\Annee{2002}
\Titre{Quizzes d'alg\'ebre lin\'eaire}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}

\Date{2002/04/08} % Format AAAA/MM/JJ. pour le 5 mars 2001: \Date{2001/03/05}

\Niveau{\DEUGii} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...

\AnglePedagogique{\Quizz} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...


\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\AlgLin} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{} %Eventuellement, les themes secondaires separes par des virgules

\Objectif{Comment faire en sorte que les \'etudiants apprennent leur cours~? 
Le but de ces petits exercices est de donner des petites questions  aux \'etudiants pour les aider \`a travailler le cours de mani\`ere active, 
en se posant des questions. 

La m\'ethode utilis\'ee pour poser ces quizzes, inspir\'ee par Myriam Deschamps  \`a Orsay, est la suivante~:
Le quizz est distribu\'e aux \'etudiants \`a l'avance. Ensuite, \`a une date 
convenue \`a l'avance, on distribue 3 questions extraites de ce quizz. Les \'etudiants ont un quart d'heure pour y r\'epondre.

Cette m\'ethode a l'avantage
d'\^etre bien accept\'ee par les \'etudiants (en g\'en\'eral, 
ils jouent le jeu et travaillent ces questions) et
de les aider \`a aborder le cours.

Ces quizzes ont \'et\'e donn\'es \`a des \'etudiants de DEUG SMa,
pour un module traitant des d\'eterminants, diagonalisation des endomorphismes,
formes quadratiques et diagonalisation des matrices sym\'etriques.} % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}
% mettre ici le texte de l'exercice.
\renewcommand{\thessq}{\arabic{ssq}}
\partie{Quizz de rappels}


% pour introduire une     question (1,2,3) , sous-question (a,b,c) , sous-sous-question (i,ii,iii) 
% utiliser les commandes   \qst{titre}          \sq                    \ssq
% pour faire des separations entre des grandes parties (I,II,III), utiliser la commande \partie{titre}
% les commandes \sq et \ssq peuvent accepter un titre optionel \sq[titre] \ssq[titre]

% Ne pas utiliser de macro exotique sans la definir.
% Conventions: les nombres reels, complexes, entiers etc: \bbR \bbC \bbN.
% Lettres caligraphiques: \cala \calb \calc \cald etc... donnent des A,B,C,D caligraphiques.





R\'epondre par OUI ou par NON aux questions suivantes et justifier la
r\'eponse par une d\'emonstration ou un contre-exemple, selon le cas.
Dans ce qui suivra, $E$ est un $K$-espace vectoriel et $K=\bbR,\bbC$.


\ssq Soient $u$ et $v$ deux vecteurs de $\bbR^n$. Alors
$Vect(u,v)=Vect(u+v,u-v)$.



\ssq Les nombres complexes $1+i$ et $1-i$ engendrent $\bbC$ comme espace
    vectoriel sur $\bbR$.




\ssq Il existe un vecteur $u\in\bbR^2$ tel que $Vect(u)=\bbR^2$. 



\ssq Soient $F,G,H$ trois sous-espaces vectoriels de $\bbR^n$ tels que
$F+H=G+H$. Alors $F=G$.



\ssq Si $F$ est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel $E$,
alors $F+(-F)=\{0\}$, o\`u $-F:=\{-x\,\vert\, x\in F\}$.



\ssq $\{\lambda (X^2+i),\, \lambda\in \bbR\}$ est un sous-espace
vectoriel du $\bbC$-espace vectoriel $\bbC[X]$.



\ssq $(1,0,0)+Vect\{(1,1,1), (1,0,0)\}$ est un sous-espace vectoriel de
$\bbR^3$.



\ssq Soient $u,v,w\in \bbR^3$ trois vecteurs deux \`a deux
   non-colin\'eaires. Alors ils engendrent $\bbR ^3$.



\ssq L'ensemble des solutions $(x,y,z)$ du syst\`eme lin\'eaire $\left\{
\begin{array}{ccc} x-y-z & = & 0 \\ 2x-3y+z & = & 0 \end{array}
\right. $ est un sous-espace vectoriel de $\bbR^3$.



\ssq L'ensemble des solutions $(x,y,z,t)$ du syst\`eme lin\'eaire
$\left\{ \begin{array}{ccc} x-y-z+t & = & 1 \\ 2x-3y+z+t & = & 0
\end{array} \right. $ est un sous-espace vectoriel de $\bbR^4$.



