\Annee{2004}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{Fran\c{c}ois \textsc{B\'eguin}}
\Date{2004/05/01}
\Titre{Suite des puissances d'un nombre complexe}
\Niveau{\DEUGi} 
                
\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\Experimental} 
\AnglesSecondaires{\Decouverte} 
\Theme{\Suites} 
\ThemesSecondaires{\Complexes} 

\Objectif{Le but principal de l'exercice est de voir une suite qui a
comportement ``compliqu\'e'' (ni convergente ni p\'eriodique), bien
qu'\'etant d\'efinie par une formule simple et ``naturelle''~; d'ailleurs,
cette suite joue un r\^ole dans de nombreux ph\'enom\`enes (voir le
commentaire \`a la fin de l'exercice).

Au passage, on r\'evise le comportement des suites g\'eom\'etriques dans les
cas d\'ej\`a connus, et on peut comprendre g\'eom\'etriquement la multiplication
complexe.

\emph{La deuxi\`eme partie est pr\'evue pour \^etre distribu\'ee apr\`es que
les \'etudiants aient  r\'esolu le cas facile.}

\paragraph{Proposition de piste \`a fournir aux \'etudiants}

L'\'etude devrait avoir deux grandes \'etapes :

1) les cas faciles, quand le module de $z$ est diff\'erent de $1$ ;

2) le cas $|z|=1$; ce deuxi\`eme cas se subdivise bien s\^ur en
   rationnel/irrationnel (voir ci-dessous).

\paragraph{Cas faciles}~

-- S'ils bloquent d\`es le d\'ebut, leur faire remarquer que le
   comportement d\'epend sans doute du choix du nombre $z$ (il y a une
   infinit\'e de questions cach\'ee dans la questions !), il va
   peut-\^etre falloir s\'eparer l'\'etude en diff\'erent cas: il faut
   commencer par ``classer les '$z$' dans des bo\^{\i}tes''; comment
   trouver le crit\`ere de r\'epartition (les \'etiquettes sur les bo\^{\i}tes !)
 ? Bien s\^ur, il faut prendre des
   exemple de valeurs de $z$. Une bonne id\'ee est de commencer par le
   cas r\'eel (ils connaissent d\'ej\`a, et ça va servir). 

-- Une remarque cl\'e est d'utiliser l'\'ecriture ``coordonn\'ees polaires'' en module/argument 
(savoir choisir  la repr\'esentation des complexes adapt\'ee au probl\`eme
est certainement un objectif p\'edagogique important !): en effet, elle
s'entend bien avec la multiplication.

-- Il faudra utiliser $|ab|=|a||b|$. Et le cas des suites g\'eom\'etriques r\'eelles.

-- Une fois termin\'ee l'\'etude des cas faciles, demander un dessin
(par exemple pour $z=1/2$, puis $z=1/2 \times \exp(i\pi/6)$, pour que
l'on voit bien que la suite ``tourne'').

\paragraph{Cas difficiles} 
Une fois les cas faciles r\'esolus et  les cas difficiles identifi\'es, on
peut leur distribuer la seconde partie de l'\'enonc\'e, 
qui d\'ecompose la d\'emarche pour les cas difficiles.
}

\begin{exo}
\partie{}
On se donne un nombre complexe $z$. \'Etudier, en fonction de $z$, le
comportement de la suite 
$$
(z^n)_{n \geq 0}.
$$

\textbf{Aide :} il y a des cas facile, et des cas difficiles. Essayer
de trouver rapidement les cas faciles !

\partie{}
On suppose que vous avez r\'esolu le cas facile, quand le module de $z$
est diff\'erent de $1$.
On s'int\'eresse maintenant aux cas difficiles.

\qst{Cas p\'eriodique}
 Essayer de trouver tous les $z$ tels que la suite $(z^n)_{n \geq 0}$
soit p\'eriodique. Autrement dit, compl\'eter l'\'enonc\'e suivant :
\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}
La suite $(\exp(2i\pi n\theta))_{n \geq 0}$ est p\'eriodique si et
seulement si ...
\end{enonce1*}


\qst{Cas non p\'eriodique}
\ssq Donner un exemple de nombre $z$ tel que la suite $(z^n)_{n \geq
0}$ ne soit pas p\'eriodique. 

