\Annee{2004}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{}
\Date{2007/01/15}
\Titre{Transformation de graphes de fonctions, version longue}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{}

\AnglePedagogique{\Visualisation} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Fonctions} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{} 

\Objectif{Cet exercice relie g\'eom\'etrie et formules, de mani\`ere  progressive.
}

\begin{exo}

\qst{Exp\'erimentation}

\sq Dessiner le graphe de la fonction exponentielle.

\sq En vous aidant \'eventuellement d'une calculatrice graphique, 
dessiner sur le papier les graphes des quatre fonctions suivantes :
 $-\exp(x)$ ;  $\exp(x) + 1$ ;   $\exp(x) -1$ ;  $2\exp(x)$.

Par quelles transformations g\'eom\'etriques passe-t-on du graphe de l'exponentielle aux graphes trac\'es ?

\sq M\^emes questions pour les quatre fonctions
 $\exp(-x)$ ;  $\exp(x+1)$ ; $\exp(x-1)$ ; $\exp(2x)$.



\qst{\'Enonc\'e des correspondances}
\sq Relier chaque formule \`a la transformation g\'eom\'etrique qui lui correspond.

\parbox{0.25\textwidth}
{
\begin{enumerate}
\item $-f(x)$ ;
\item $f(x)+1$ ;
\item $f(x)-1$ ;
\item $2f(x)$ ;
\item $f(-x)$ ;
\item $f(x+1)$ ;
\item $f(x-1)$ ;
\item $f(2x)$.
\end{enumerate}
}
\noindent\parbox{0.7\textwidth}
{
\begin{enumerate}
\item translation vers le haut ;
\item translation vers le bas ; 
\item translation vers la gauche ;
\item  translation vers la droite ; 
\item sym\'etrie par rapport \`a l'axe des abscisses ;
\item sym\'etrie par rapport \`a l'axe des ordonn\'ees ;
\item dilatation d'un facteur $2$ dans le sens vertical ;
\item dilatation d'un facteur $1/2$ dans le sens horizontal.
\end{enumerate}
}

\sq Quelle formule correspond \`a  une homoth\'etie de rapport $2$, centr\'ee en l'origine ?
\`A une rotation d'un demi-tour, centr\'ee en l'origine ?



%%
\qst{Applications}
Tracer le plus rapidement possible les graphes des applications suivantes.
On commencera par tracer le graphe de la fonction \'el\'ementaire utilis\'ee (sinus, cosinus, \emph{etc.}). On pourra v\'erifier le dessin \`a l'aide d'une calculatrice graphique. 

\sq $f_{1}(x) = \sin(x)+1$ ; $f_{2}(x) = -\cos(x)$ ; $f_{3}(x) = \ln(-x)$ (test de la r\'eponse : quel est son ensemble de d\'efinition ?)
; $f_{4}(x) = 2\sqrt{x}$  ; $f_{5}(x) = \sin(2x)$ ; $f_{6}(x) = \sqrt{x+1}$ (tester l'ensemble de d\'efinition).

\sq Plus difficile : $f_{7}(x) = 2\sin(x)+1$ ; $f_{8}(x) = \ln(2x+1)$ ; $f_{9}(x) = \sin(2x)+1$ ; $f_{10}(x) = 2\ln(x+1)$.

En d\'eduire le tableau de variations de chacune de ces fonctions, \emph{sans calcul de d\'eriv\'ee}.





%%
\qst{Une d\'emonstration}
 
 \sq Soit $H$ l'homoth\'etie du plan $\bbR^2$ centr\'ee en l'origine et de rapport $1/2$. 
 Donner une formule pour $H(x,y)$. 

\sq  Soit $f$ une fonction de $\bbR$ dans $\bbR$, et $\cal G$ son graphe.
D\'emontrer que le graphe de la fonction $x \mapsto \frac{1}{2}f(2x)$
est l'image de $\cal G$ par l'homoth\'etie $H$.


\end{exo}