\ssq Soit $A$ une partie non-vide de $E$. Il existe un sous-espace
vectoriel de $E$ contenant $A$. 



\ssq $\bbZ^n$ est un sous-espace vectoriel de $\bbR^n$.



\ssq $\{0\}$ et $\emptyset$ sont des sous-espaces vectoriels de
    $\bbC^n$.



\ssq Un syst\`eme d'\'equations cart\'esiennes de la droite de $\bbR^3$
    engendr\'ee par le vecteur $(10, 12, 15)$ est donn\'e par
$$\left\{ \begin{array}{ccc} 3x-2z & = & 0 \\ -3x+5y-2z & = & 0
\end{array} \right. $$




\ssq Le syst\`eme en $x,y,z,t$ suivant admet trois variables
    principales:

$$\left\{ \begin{array}{ccc} x-y-z+3t & = & 5 \\ 2x-y-4z+9t & = & 16\\
x-4z+5t & = & 15\\ 
                     x-y-7z+7t & = & 25 \end{array} \right. $$


\ssq Une matrice ayant des entr\'ees non-nulles ne peut pas se transformer
    en une matrice ayant toutes les entr\'ees nulles, par une suite
    finie d'op\'erations \'el\'ementaires sur ses lignes. 



\ssq La direction de la droite affine $\{(1+3t, 4+5t, -1-t) \,\vert\,
t\in\bbR\}$ est donn\'ee par le vecteur $(1,4,-1)$ de $\bbR^3$. 



\ssq Si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$, alors
$(F+G)\cup F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. 

\ssq \label{quest_19}
Soient $a_1,a_2, \dots ,a_n\in K$, non tous nuls. L'\'equation
lin\'eaire $a_1x_1+a_2 x_2+\dots +a_n x_n=0$ admet une et une seule
inconnue principale. 

\ssq On utilise les m\^emes notations que pour la question \ref{quest_19}. 
L'ensemble
des solutions de l'\'equation lin\'eaire $a_1x_1+a_2 x_2+\dots +a_n
x_n=0$ est un sous-espace vectoriel engendr\'e par $n-1$ vecteurs. 



\partie{Quizz sur les d\'eterminants}

Dans ce qui suit, toutes les matrices consid\'er\'ees sont des matrices carr\'ees. 

\ssq Soit $M'$ la matrice obtenue \`a partir d'une matrice $M$
par l'op\'eration $L_1\leftarrow 2L_1+L_2$. Alors $\det(M)=\det(M')$.


\ssq Si deux syst\`emes d'\'equations lin\'eaires homog\`enes ont le m\^eme d\'eterminant,
alors les espaces de solutions des deux syst\`emes ont la m\^eme dimension.


\ssq 
Quelles que soient $A,B$ deux matrices d'ordre $n$, on a 
$\det(A+B)=\det(A)+\det(B)$



\ssq Supposons que $M$ et $M'$ sont deux matrices carr\'ees telles qu'il existe
$X \in \bbR^n\setminus\{0\}$ tel que $MX=M'X$. Peut-on en d\'eduire que $\det(M)=\det(M')$.

\ssq 
S'il existe $X \in \bbR^n\setminus\{0\}$ tel que $MX=M'X$, peut-on en d\'eduire que $\det(M-M')=0$.


\ssq 
$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \det(\lambda M)=\lambda \det(M)$


\ssq Pour tous $v_1,\dots,v_n\in\bbR^n$, on a
$\det_{\cal{B}}(v_1,v_2,v_3...,v_n)=\det_{\cal{B}}(v_1-v_2,v_2-v_1,v_3,...,v_n)$


\ssq Si $E$ est un espace vectoriel de dimension 4, alors quels que soient $v_1,v_2\in E$,
on a $\det_{\cal B}(v_1-v_2,3v_1+5v_2,2v_1-4v_2,7v_1-3v_2)=0$.



\ssq 
L'équation en $x \in \mathbb{R}$ suivante :
$$ \det_{\cal{B}}(v_1+xv,v_2,...,v_n)=0$$ possède une unique solution si et seulement si 
$v$ n'appartient pas à l'espace vectoriel engendré par $v_2,...,v_n$.


