\Annee{2002}
%Faire un fichier par exercice. 
\Titre{Paradoxe de Zenon}

\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}

\Date{2002/04/09} % Format AAAA/MM/JJ. pour le 5 mars 2001: \Date{2001/03/05}

\Niveau{\DEUGii} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...
% pour la liste complete des Niveaux, voir
% http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~guirarde/EXEMAALT/pour_les_auteurs/liste_des_categories.tex

\NiveauxSecondaires{} %Eventuellement, les niveaux secondaires separes par des virgules 

\AnglePedagogique{\Visualisation} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...
% pour la liste complete des Angles pedagogiques, voir
% http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~guirarde/EXEMAALT/pour_les_auteurs/liste_des_categories.tex

\AnglesSecondaires{\Historique} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Series} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...
% pour la liste complete des Themes, voir
% http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~guirarde/EXEMAALT/pour_les_auteurs/liste_des_categories.tex

\ThemesSecondaires{} %Eventuellement, les themes secondaires separes par des virgules

\Objectif{Z\'enon d'\'El\'ee prouvait l'impossibilit\'e du mouvement par son fameux paradoxe.
L'existence de s\'eries convergentes n'est pas une \'evidence, et les visualiser comme inscrites dans le temps
peut aider \`a s'en faire une repr\'esentation.
L'exercice est peut-\^etre bien adapt\'e pour \^etre trait\'e en groupe (je ne l'ai pas test\'e).
} % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}
% mettre ici le texte de l'exercice.

% pour introduire une     question (1,2,3) , sous-question (a,b,c) , sous-sous-question (i,ii,iii) 
% utiliser les commandes   \qst{titre}          \sq                    \ssq
% pour faire des separations entre des grandes parties (I,II,III), utiliser la commande \partie{titre}
% les commandes \sq et \ssq peuvent accepter un titre optionel \sq[titre] \ssq[titre]

% Ne pas utiliser de macro exotique sans la definir.
% Conventions: les nombres reels, complexes, entiers etc: \bbR \bbC \bbN.
% Lettres caligraphiques: \cala \calb \calc \cald etc... donnent des A,B,C,D caligraphiques.
% les fichiers de figures doivent etre dans un repertoire nomm� "figures".
\qst{Paradoxe de Z\'enon.}
Le paradoxe suivant a �t� imagin� par Z�non d'�l�e (490-430 Avant JC). 
Achille fait une course avec la tortue. Il part 100 m\`etres derri\`ere la tortue, mais
il va dix fois plus vite qu'elle. Quand Achille arrive au point de d\'epart de la tortue,
la tortue a parcouru 10 m\`etres. Pendant qu'Achille parcourt ces 10m, la tortue a avanc\'e d'un m\`etre.
Pendant qu'Achille parcourt ce m\`etre, la tortue a avanc\'e de 10cm... Puisqu'on peut r\'eit\'erer
ce raisonnement \`a l'infini, Z\'enon conclut qu'Achille ne peut pas d\'epasser la tortue.

Comment peut-on d\'epasser ce paradoxe~?

\qst{Une bille qui rebondit.\footnote{amener une vraie bille de verre ou m\'etallique (qui rebondit bien et de maniere sonore) 
en TD pour faire l'exp\'erience !}}

\sq Une balle part d'une certaine hauteur $h_0$ au dessus du sol (sans vitesse initiale). Combien de temps met elle pour
arriver sur le sol (n\'egliger les frottements)~? Quelle est son \'energie cin\'etique lorsqu'elle arrive au niveau du sol~?

\sq On mod\'elise le rebond de la fa{\c c}on suivante~: lorsque la balle rebondit elle perd une certaine proportion
$p$ de son \'energie cin\'etique (par exemple $p=10\%$). Etant partie de la hauteur $h_0$, A quelle hauteur $h_1$ va-t-elle remonter~?
Quelle est la dur\'ee $t_0$ entre les deux premiers rebonds~?

\sq Combien de fois la balle rebondit-elle~? Pendant combien de temps rebondit-elle~?

\paragraph{Question subsidiaire.} Vous connaissez le bruit d'une bille qui rebondit, avec des rebonds de plus en plus rapproch\'es. 
Imaginez maintenant une balle qui rebondit, non plus selon le mod\`ele ci-dessus, mais selon un autre loi. 
Par exemple la dur\'ee du $n$-i\`eme rebond est donn\'e par $1/n$. Que va-t-on entendre ?
Voir \texttt{\href{\repertexos zenon/sons}{\repertexosAffichable zenon/sons}}
pour \emph{\'ecouter rebondir des s\'eries}.


\qst{La mouche et les trains}
Deux trains partent simulan\'ement, et \`a une m\^eme vitesse constante $v$. 
Le premier va de Paris \`a Marseille, et le second, de Marseille \`a Paris.

Une mouche part simultan\'ement de Paris \`a vitesse $3v$ (elle suit les rails en direction de Marseille).
Lorsqu'elle rencontre le train Marseille-Paris, elle fait demi-tour vers Paris.
Lorsqu'elle rencontre le train Paris-Marseille, elle fait demi-tour et de dirige \`a nouveau vers Marseille, etc. 
Elle s'arr\^ete lorsque les trains se croisent.

\sq Faire un dessin dans l'espace-temps (la position en abscisse, par exemple, le temps en ordonn\'ee)
\sq Combien de fois la mouche fait elle demi-tour~?
\sq Quelle est la longueur de chaque trajet~?
\sq Quelle distance parcourt-t-elle en tout~?



\end{exo}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