\ssq On suppose que la suite $(z^n)_{n \geq 0}$ n'est pas
p\'eriodique. Montrer que dans ce 
cas, elle ne prend jamais deux fois la m\^eme valeur.

\ssq Traduire en symboles math\'ematiques la propri\'et\'e suivante (pour le
moment, on ne demande pas de la d\'emontrer !) :

\noindent \emph{On peut trouver des \'el\'ements de la suite aussi pr\`es qu'on veut de
$1$ dans $\bbC$.}

\ssq Compl\'eter l'\'enonc\'e suivant (on l'appelle ``principe des
tiroirs'') :

\noindent \emph{Si on a $1000$ points distincts sur le cercle unit\'e, alors il y en
a forc\'ement deux qui sont \`a distance plus petite que $\dots$.}

\`A l'aide de ce principe, d\'emontrer que l'on  peut effectivement trouver des
\'el\'ements de la suite aussi pr\`es qu'on veut de $1$ dans $\bbC$.

\ssq  En d\'eduire que tout arc de cercle de longueur plus grande que $\dots$
    contient (au moins) un  point de la suite.

\ssq En  d\'eduire que tout arc de cercle contient une infinit\'e de points de
   la suite...



\partie{Commentaires} 
Il  existe  de tr\`es  nombreux  probl\`emes  dans l'\'etude  desquels
appara\^{\i}t  la  suite  des   puissances  d'un  nombre  complexe  de
module~$1$.   En fait,  ce  genre de  suite  appara\^{\i}t d\`es  qu'on
\'etudie  une  situation   o\`u  se  superposent  deux  ph\'enom\`enes
p\'eriodiques de p\'eriodes diff\'erentes.  

Voici un premier  exemple simple. La terre tourne  autour du soleil en
environ  365,24 jours;  c'est pourquoi  l'ann\'ee de  notre calendrier
gr\'egorien 
(qui est un calendrier solaire)  comporte en moyenne 365,24 jours (365
ou 366 selon que l'ann\'ee  est bissextile ou pas).  Une lunaison dure
environ 29,53  jours; c'est pourquoi l'ann\'ee  du calendrier musulman
(qui est  un calendrier  lunaire) comporte en  moyenne 12*29,53=354,36
jours (354  ou 355 jours selon  que l'ann\'ee selon  que l'ann\'ee est
normale ou  \emph{abondante}).  C'est  pourquoi le d\'ebut  du ramadan
(le 237${}^{ieme}$ jour de l'ann\'ee musulmane) correspond chaque
ann\'ee     \`a     un      jour     diff\'erent     du     calendrier
gr\'egorien. Existera-t-il  une ann\'ee o\`u le  ramadan commencera le
1${}^{er}$ janvier  ?  En r\'efl\'echissant un  peu, vous devriez
comprendre pourquoi la r\'eponse \`a cette question est li\'ee au
comportement de la suite $(z^n)_{n\geq      0}$       avec
$z=e^{i2\pi\frac{354,36}{365,24}}$.  

Et  maintenant  un  exemple   nettement  plus   sophistiqu\'e.  On
consid\`ere une plan\`ete $\calp$ (par exemple, la Terre) soumise \`a
l'attraction gravitationnelle d'une \'etoile $\cale$ (le Soleil).  Si
la  plan\`ete $\calp$  n'est  pas  soumise \`a  d'autres  forces, on  sait
(depuis Newton) \'ecrire et r\'esoudre les \'equations du mouvement du
syst\`eme.  En particulier, on sait que, dans ce cas, la plan\`ete $\calp$
a un  mouvement p\'eriodique,  et que sa  trajectoire est  une ellipse
``autour'' de l'\'etoile $\cale$.  Notons $T$ la p\'eriode de ``rotation''
de la plan\`ete $\calp$  autour de l'\'etoile $\cale$.  Supposons maintenant
qu'il  existe une deuxi\`eme  pan\`ete $\calp'$  nettement plus  grosse que
$\calp$ (par  exemple, Jupiter) qui  gravite autour de $\cale$,  et notons
$T'$ la p\'eriode de rotation de $\calp'$ autour de l'\'etoile
$\cale$. La plan\`ete $\calp'$  exerce une force d'attraction gravitationnelle
sur la  plan\`ete $\calp$. Cette force  est tr\`es petite  par rapport \`a
l'attraction de l'\'etoile $\cale$;  n\'eanmoins, au bout d'un tr\`es long
temps, cette force pourrait  faire d\'evier beaucoup la plan\`ete $\calp$,
et  m\^eme  l'ejecter du  syst\`eme.   La  force  d'attraction que  la
plan\`ete $\calp'$ exerce sur la plan\`ete $\calp$ perturbe-t-elle beaucoup la
trajectoire  de  la plan\`ete  $\calp$~?   Un th\'eor\`eme  math\'ematique
(difficile et profond) affirme que la r\'eponse d\'epend en
particulier du comportement de la suite $(z^n)_{n\geq 0}$ o\`u
$z=e^{i2\pi\frac{T}{T'}}$~: si  les termes de cette suite  ne sont pas
``bien r\'epartis''  sur le cercle  unit\'e, alors l'attraction de la
plan\`ete  $\calp'$ risque de  perturber beacuoup  la trajectoire  de la
plan\`ete $\calp$.  