\ssq 
Si $\forall v \in E, \det_{\cal{B}}(v_1,v_2,...,v_{n-1}, v)=0$, alors $(v_1,...,v_{n-1})$ est liée.


\ssq 
Supposons $n=3$. Alors 
$\det_{\cal{B}}(v_1,v_2,v_3)=\det_{\cal{B}}(v_2,v_3,v_1)$

\ssq 
Soit $v$ un vecteur d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$. 
Si $\det(v_1+v,v_2,...,v_n)=\det(v_1,...,v_n)$, 
alors $v \in vect(v_2,..,v_n)$.


\ssq 
Si le déterminant d'une famille de $n$ vecteurs de $E$ est nul dans une base donnée, alors il est nul dans n'importe quelle base.

\ssq 
 Si le déterminant d'une famille de n vecteurs de $E$ est positif dans une base donnée, alors il est positif dans n'importe quelle base.


\ssq Si le d\'eterminant d'une application lin\'eaire est positif dans une base donn\'ee,
alors il est positif dans n'importe quelle base.

\ssq Soit $f$ un endomorphisme de ${\mathbb R}^n$. Si $\det_{\cal B}(f(v_1),\dots,f(v_n))=0$
est nul quels que soit la famille de vecteurs $(v_1,\dots,v_n)$, alors $\det f=0$.

\ssq Soit $f$ un endomorphisme de ${\mathbb R}^n$. Si il existe une famille de vecteurs $v_1,\dots,v_n$
tels que $\det_{\cal B}(f(v_1),\dots,f(v_n))=0$ alors $\det f=0$.

\ssq Le d\'eterminant d'une projection dans $\bbR^3$ est toujours \'egal \`a $1$.

\ssq Le d\'eterminant d'une sym\'etrie est toujours \'egal \`a $1$ ou $-1$.

\ssq Le d\'eterminant d'une homoth\'etie de $\bbR^4$ est toujours positif.


\partie{Quizz sur diagonalisation des endomorphismes}

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, $T$ et $T'$ des endomorphismes de $E$,
$A,B,P$ des matrices carr\'ees $n\times n$.

\ssq Un endomorphisme ayant une valeur propre non nulle est toujours inversible.

\ssq Si un endomorphisme n'a pas de valeur propre, alors il est inversible.

\ssq Si $T:E\ra E$ n'a pas de valeur propre, $T$ ne peut pas \^etre diagonalisable.
(question subsidiaire~: et si $T$ en a une seule ? )

\ssq Soit $T:E\ra E$ l'homoth\'etie de rapport $\lambda$ (par d\'efinition,
pour tout $v\in E$, $T(v)=\lambda v$). Y-a-t-il des bases dans lesquelles
la matrice de $T$ n'est pas diagonale ?

\ssq Si $T$ est diagonalisable, sa matrice est diagonale dans 
n'importe quelle base.

\ssq Si $\lambda$ est valeur propre de $T$, alors $\lambda^n$ est
valeur propre de $T^n$.

\ssq Si $\lambda$ est valeur propre de $T$ et $\mu$ valeur propre de $T'$
alors $\lambda+\mu$ est valeur propre de $T+T'$

\ssq Si $\lambda$ est valeur propre de $T$ et $\mu$ valeur propre de $T'$
alors $\lambda\mu$ est valeur propre de $T\circ T'$


\ssq Si $\lambda$ est une valeur propre de $A$, alors
$\lambda^2+3\lambda+1$ est valeur propre de $A^2+3A+\mathrm{I_n}$.

\ssq Si $T$ est diagonalisable, alors $T^2$ est forc\'ement diagonalisable

\ssq Si $T^2$ est diagonalisable alors $T$ est forc\'ement diagonalisable

\ssq Si $A$ est diagonalisable alors pour toute matrice $P$ inversible, $AP$ est diagonalisable

\ssq Si $A$ est diagonalisable alors pour toute matrice $P$ inversible, $PAP\m$ est diagonalisable

\ssq Si $A$ est diagonalisable et si $A^2=0$ alors $A=0$.

\ssq Soit $f$ un endomorphisme de $E$, soit $A$ la matrice de $f$ dans une base $\calb$
et $A'$ la matrice de $f$ dans une base $\calb'$. Alors $A$ et $A'$ ont les m\^emes
valeurs propres.

