\Annee{2002}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2002/02/10}
\Titre{Sommes de racines cinqui\`emes de l'unit\'e}
\Niveau{\DEUGi} 
\AnglePedagogique{\Experimental}
\AnglesSecondaires{\Visualisation} 

\Theme{\Complexes}

\Objectif{
Exp\'erimenter, visualiser des sommes de nombres complexes, utiliser les propri\'et\'es du
groupe des racines de l'unit\'e (somme nulle, invariance par rotation).}

\begin{exo}
On consid\`ere l'ensemble des racines cinqui\`emes de l'unit\'e. On en choisit
certaines (entre une et cinq !), on fait leur somme, et on prend le
module de cette somme.

Quel est le plus grand nombre que l'on peut obtenir de cette mani\`ere~?

Autrement dit, si $U_5$ d\'esigne l'ensemble des racines cinqui\`emes de
l'unit\'e, la question consiste \`a calculer le nombre suivant~:
$$
\mathrm{Max}\left\{\left| \sum_{w \in E}w \right| \mbox{ avec } E \subset U_5       \right\}.
$$

\paragraph{Suggestions}
\begin{itemize}
\item Rassemblez vos connaissances sur les racines $n$i\`emes de l'unit\'e~;
\item exp\'erimentez~: repr\'esentez quelques-unes des  sommes impliqu\'ees
  dans le probl\`eme~; pouvez-vous les calculer~? Faites une conjecture, prouvez la conjecture~! 
\end{itemize}

\paragraph{G\'en\'eralisation}
G\'en\'eralisez l'\'enonc\'e pr\'ec\'edent. Essayez de deviner la r\'eponse au
probl\`eme g\'en\'eralis\'e. Prouvez votre conjecture...

 

\end{exo}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% TeX-master: t
%%% End: 
