\Annee{2002}
\Titre{Retourner une droite.}
\Auteur{Adrien \textsc{Douady}}
\AutresAuteurs{}


\Date{2002/07/15} 
\Niveau{\Licence} 

\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert} 
\AnglesSecondaires{}
\Theme{\Topologie}
\ThemesSecondaires{}
\Objectif{Cet exercice est extrait du fascicule
\emph{Géométrie
dans les espaces de paramètres, une méthode de géométrisation, par
Adrien Douady (Cahier de didirem, publication de l'IREM Paris 7, novembre 1997).}
A. Douady précise que le problème lui a été suggéré par David Epstein.

En plus de l'exercice ci-dessous, l'ouvrage cité contient deux autres
problèmes. Le but avoué est de faire comprendre l'intéret des espaces
de paramètres. Citons l'introduction~:

``Depuis le commencement du XXème siècle - on peut dire à la suite de
Hilbert - la géométrie s'est avérée \^etre un moyen extrèmement
efficace d'appréhender de nombreux problèmes en mathématiques et en
diverses sciences. Souvent, ce n'est pas sur de la géométrie
euclidienne en dimension 2 ou 3 que l'on tombe, mais sur de la
géométrie dans un espace adapté au problème, en général un
\textbf{espace de paramètres} construit ad-hoc.(...)''

Ici, l'espace des paramètres sera de dimension~2, mais
``il est aisé de concevoir qu'il n'en est pas toujours ainsi. Par
exemple, l'ensemble des orbites possibles d'une planète est de
dimension~5. En robotique, on est amené à considérer l'ensemble de
toutes les positions possibles d'un solide~; c'est une variété de
dimension~6, plongeable dans $\bbR^9$.''
}

\begin{exo}
Nous présentons ce problème sous trois versions.
\begin{figure}[ht!]
\begin{center}
\input{fig-retourner-une-droite.pstex_t}
\caption{\label{fig:retourner-une-droite}}
\end{center}
\end{figure}

Considérons dans le plan un arc de courbe $\Gamma$ qui soit l'un des
arcs $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ $\Gamma_3$ dessinés
figure~\ref{fig:retourner-une-droite}, et $D$ une droite ne
rencontrant pas $\Gamma$. Est-il possible de déplacer $D$ de façon
continue et de la ramener à sa place avec l'orientation opposée, sans
que jamais au cours du mouvement elle ne soit tangente à $\Gamma$~?

\textbf{Indication} la réponse n'est pas la m\^eme dans les trois
cas~: il y a deux OUI et un NON, ou le contraire. Les paris sont ouverts.
\end{exo}
