\Annee{2001}
\Auteur{Arnaud \textsc{Ch\'eritat}}
\Titre{Bouteilles impossibles \`a vider.}
\Date{2001/09/23}
\Niveau{\DEUGi}
\AnglePedagogique{\Ludique}
\AnglesSecondaires{\Experimental}
\Theme{\Suites}
\ThemesSecondaires{\Fonctions}


\Objectif{La r\'esolution de la question d'optimisation de cet exercice
n\'ecessite le calcul d'une limite, qui se trouve \^etre un exemple
standard. La derni\`ere question, qui demande un peu d'astuce, est une
application de la formule~: pour tout $x>0$, $e^x>1+x$.}


\begin{exo}
  
Ah ! Ces fabricants d'emballages ! Je viens de terminer une
bouteille d'un litre d'anis concentr\'e, dont je voudrais me
servir comme r\'ecipent pour de l'eau. Son \'el\'egant dessin
poss\`ede un d\'efaut majeur : quand on la renverse pour en
vider le contenu, elle garde syst\'ematiquement 1 centilitre de
liquide, m\^eme en la secouant dans tous les sens. Et je ne dispose
pas de paille, ni d'autre moyen, pour la vider plus. Je la
remplis donc d'eau. La bouteille contient alors de l'anis \`a
$\mathrm{1/100^e}$, ce qui a encore trop de go\^ut. Ce n'est pas
grave, j'en jette le contenu et la remplis \`a nouveau. Au bout de 4
remplissages, l'anis est dilu\'e \`a un pour un cent
millions. On ne sent alors plus son go\^ut, mais j'ai g\^ach\'e
2,96 litres d'eau.

\qst{(Annexe)} Pourquoi est-ce que j'affirme avoir g\^ach\'e 2,96
litres et non pas 4 ?

\qst{} J'aurais pu \^etre plus \'econome, voyez-vous comment ?

\qst{} Essayez d'optimiser votre m\'ethode.

\qst{Plus difficile} Prouver que l'on ne peut pas faire mieux.

\end{exo}