\ssq Avec les notations au dessus, $A$ et $A'$ ont les m\^emes vecteurs propres.

\ssq Supposons que $T$ et $T'$ sont diagonalisables. Si $T$ et $T'$ ont les m\^emes espaces propres,
alors $TT'=T'T$.

\ssq Soit $v$ un vecteur propre de $T$ de valeur propre non nulle. 
Alors $T(v)$ est un vecteur propre de $T$.

\ssq Supposons qu'il existe des bases $\calb$ et $\calb'$ de $E$ telles que
$Mat_{B,B'}(T)$ soit diagonale.
Alors $T$ est diagonalisable.

\ssq Soit $A$ une matrice diagonalisable. Alors, l'application de $T:\bbR^n\ra \bbR^n$
d\'efinie par $T(X)=A.X$ est diagonalisable.



\partie{Quizz sur les formes quadratiques}



\ssq Le noyau d'une forme quadratique est un espace vectoriel.

\ssq La somme de deux vecteurs isotropes est un vecteur isotrope.

\ssq Si $q(v_1)>0$ et $q(v_2)>0$ alors $q(v_1+v_2)>0$.


\ssq Supposons que $q$ n'a pas de vecteur isotrope. Alors $q$ ou $-q$ est un produit scalaire.

\ssq Soit $q$ une forme quadratique sur $\bbR^2$ telle qu'il existe deux droites $d_1$ et $d_2$
en somme directe telles que $q$ soit d\'efinie positive sur $d_1$ et sur $d_2$.
Alors $q$ est d\'efinie positive.

\ssq Soit $q$ une forme quadratique sur $\bbR^2$ telle qu'il existe deux droites $d_1$ et $d_2$
en somme directe telles que $q$ soit d\'efinie positive sur $d_1$ et d\'efinie n\'egative sur $d_2$.
Alors $q$ est de signature $(1,1)$.

\ssq La somme de deux formes quadratiques d\'efinies positives est d\'efinie positive.

\ssq La somme de deux formes quadratiques de signature $(1,1)$ est une forme quadratique de signature
$(1,1)$.

\ssq Une forme quadratique born\'ee est nulle

\ssq Si $f$ et $g$ sont deux formes lin\'eaires, alors $(x,y)\mapsto f(x)g(y)$ est une forme bilin\'eaire.

\ssq Le produit de deux formes bilin\'eaires est une forme bilin\'eaire.

\ssq Si $f$ est une forme lin\'eaire sur $\bbR^3$, alors $(x,y)\mapsto f(x)f(y)$ est un 
produit scalaire.

\ssq Soient $q$ et $q'$ deux formes quadratiques sur $\bbR^n$ ayant la m\^eme signature.
Alors il existe des bases $\calb$ et $\calb'$ telles que $Mat_\calb(q)=Mat_{\calb'}(q')$.

\ssq Soient $q$ et $q'$ deux formes quadratiques sur $\bbR^n$ telles qu'il 
existe des bases $\calb$ et $\calb'$ avec $Mat_\calb(q)=Mat_{\calb'}(q')$.
Alors $q$ et $q'$ ont la m\^eme signature.

\ssq La signature de la forme quadratique $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$ sur $\bbR^3$ est $(3,0)$.

\ssq Soit $q$ une forme quadratique sur $\bbR^n$. Alors le d\'eterminant de sa matrice
dans une base $\calb$ est ind\'ependant de la base choisie.

\ssq Soit $q$ une forme quadratique sur $\bbR^n$. Alors le rang de sa matrice
dans une base $\calb$ est ind\'ependant de la base choisie.

\ssq Soit $q$ une forme quadratique sur $\bbR^n$. Alors la trace sa matrice
dans une base $\calb$ est ind\'ependant de la base choisie.

\ssq Soit $T$ un automorphisme de $E$, $q$ une forme quadratique, et $\calb$ une base de $E$.
Soit $A$ la matrice de $T$ dans la base $\calb$, et $Q$ la matrice de $q$ dans cette m\^eme base.

Alors la matrice de la forme quadratique $q\circ T$ dans la base $\calb$ est \'egale \`a $QA$.

\ssq Avec les notations au dessus, la signature de $q$ est \'egale \`a celle de $q\circ T$.



\end{exo}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