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Bilan}

Le but  \'etait d'\'etudier,  en fonction du nombre complexe  $z$, le
comportement de la suite 
$$(z^n)_{n\geq 0}$$
et  de   voir  que  cette  suite,  pourtant   d\'efinie  de  mani\`ere
extr\^emement  simple,   a  un  comportement   tr\`es  compliqu\'e  pour
certaines valeurs de $z$.  

\bigskip

\bigskip

M\^eme  si  les  cas int\'eressants  ne  sont  pas  ceux o\`u  la  suite
poss\`ede une limite, commen\c  cons par quelques rappels et remarques
sur la limite d'une suite de nombre complexes.

\begin{enonce2*}{D\'efinitions}
On dit qu'une  suite de nombres complexes $(u_n)_{n\geq  0}$ tend vers
un nombre complexe $c$ si le module de $u_n-c$ tend vers $0$ quand $n$
tend vers l'infini. \\
%De mani\`ere \'equivalente, la suite $(u_n)_{n\geq
%  0}$  tend vers  le  nombre complexe  $c$,  si la  suite des  parties
%r\'eelles des  $u_n$ tend  vers la  partie r\'eelle de  $c$, et  si la
%suite des parties imaginaires des $u_n$ tend vers la partie imaginaire
%de $c$.\\ 
On  dit  qu'une  suite   de  nombre  complexes
$(u_n)_{n\geq 0}$ tend  vers l'infini si le module  de $u_n$ tend vers
l'infini quand $n$ tend vers l'infini. 
\end{enonce2*}


\begin{enonce2*}{Remarque}
Dans $\bbR$, il y avait deux mani\`eres d'aller \`a l'infini : tendre vers
 $+\infty$ ou $-\infty$. Mais
 dans $\bbC$, tendre vers $+\infty$ ou $-\infty$ n'a aucun sens. C'est
 pourquoi la d\'efinition ci-dessus ne d\'efinit qu'une seule mani\`ere de tendre
 vers l'infini.
\end{enonce2*}


Passons maintenant  \`a l'\'etude de la suite  $(z^n)_{n\geq 0}$. Pour
ce faire,  on \'ecrit $z=\rho e^{i\theta}$  o\`u $\rho\in [0,+\infty[$
est le module de $z$ et $\theta\in\bbR$ est un argument de $z$. On voit
alors que 

\smallskip

\centerline{$\mbox{pour tout }n\geq 0,\mbox{ on a }z^n=\rho^n 
e^{in\theta}.$} 

\smallskip

\noindent Autrement dit, le module de $z^n$ est $\rho^n$, et
l'argument de $z^n$ est $n\theta$.

