ``polyn\^ome
de  Lagrange associ\'e  aux  points $M_1,\dots,M_n$''.  Notons que  le
th\'eor\`eme~1 est un r\'esultat tr\`es satisfaisant~: c'est un r\'esultat
d'existence et d'unicit\'e, 
le  degr\'e du  polyn\^ome ne  croit pas  tr\`es vite  en  fonction du
nombre de points, et on a une formule tr\`es facile \`a rentrer dans un
ordinateur si  on souhaite  faire des calculs  explicites.  Remarquons
par ailleurs que ce r\'esultat est optimal, au sens o\`u~: 
\begin{itemize}
\item[--] l'hypoth\`ese sur les abscisses des points $M_1,\dots,M_n$
est n\'ecessaire~; en effet, si ces abscisses ne sont pas deux \`a deux
distinctes, alors il ne passe aucun graphe de fonction par les points
$M_1,\dots,M_n$~;  en  particulier,  il   ne  passe  aucun  graphe  de
polyn\^ome~;
\item[--] le polyn\^ome exhib\'e dans l'\'enonc\'e ci-dessus est de
degr\'e minimal~; en effet, sauf si les points $M_1,\dots,M_n$ sont dispos\'es
de  fa\c{c}on  sp\'eciale, il  n'existe  aucun  polyn\^ome de  degr\'e
strictement inf\'erieur \`a $n-1$ dont le graphe passe par les points 
$M_1,\dots,M_n$~;
\item[--] d\`es que $d$ est sup\'erieur ou \'egal \`a $n$, il
existe une infinit\'e  de polyn\^omes de degr\'e $d$  dont les graphes
passent par les points $M_1,\dots,M_n$.  
\end{itemize}

Revenons maintenant  \`a la  question du trac\'e  de courbes  dans les
logiciels de DAO (dessin assist\'e par ordinateur).  Rappelons de quoi
il s'agit~:  pour dessiner  un objet, les  logiciels de  DAO proposent
habituellement \`a  l'utilisateur de placer avec la  souris un certain
nombre de  points par lesquels doit  passer le contour  de l'objet \`a
dessiner~; l'ordinateur se charge alors de trouver une courbe qui passe
par  ces points.
Math\'ematiquement, une courbe est une application de l'intervalle
$[0,1]$ dans le plan $\bbR^2$. On peut chercher une courbe
polyn\^omiale, c'est-\`a-dire sous la forme 
$$
t \longmapsto (P(t),Q(t))
$$
o\`u $P$ et $Q$ sont des polyn\^omes.

 Les polyn\^omes 
de Lagrange fournissent en th\'eorie une solution \`a ce
probl\`eme.  N\'eanmoins, ces  polyn\^omes ne  sont  jamais utilis\'es
tels quels par les logiciels de dessin. Ceci est d\^u au ph\'enom\`ene
d\'ecrit ci-dessous.

Supposons qu'on veuille tracer un contour ayant la forme suivante~: 
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm,angle=-90]{lagrange01.eps}
\end{center}
  On  place  7  points r\'eguli\`erement  r\'epartis  sur  ce
contour,  et on  trace le  polyn\^ome de  Lagrange associ\'es  \`a ces
points. On obtient ceci~:
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm,angle=-90]{lagrange02.eps}
\end{center}
Le graphe  du polyn\^ome de Lagrange approche  assez bien le
contour  souhait\'e  dans  la  zone  situ\'e  vers  le  milieu  de  la
fen\^etre, mais pas  tr\`es bien sur les c\^ot\'es.  Il devrait suffir
de rajouter des points... Avec 10 points~; on obtient ceci~:
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm,angle=-90]{lagrange03.eps}
\end{center}
 H\'elas, ca ne s'arrange pas~! En fait, \c ca a m\^eme tendance \`a
empirer~:  sur les  c\^ot\'es,  le graphe  du  polyn\^ome de  Lagrange
s'\'eloigne   du   contour   souhait\'e.   Ce   ph\'enom\`ene   s'appelle
\emph{ph\'enom\`ene de Runge}. On  peut v\'erifier  qu'augmenter le
nombre de  points ne  fait qu'accentuer le  ph\'enom\`ene.  On  est en
fait confront\'e  au probl\`eme suivant~: \emph{m\^eme  si deux courbes
ont beaucoup de points en commun, ces courbes ne sont pas n\'ecessairement
proches  (entre deux  points communs  successifs, les  courbes peuvent
s'\'eloigner  beaucoup l'une  de l'autre)}.  Les  solutions trouv\'ees
dans les logiciels de dessins sont de deux types~:
\begin{itemize}
\item faire des ``polyn\^omes de Lagrange'' par morceaux~: si on
cherche   une  fonction   dont  le   graphe  passe   par   les  points
$M_1,\dots,M_n$, on peut consid\'erer  le polyn\^ome de Lagrange $P_1$
associ\'e  aux points  $M_1,M_2,M_3$, le  polyn\^ome de  Lagrange $P_2$
associ\'e aux  points $M_2,M_3,M_4$,  le polyn\^ome de  Lagrange $P_3$
associ\'e  aux points  $M_3,M_4,M_5$, etc.,  puis faire  une  sorte de
combinaison  de ces  polyn\^omes  pour trouver  une  fonction dont  le
graphe  passe par tous  les points  $M_1,\dots,M_n$. Ceci  diminue les
effets de bords~; 
\item utiliser des polyn\^omes dont le graphe ne passe pas
exactement par les points  sp\'ecifi\'es, mais seulement pr\`es de ces
points, et qui approche mieux le contour qu'on veut dessiner (en fait,
qui   approche   mieux  la   ligne   bris\'ee   joignant  les   points
successifs).    On peut alors utiliser une autre famille de
polyn\^omes, appel\'es \emph{polyn\^omes de Tchebychev}. 
\end{itemize}

Bien  entendu, Lagrange,  qui  est  mort en  1813,  n'a pas  invent\'e
les polyn\^omes  qui portent son nom pour  r\'esoudre des probl\`emes
de dessin sur ordinateur.  Le  but de  Lagrange  \'etait  de  montrer qu'on  peut
approcher  n'importe quelle  fonction par  une fonction  tr\`es simple
(ici une fonction polynomiale). Cette d\'emarche est \`a rapprocher de
celle du math\'ematicien et physicien Joseph Fourier (1768-1830) qui a
expliqu\'e comment approcher toute  fonction par une somme de fonctions
sinus et de cosinus. Terminons avec quelques indications sur la
vie et l'oeuvre de Lagrange.

\partie{Bibliographie}
 \textbf{Joseph Louis Lagrange (1736-1813)} est n\'e \`a Turin,
alors capitale  du royaume de Sardaigne, dans  une famille bourgeoise,
mais   relativement   peu  fortun\'ee.   Son   int\'er\^et  pour   les
math\'ematiques  na\^{\i}t  de  la   lecture  des  travaux  de  Halley  sur
l'utilisation  de   l'alg\`ebre  en  optique.   Ses  premiers  travaux
math\'ematiques,  portant sur l'application  du calcul  des variations
\`a la m\'ecanique, lui valent d'\^etre \'elu membre de l'Acad\'emie
de  Berlin d\`es  l'\^age  de  vingt ans.  Il  continue cependant  \`a
enseigner  \`a Turin  jusqu'en 1766,  date \`a  laquelle il  finit par
accepter un  poste prestigieux  \`a Berlin. Il  passera vingt  ans \`a
Berlin, avant de rejoindre Paris o\`u il terminera sa carri\`ere comme
Membre  de  l'Acad\'emie  des  Sciences et  professeur  d'Analyse  \`a
l'\'Ecole Polytechnique (cr\'e\'ee en 1794). 

Lagrange est l'un des plus grands math\'ematiciens de son \'epoque. Il a
apport\'e une contribution essentielle \`a des domaines aussi divers que~:
\begin{itemize}
\item[--] la m\'ecanique (il d\'eveloppe par exemple une
th\'eorie perturbative des orbites  des plan\`etes qu'il applique pour
expliquer certaines caract\'eristiques de l'orbite de la Lune),
\item[--] l'analyse des fonctions (c'est lui qui clarifie les notions de
d\'eriv\'ee,  et  l'\'enonc\'e   du  th\'eor\`eme  des  accroissements
finis), 
\item[--] l'approximation de fonctions (il introduit \`a ce propos les 
``polyn\^omes de Lagrange''), 
\item[--] la  r\'esolution des \'equations  polynomiales (par exemple,
  il  montre que  si $P$  est un  polyn\^ome \`a  coefficients r\'eels
  $a_1,\dots,a_n$, alors la valeur absolue de chaque racine r\'eelle de
  $P$ est inf\'erieure \`a $1+\max(|a_1|,\dots,|a_n|)$),
\item[--] la th\'eorie des nombres (recherche des
solutions enti\`eres de certaines \'equations),... 
\end{itemize}

\noindent\textbf{Note.}   Vous   pouvez    trouver   des   biographies   des
math\'ematiciens  les plus  importants,  avec un  r\'esum\'e de  leurs
contributions math\'ematiques, sur le site suivant~:

\noindent
\textit{http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/accueil.htm} 





\end{exo}
