\Annee{2007}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{}
\Date{2007/01/15}
\Titre{Tableau de variations sans d\'eriver}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{}

\AnglePedagogique{\Visualisation} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Fonctions} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{} 

\Objectif{Cet exercice fait voir comment on peut d\'eterminer le sens de variation de fonctions simples sans calcul de d\'eriv\'ee.}

\begin{exo}
\qst{}
Rappeler rapidement les sens de variation des fonctions usuelles suivantes : 
 $x \mapsto ax+b$ ($a,b$ constantes) ;
$ x \mapsto e^x$ ;
$ x \mapsto x^2$ ;
$ x \mapsto x^3$ ;
$x \mapsto \sqrt{x}$ ;
$x \mapsto \ln(x)$ ;
$x \mapsto 1/x $.

\qst{}
D\'eterminer, en imitant l'exemple et sans calcul de d\'eriv\'ee, le tableau de variation des fonctions suivantes. On commencera par donner l'ensemble de d\'efinition.

\parbox{0.45\textwidth}{
\begin{itemize}
\item $f_{1} :  x \mapsto e^{2x+1}$ ;
\item $f_{2} :  x \mapsto \sqrt{-x}$ ;
\item $f_{3} :  x \mapsto \sqrt{e^x+2}$ ;
\item $f_{4} :  x \mapsto \ln(x^2+1)$ ;
\end{itemize}
}
\parbox{0.45\textwidth}{
\begin{itemize}
\item $f_{5} : x \mapsto \frac{1}{x+2}$ ;
\item $f_{6} : x \mapsto \frac{1}{1+1/x}$.
\item $f_{7} : x \mapsto \ln(x)^2$.
\end{itemize}
}

\paragraph{Exemple pour $f_{4}$}
La fonction  $f_{4}(x)$ est d\'efinie sur $\bbR$.
\begin{enumerate}
\item Sur l'intervalle $]-\infty,0]$, lorsque $x$ cro\^it, $x^2+1$  d\'ecro\^it entre $+\infty$ et $1$ ;
 donc son logarithme d\'ecro\^it entre $+\infty$ et $\ln(1)$.
\item Sur l'intervalle $[0,+\infty[$, lorsque $x$ cro\^it, $x^2+1$  cro\^it entre $1$ et $+\infty$ ; donc son logarithme cro\^it entre $\ln(1)$ et $+\infty$.
\end{enumerate}
 D'o\`u la tableau de variation complet...
 
\paragraph{Remarque}
On utilise que la compos\'ee de deux fonctions croissantes est croissante, la compos\'ee d'une fonction croissante et d'une fonction d\'ecroissante est d\'ecroissante, \emph{etc.}.

\end{exo}


