\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Trouver la plus grande valeur propre par une m\'ethode it\'erative}
\Niveau{\DEUGii}
\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\MAO}
\AnglesSecondaires{\Experimental} 
\Theme{\AlgLin}
\ThemesSecondaires{} %Reduction ?

\Objectif{
Les objectifs sont multiples : voir les valeurs propres sous un autre
jour ; exp\'erimenter et conjecturer ; trouver les bonnes hypoth\`eses
pour que la convergence aie lieu (\`a ce sujet, il est tr\`es
\'etonnant de voir que des \'etudiants ayant fait le calcul qui prouve
la convergence, ont d'immenses difficult\'es \`a trouver les
conditions de validit\'es de ce calcul, m\^eme quand, au fond,  il s'agit juste
de ne pas diviser par $0$.)

Am\'eliorations possibles : g\'eom\'etriquement, ce qui se passe est tr\`es clair :
par exemple si la plus grande valeur propre est de module sup\'erieur \`a 1,
quand on it\`ere un vecteur par la matrice,  sa norme augmente, mais
sa direction se raproche du sous-espace propre correspondant \`a la
plus grande valeur propre.
Comment pourrait-on faire visualiser ce syst\`eme
dynamique sous-jacent ?

On pourrait ne donner la deuxi\`eme partie (d\'emonstration)
qu'apr\`es que les \'etudiants aient abord\'e la premi\`ere (pour
\'eviter de vendre la m\`eche...)

Un des inconv\'enients de l'exercice est que les \'etudiants, avant la
toute fin du DEUG, n'ont jamais manipul\'e la norme, et ne connaissent
donc pas ses propri\'et\'es.
} % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}
% Le but de cet exercice est de d\'ecrire une mani\`ere de 
%trouver num\'eriquement une approximation de la valeur propre de plus grande 
%valeur absolue, ceci \emph{sans calculer le polyn\^ome caract\'eristique}.

On rappelle que si $v$ est un vecteur de ${\bbR}^2$, on note $\parallel v\parallel$
le nombre $\sqrt {|v[1]|^2 +|v[2]|^2}$ (norme euclidienne, en Maple : norm).
Cette norme v\'erifie l'in\'egalit\'e triangulaire et
$\parallel \lambda v\parallel=
|\lambda|\parallel v\parallel$. 


\paragraph{Phase exp\'erimentale :} choisir une matrice $A$, $2\times 2$ \`a coefficients 
r\'eels, au hasard, par exemple l'une des matrices suivantes :

$\Mx{1&2\\3&1}\ \ \ 
\Mx{4&4\\1&4}\ \ \ 
\Mx{1&1\\1&0}$.

V\'erifier (avec Maple ) que la matrice $A$ est diagonalisable sur
${\bbR}$ et donner des valeurs  
num\'eriques approch\'ees de ses valeurs propres (si elle n'est pas
diagonalisable, changer de matrice !).



Choisir un vecteur $v\in {\bbR} ^2$ au hasard. Calculer les premi\`eres valeurs 
des vecteurs $Av,\cdots ,A^nv, \cdots$. 
Donner une conjecture sur la limite du rapport de $\parallel A^{n+1}v\parallel$
et $\parallel A^n v\parallel$, quand $n \rightarrow +\infty$.

R\'ep\'eter l'exp\'erience avec plusieurs matrices.

\paragraph{D\'emonstration.} On veut prouver le r\'esultat suivant :
Soit $A$ une matrice $2 \times 2$, diagonalisable sur ${\bbR}$, et on note
$\lambda$ la valeur propre de plus grande valeur absolue. Montrer que si $v$ 
est un vecteur de ${\bbR}^2$, v\'erifiant une certaine condition
(\emph{\`a trouver !}), le quotient $\parallel A^{n+1}v\parallel/
\parallel A^n v\parallel$ tend vers $|\lambda |$ quand $n \rightarrow +\infty$.
 
\sq On pourra commencer par \'ecrire la preuve pour une matrice diagonale.

\sq Prouver ensuite le r\'esultat dans le cas g\'en\'eral d'une matrice $
2\times 2$ diagonalisable non diagonale.

\sq Plus difficile : \'enoncer et prouver le r\'esultat pour une matrice de taille 
quelconque.

\paragraph{Facultatif.} Quand on manipule des matrices de tr\`es grande taille, le 
calcul du polyn\^ome caract\'eristique est tr\`es long (le calcul d'un 
d\'eterminant d'une matrice $p\times p$ demande plus de $p!$ "op\'erations
\'el\'ementaires" (addition ou multiplication de 2 r\'eels).
Calculer le nombre d'op\'erations \'el\'ementaires pour calculer
$\parallel A^{n+1}v\parallel/\parallel A^n v\parallel$
pour une matrice $A$ de taille $p\times p$. Commenter ?
\end{exo}
