\Annee{2001}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Formes quadratiques en relativit\'e}
\Theme{\AlgLin}
\Niveau{\DEUGii}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert}
\etiquette{relativite}

\Objectif{Faire remarquer que les formes bilin\'eaires non positives sont utilis\'ees en physique.
La relativit\'e restreinte est bas\'ee sur l'invariance de la forme de Lorentz.}

\begin{exo}
En relativit\'e, contrairement \`a l'adage, \emph{tout n'est pas relatif}.
Les longueurs et le temps sont effectivement des quantit\'es relatives
-- c'est \`a dire qui d\'ependent du r\'ef\'erentiel dans lequel on se place.
Cependant, il y a un \emph{absolu} en relativit\'e : c'est la forme de Lorentz.
Dans certaines bases privil\'egi\'ees, la forme de Lorentz s'exprime par la formule
$\call(x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2-c^2t^2$ (o\`u $c$ est la vitesse de la lumi\`ere dans le vide).
En particulier, le fait qu'un objet aille \`a la vitesse de la lumi\`ere signifie
que son quadrivecteur vitesse $\vec V(v_x,v_y,v_z,1)$ satisfait $\call(\vec V)=0$.
Comme la forme de Lorentz ne d\'epend pas du r\'ef\'erentiel,
la quantit\'e $\call(\vec V)$ est ind\'ependante du r\'ef\'erentiel choisi,
donc le fait \emph{d'aller \`a la vitesse de la lumi\`ere} est ind\'ependant
du r\'ef\'erentiel choisi -- ce qui ne peut pas \^etre vrai en m\'ecanique newtonnienne
d'apr\`es la loi d'additivit\'e des vitesses.

\sq On dit que $\vec V$ est dans le \emph{c\^one de lumi\`ere} lorsque $\call(\vec V)=0$. 
Voyez-vous pourquoi ?

\sq Quels sont le rang et la signature de la forme de Lorentz $\call$ ?

\sq Existe-t-il une base dans laquelle la forme de Lorentz a la forme
$q(x)=x^2-4xy+yt-zt+t^2$ ?

\end{exo}
