\Annee{2002} %Faire un fichier par exercice. \Titre{Paradoxe de Zenon} \Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}} \Date{2002/04/09} % Format AAAA/MM/JJ. pour le 5 mars 2001: \Date{2001/03/05} \Niveau{\DEUGii} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ... % pour la liste complete des Niveaux, voir % http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~guirarde/EXEMAALT/pour_les_auteurs/liste_des_categories.tex \NiveauxSecondaires{} %Eventuellement, les niveaux secondaires separes par des virgules \AnglePedagogique{\Visualisation} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ... % pour la liste complete des Angles pedagogiques, voir % http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~guirarde/EXEMAALT/pour_les_auteurs/liste_des_categories.tex \AnglesSecondaires{\Historique} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules \Theme{\Series} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ... % pour la liste complete des Themes, voir % http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~guirarde/EXEMAALT/pour_les_auteurs/liste_des_categories.tex \ThemesSecondaires{} %Eventuellement, les themes secondaires separes par des virgules \Objectif{Z\'enon d'\'El\'ee prouvait l'impossibilit\'e du mouvement par son fameux paradoxe. L'existence de s\'eries convergentes n'est pas une \'evidence, et les visualiser comme inscrites dans le temps peut aider \`a s'en faire une repr\'esentation. L'exercice est peut-\^etre bien adapt\'e pour \^etre trait\'e en groupe (je ne l'ai pas test\'e). } % Partie objectifs et commentaires. \begin{exo} % mettre ici le texte de l'exercice. % pour introduire une question (1,2,3) , sous-question (a,b,c) , sous-sous-question (i,ii,iii) % utiliser les commandes \qst{titre} \sq \ssq % pour faire des separations entre des grandes parties (I,II,III), utiliser la commande \partie{titre} % les commandes \sq et \ssq peuvent accepter un titre optionel \sq[titre] \ssq[titre] % Ne pas utiliser de macro exotique sans la definir. % Conventions: les nombres reels, complexes, entiers etc: \bbR \bbC \bbN. % Lettres caligraphiques: \cala \calb \calc \cald etc... donnent des A,B,C,D caligraphiques. % les fichiers de figures doivent etre dans un repertoire nommé "figures". \qst{Paradoxe de Z\'enon.} Le paradoxe suivant a été imaginé par Zénon d'Élée (490-430 Avant JC). Achille fait une course avec la tortue. Il part 100 m\`etres derri\`ere la tortue, mais il va dix fois plus vite qu'elle. Quand Achille arrive au point de d\'epart de la tortue, la tortue a parcouru 10 m\`etres. Pendant qu'Achille parcourt ces 10m, la tortue a avanc\'e d'un m\`etre. Pendant qu'Achille parcourt ce m\`etre, la tortue a avanc\'e de 10cm... Puisqu'on peut r\'eit\'erer ce raisonnement \`a l'infini, Z\'enon conclut qu'Achille ne peut pas d\'epasser la tortue. Comment peut-on d\'epasser ce paradoxe~? \qst{Une bille qui rebondit.\footnote{amener une vraie bille de verre ou m\'etallique (qui rebondit bien et de maniere sonore) en TD pour faire l'exp\'erience !}} \sq Une balle part d'une certaine hauteur $h_0$ au dessus du sol (sans vitesse initiale). Combien de temps met elle pour arriver sur le sol (n\'egliger les frottements)~? Quelle est son \'energie cin\'etique lorsqu'elle arrive au niveau du sol~? \sq On mod\'elise le rebond de la fa{\c c}on suivante~: lorsque la balle rebondit elle perd une certaine proportion $p$ de son \'energie cin\'etique (par exemple $p=10\%$). Etant partie de la hauteur $h_0$, A quelle hauteur $h_1$ va-t-elle remonter~? Quelle est la dur\'ee $t_0$ entre les deux premiers rebonds~? \sq Combien de fois la balle rebondit-elle~? Pendant combien de temps rebondit-elle~? \paragraph{Question subsidiaire.} Vous connaissez le bruit d'une bille qui rebondit, avec des rebonds de plus en plus rapproch\'es. Imaginez maintenant une balle qui rebondit, non plus selon le mod\`ele ci-dessus, mais selon un autre loi. Par exemple la dur\'ee du $n$-i\`eme rebond est donn\'e par $1/n$. Que va-t-on entendre ? Voir \texttt{\href{\repertexos zenon/sons}{\repertexosAffichable zenon/sons}} pour \emph{\'ecouter rebondir des s\'eries}. \qst{La mouche et les trains} Deux trains partent simulan\'ement, et \`a une m\^eme vitesse constante $v$. Le premier va de Paris \`a Marseille, et le second, de Marseille \`a Paris. Une mouche part simultan\'ement de Paris \`a vitesse $3v$ (elle suit les rails en direction de Marseille). Lorsqu'elle rencontre le train Marseille-Paris, elle fait demi-tour vers Paris. Lorsqu'elle rencontre le train Paris-Marseille, elle fait demi-tour et de dirige \`a nouveau vers Marseille, etc. Elle s'arr\^ete lorsque les trains se croisent. \sq Faire un dessin dans l'espace-temps (la position en abscisse, par exemple, le temps en ordonn\'ee) \sq Combien de fois la mouche fait elle demi-tour~? \sq Quelle est la longueur de chaque trajet~? \sq Quelle distance parcourt-t-elle en tout~? \end{exo} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End: