\Annee{2002}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}
\Date{2002/01/03}
\Titre{Probl\`eme de \emph{fit} (moindres carr\'es).}
\Theme{\AlgLin}
\Niveau{\DEUGii}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert}

\Objectif{Faire retrouver \`a l'\'etudiant la m\'ethode des moindres carr\'es sur un exemple.
Beaucoup d'\'etudiants ont du mal \`a travailler dans l'espace de dimension $4$ 
 et n'arrivent pas \`a se d\'etacher du dessin (plan) fait dans la premi\`ere question.
Ce genre de probl\`eme peut aussi amener les \'etudiants \`a comprendre que, pour mod\'eliser des situations
concr\`etes, il faut parfois se placer dans des espaces de dimension plus grande que 3. }

\begin{exo}
Vous avez une batterie. 
Vous voulez d\'eterminer ses caract\'eristiques~:
force \'electromotrice $E$ et r\'esistance interne $r$.
Cela signifie que vous cherchez \`a mod\'eliser cette batterie
par un dipole tel que $U=E-rI$ (o\`u $U$ est la diff\'erence de potentiel
entre les deux bornes du dipole, et $I$ est l'intensit\'e le traversant).

Vous faites donc une s\'erie de mesures.
Vous trouvez les r\'esultats suivants~:
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|rrrr|}
\hline
Mesure N\fup{o}&1&2&3&4\\
\hline
Intensit\'e mesur\'ee (A) & 0  & 0,1 & 0,4 & 1\\
Tension mesur\'ee (V)     & 12 & 11  & 7  &  1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\sq Faire un dessin. Peut-on trouver $E$ et $r$ de sorte que le modele soit
exact ? Donner une justification g\'eom\'etrique.

\sq On pose $X=\vect{E\\r}$. 
\'Ecrire les \'equations qui doivent \^etre satisfaites par $E$ et $r$
(pour que le mod\`ele soit exact) sous la forme
$A.X=b$ o\`u $A$ est une matrice, et $b$ un vecteur.
Donner une justification alg\'ebrique de la question pr\'ec\'edente.

\sq On cherche donc $E$ et $r$ (c'est \`a dire $X$) de sorte que le mod\`ele soit \emph{le meilleur possible}
vis \`a vis des donn\'ees disponibles.
Pour nous, \emph{le meilleur mod\`ele possible} sera celui pour lequel $||AX-b||^2$ est  
minimum. (On aurait pu choisir une autre d\'efinition, mais celle-l\`a est la plus simple \`a r\'esoudre.
On l'appelle souvent~: \emph{les moindres carr\'es}.)
Expliciter la valeur de $||AX-b||^2$ et traduire plus concr\`etement la condition des moindres carr\'es.


\sq D\'emontrer que $X_0$ r\'ealise le minimum de la fonction $X \mapsto ||A.X-b||^2$
\ssi $A.X_0-b$ est orthogonal \`a $\Im A$.

\sq Montrer que $(\Im A)^\perp=\ker {}^tA$.

\sq En d\'eduire l'unique vecteur $Y\in \Im A$ tel que $||Y-b||^2$ 
soit minimum.

\sq Trouver la meilleure solution approch\'ee du syst\`eme.

\sq[Autre probleme de fit.] Maintenant vous avez un \'echantillon form\'e
de trois compos\'es radioactifs $A$, $B$, $C$ (et d'autres compos\'es non radioactifs). 
Vous connaissez leurs demi-vies~:
par exemple $\tau_A=1$ jours, $\tau_B=3$ jours et $\tau_C=10$ jours.
On cherche \`a d\'eterminer la composition initiale de l'\'echantillon.
Le nombre de d\'esint\'egrations par seconde de $A$ s'\'ecrit donc
$d_A=N_A 2^{-t/tau_A}$ o\`u $N_A$ est le nombre initial d'atomes $A$.
Vous mesurez le nombre de d\'esint\'egrations par seconde dans l'\'echantillon
(avec un compteur Geiger) au cours du temps.
\textbf{Question :} trouver les valeurs de $N_A$, $N_B$ et $N_C$
qui correspondent le mieux aux mesures effectu\'ees.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|rrrrr|}
\hline
Temps (jours) & 0 & 1 & 2 &3 & 4 \\
Nombre de d\'esint\'egrations par secondes ($\times 10^9$) & 10 & 2,7 & 1,3 & 0,6 & 0,3 \\  
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{exo}

