\Annee{2001}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Plusieurs questions sur un syst\`eme.}
\AnglePedagogique{\Metamath}
\Theme{\AlgLin}
\Niveau{\DEUGi}
\etiquette{questions_systeme}

\Objectif{Le but de cet exercice, est de mettre en \'evidence le fait qu'il y
a \emph{plusieurs} questions \`a se poser sur un syst\`eme d'\'equations
\`a part sa r\'esolution.}


\begin{exo}
Lorsqu'on a un syst\`eme d'\'equations, il n'y a pas que sa r\'esolution
qui est int\'eressante. On peut se poser d'autres questions: est-ce que le
syst\`eme admet au moins une solution? Est-ce qu'il en admet une unique?



\sq On consid\`ere le syst\`eme suivant :
$$(S)\left\{
\begin{matrix}
x+y+z+t&=&a \cr  x-y-z-t&=&b \cr -x-y\ +t&=&c \cr -3x+y-3z-7t&=&d
\end{matrix}\right.$$
\begin{enumerate}
\item A quelle condition $(S)$ admet-il une solution?
\item Montrer que si $a,b,c,d>0$ alors $(S)$ n'a pas de solution.
\item Quel est l'ensemble des solutions du syst\`eme homog\`ene associ\'e?
\end{enumerate}

\sq Soit $A=\left(\begin{array}{rrrr}
1 & 1& 1& 1\\ 1& -1& -1& -1\\ -1& -1& 0& 1\\ -3& 1& -3& -7
           \end{array}\right)$ et $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t \end{pmatrix}$.
Soit $f:\bbR^4\ra\bbR^4$ d\'efinie par $f(X)=A.X$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(X)$. Montrer que $f$ est lin\'eaire.
\item Quelle est sa matrice dans la base canonique de $\bbR^4$?
\item $f$ est-elle surjective? injective?
Trouver l'image et le noyau de $f$.
\item $f$ est-elle inversible ?
\item Le vecteur $\begin{pmatrix}  1\\1\\1\\1 \end{pmatrix}$ appartient-il \`a l'image de $f$?
au noyau de $f$ ?
\end{enumerate}

\sq 
\begin{enumerate}
\item 
Le vecteur $V=
\begin{pmatrix}
  1\\2\\3\\4
\end{pmatrix}$
appartient-il \`a l'espace vectoriel engendr\'e par 
$V_1=\left(\!\!\begin{array}{r}
 1\\1\\-1\\-3 
\end{array}\right),
V_2=\left(\!\!\begin{array}{r}
 1\\-1\\-1\\1 
\end{array}\right),
V_3=\left(\!\!\begin{array}{r}
 1\\-1\\0\\-3 
\end{array}\right),
V_4=\left(\!\!\begin{array}{r}
 1\\-1\\1\\-7 
\end{array}\right)$ ?
\item Ces 4 vecteurs sont-ils lin\'eairement ind\'ependants ?
\end{enumerate}


  
\end{exo}




