\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2001/09/01}
%Faire un fichier par exercice. 
\Titre{Manipulation du Signe Somme}
\Niveau{\DEUGii} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi, \DEUGii, \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{} %Les niveaux secondaires separes par des virgules
\AnglePedagogique{\Langage} %l'angle pedagogique principale. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Recherche, ...
\AnglesSecondaires{\DifficultesOubliees} %Les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules
\Theme{\Series} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...
\ThemesSecondaires{} %Themes secondaires separes par des virgules

\Objectif{D\'ecomplexer les \'etudiants face \`a ce signe nouveau. Les
faire r\'efl\'echir sur les variables locales (on dit parfois
``muettes'') et globales, et sur les changements d'indice. Ces
exercices semblent \^etre un pr\'eliminaire indispensable \`a l'\'etude des
s\'eries, d'autant plus qu'ils posent de r\'eels
probl\`emes aux \'etudiants.

Suggestion : l'id\'eal serait que les \'etudiants s'approprient
vraiment ce symbole. Pour \c{c}a, un moyen consiste \`a leur faire
inventer des formules l'utilisant... Exercice \`a compl\'eter !
} % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}
% mettre ici le texte de l'exercice.
% pour introduire une sous-question, utiliser la commande \sq
% Ne pas utiliser de macro exotique sans la definir.
% Conventions: les nombres reels, complexes, entiers etc: \bbR \bbC \bbN.
% Lettres caligraphiques: \cala \calb \calc \cald etc... donnent des A,B,C,D caligraphiques.
% les fichiers de figures doivent etre dans un repertoire nommé "figures".
\paragraph{Question 1 : \'ecriture avec ou sans  signe $\sum$.}\hspace{0cm}

\sq Ecrire sans $\sum$ :
$$
\sum_{n=0}^N (-1)^n ,\ \ \sum_{p=1}^{n}p ,\ \ \sum_{p=1}^{n}n ,\ \
\sum_{p=1}^{n}\frac{n}{p}
$$

\sq Ecrire avec $\sum$ :
$$
1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots
$$

\paragraph{Question 2 : variables de comptage.}
Les \'egalit\'es suivantes sont-elles vraies :
$$
\sum_{p=1}^{n}(p\times n) = \sum_{k=1}^{n}(k \times n) = n \times
\sum_{k=1}^{n} k = k \times \sum_{k=1}^{n}n
$$


\paragraph{Question 3 : substitution.}
Soit
$$
S_n=\sum_{p=1}^{2n^2}\frac{1}{\sqrt p} .
$$

\sq Combien y a-t-il de termes dans cette somme ?

\sq Ecrire la somme $S_{2n}$. Combien contient-elle de termes ?

\sq Soit $S_{2n}^{\mathrm{impair}}$ la somme des termes de $S_{2n}$
d'ordre impair (obtenus pour p=1, 3, 5, ...). On d\'efinit de m\^eme
$S_{2n}^{\mathrm{pair}}$ ; on a donc
$S_{2n}=S_{2n}^{\mathrm{impair}}+S_{2n}^{\mathrm{pair}}$. Ecrire les
sommes $S_{2n}^{\mathrm{pair}}$ et $S_{2n}^{\mathrm{impair}}$.

\paragraph{Question 4.} 
Calculez les sommes suivantes :
$$
\sum_{k=1}^{n} \sum_{p=0}^{k} p , \ \ \sum_{k=1}^{n} \sum_{p=0}^{k} k
,\ \ \sum_{k=1}^{n} \sum_{p=0}^{k} n .
$$

\paragraph{Question 5.}  Soit
$$
S_N=\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n+N}.
$$
 De quelle s\'erie est-ce la somme partielle ?

\end{exo}