\medskip

\begin{enonce2*}{Remarque}
Si on \'ecrit  $z$ sous la forme $a+ib$ (avec $a$  et $b$ r\'eels), on
est  bien  en peine  pour  calculer $z^n$  (sauf  dans  les cas  tr\`es
particuliers o\`u $z$  est r\'eel ou imaginaire pur).  On peut essayer
d'utiliser  le   bin\^ome  de  Newton,  mais  ça   donne  une  formule
inutilisable.  Moralit\'e~: \emph{quand  on veut  calculer les puissances  d'un nombre
  complexe $z$, il faut \'ecrire $z$ sous la forme $\rho e^{i\theta}$,
  et surtout pas sous la forme $a+ib$.} \footnote{Plus g\'en\'eralement,
pour chaque probl\`eme concernant les nombres complexes, il faut se
demander laquelle des deux formes ($a+ib$ ou $\rho e^{i\theta}$) va
\^etre la plus adapt\'ee au probl\`eme.}
\end{enonce2*}



\subsection*{Cas o\`u le module de $z$ est diff\'erent de~$1$}
Si $\rho$ est strictement plus grand que~$1$,
alors $\rho^n$  tend vers l'infini  quand $n$ tend vers  l'infini. Par
cons\'equent, si le module de  $z$ est strictement plus grand que~$1$,
alors la suite  $(z^n)_{n\geq n}$ tend vers l'infini  dans $\bbC$ (voir
la d\'efinition ci-dessus). 

Si $\rho$ strictement  plus petit  que $1$,  alors $\rho^n$
tend vers  $0$ quand $n$ tend  vers l'infini. Par  cons\'equent, si le
module  de $z$  est strictement  plus  petit que~$1$,  alors la  suite
$(z^n)_{n\geq 0}$ tend vers $0$ dans $\bbC$.  



\subsection*{Cas o\`u le module de $z$ est \'egal \`a $1$}
Il reste \`a consid\'erer le cas o\`u le module de $z$ est \'egal \`a
$1$. On  commence par remarquer que,  dans ce cas, le  module de $z^n$
est \'egal \`a $1$ pour tout $n$; autrement dit, tous les termes de la
suite $(z^n)_{n\geq 0}$  sont sur le cercle unit\'e.  Ceci est loin de
d\'eterminer compl\`etement le  comportement de la suite $(z^n)_{n\geq
  0}$.

Pour essayer de visualiser le comportement de la suite $(z^n)_{n\geq
  0}$, on remarque que chaque terme  de la suite est obtenu \`a partir
  du pr\'ec\'edent par une rotation  de centre $0$ et d'angle $\theta$
  (o\`u  $\theta$ est  l'argument  de $z$).  Ceci  permet de  dessiner
  facilement  les premiers termes  de la  suite $(z^n)_{n\geq  0}$: on
  part  de $z^0=1$,  on ``tourne  de $\theta$''  pour obtenir  $z$, on
  ``tourne de $\theta$'' pour obtenir $z^2$, \textit{etc.}.

Il est alors naturel de se poser les questions suivantes : la suite
repasse-t-elle  plusieurs  fois  par  la  m\^eme  valeur  ?   Est-elle
p\'eriodique~?  Sinon, que dire de son comportement ? 
On d\'emontre d'abord le r\'esultat suivant: 

\medskip

\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}
La suite  $(z^n)_{n\geq 0}$ est p\'eriodique si  et seulement si
  le module de $z$ est \'egal \`a~$1$ et l'argument de $z$ est un nombre
rationnel multipli\'e par $2\pi$.
\end{enonce1*}
 Le th\'eor\`eme nous dit en particulier que si l'argument de $z$ n'est pas un
rationnel  multipli\'e par  $2\pi$, alors  la suite  $(z^n)_{n\geq 0}$
n'est pas p\'eriodique.  Pla\c cons-nous dans ce cas.  On montre alors
que  les termes  de  la suite  sont  tous distincts.  En utilisant  le
\emph{principe des tiroirs}, on  en d\'eduit qu'il existe ``des termes
de la suite situ\'es aussi pr\`es qu'on veut de $1$''. Puis, on en
d\'eduit que dans chaque arc  (m\^eme tr\`es petit) du cercle unit\'e,
il y a une infinit\'e de termes de la suite. Une autre fa\c con de le
dire est que la suite passe  (et repasse une infinit\'e de fois) aussi
pr\`es qu'on veut  de chaque point du cercle unit\'e...  On dit que la
suite est \emph{dense dans le cercle unit\'e}. 

\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}{}
Si  l'argument de $z$ n'est pas un
rationnel  multipli\'e par  $2\pi$, alors  la suite  $(z^n)_{n\geq 0}$
est dense dans le cercle unit\'e.
\end{enonce1*}


\begin{enonce2*}{Remarque}
Attention, m\^eme dans  ce dernier cas, la suite  $(z^n)_{n\geq 0}$ ne
passe pas  par chaque  point du cercle  unit\'e. Ce qu'on  a montr\'e,
c'est qu'elle  passe arbitrairement pr\`es  de chaque point  du cercle
unit\'e ; c'est tr\`es diff\'erent.
\end{enonce2*}


\subsection*{En r\'esum\'e} 

\noindent $\bullet$ Si $|z|>1$, alors la suite tend vers l'infini. 

\noindent $\bullet$ Si $|z|<1$, alors la suite $(z^n)_{n\geq 0}$ tend vers $0$. 

\noindent $\bullet$  Si $|z|=1$,  et que
l'argument de  $z$ est un  rationnel multipli\'e par $2\pi$,  alors la
suite est p\'eriodique. 

\noindent $\bullet$ Enfin,  si $|z|=1$, et
que l'argument de  $z$ n'est pas un rationnel  multipli\'e par $2\pi$,
alors la suite est dense dans le cercle unit\'e. 

\bigskip

\bigskip

\subsection*{Commentaires} 

\noindent  1 - 
% Il  ne faut  surtout  pas croire  que le  comportement
%compliqu\'e de la suite \'etudi\'ee ci-dessus  soit li\'e au fait que  ce soit une suite
%`a  valeurs  complexes.  Ainsi,  
Consid\'erons la  suite  de  nombres
r\'eels $(\cos  n)_{n\geq 0}$.  On  remarque que, quel que soit  $n$, le
r\'eel $\cos n$ n'est autre que la partie r\'eelle du nombre complexe
$z^n$ avec  $z=e^i=e^{i \times 1}$. Comme $1$  n'est pas de la  forme $2\pi\theta$
avec $\theta$ rationnel,  il r\'esulte de ce qui  pr\'ec\`ede que tout
arc du  cercle unit\'e contient une  infinit\'e de termes  de la suite
$(z^n)_{n\geq  0}$.  On peut en d\'eduire  que tout  intervalle
inclus dans  $[-1,1]$ contient  une infinit\'e de  termes de  la suite
$(\cos  n)_{n\geq 0}$. Autrement  dit :

\begin{enonce1*}{Corollaire}{}
La  suite $(\cos  n)_{n\geq 0}$
passe, et repasse  une infinit\'e de fois, aussi  pr\`es qu'on veut de
chaque point de $[-1,1]$. On dit que la suite $(\cos n)_{n\geq 0}$ est
\emph{dense dans $[-1,1]$}. 
\end{enonce1*}

\noindent  2  -  L'arithm\'etique  et l'\'etude  des  suites  semblent
\emph{a  priori}   \^etre  des  domaines   math\'ematiques  disjoints.
Pourtant,  on   a  vu  ci-dessus  un  lien   entre  une  propri\'et\'e
arithm\'etique  d'un nombre  (l'argument  de $z$)  et le  comportement
d'une  suite  (la suite  $(z^n)_{n\geq  0}$).  En  fait, il  existe  de
nombreux liens de ce type.  
 


\paragraph{Dessins}
Ci dessous, on a repr\'esent\'e la suite $z^n$ avec $z=e^{i}$ : les 10
premiers points (1) en les reliant, (2) sans les relier;

%\enlargethispage{2cm}
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm,angle=-90]{puissances01.eps} \hspace{1.5cm}
\includegraphics[height=5cm,angle=-90]{puissances02.eps}
\end{center}

 
Toujours pour la m\^eme suite, (3) les 100
premiers points, (4) les 500 premiers points.
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm,angle=-90]{puissances03.eps} \hspace{1.5cm}
\includegraphics[height=5cm,angle=-90]{puissances04.eps}
\end{center}

 De m\^eme, de bas en haut, les 10, 100,
500 premiers points de la suite $(\cos n)$ dans le segment $[-1,1]$. 
\begin{center}
\includegraphics[height=10cm,width=6cm,angle=-90]{puissances05.eps}
\end{center}


\end{exo}


