\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{color}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts}
\usepackage{array}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{xy}
\usepackage{pstricks}
%\usepackage{french}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[dvips,colorlinks=true,linkcolor=couleurlien,citecolor=couleurlien,%
urlcolor=couleurURL,filecolor=couleurURL,bookmarksopen=false,bookmarks=true]{hyperref}

\xyoption{all}

\definecolor{couleurlien}{rgb}{0,0.5,0}%vert
\definecolor{couleurURL}{rgb}{0,0,1}%bleu

\pagestyle{empty}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% format page %%%%%%%

\newlength{\hauteur}
\newlength{\largeur}
\newlength{\margeverticale}
\newlength{\margehorizontale}

\setlength{\hauteur}{145mm}
\setlength{\largeur}{180mm}
\setlength{\margehorizontale}{5mm}
\setlength{\margeverticale}{5mm}

%On va calculer \textwidth et \textheight a partir des donnees

%
\setlength{\hoffset}{-1in}    % pour que l'origine latex soit la meme que l'origine dvips
\setlength{\voffset}{-1in}    % pour que l'origine latex soit la meme que l'origine dvips
\setlength{\headsep}{0pt}
\setlength{\headheight}{0pt}

\setlength{\oddsidemargin}{\margehorizontale}       
\setlength{\textwidth}{\largeur}
\addtolength{\textwidth}{-2\margehorizontale}

\setlength{\topmargin}{\margeverticale}
\setlength{\textheight}{\hauteur}
\addtolength{\textheight}{-2\margeverticale}
\addtolength{\textheight}{-\headheight}          %\headheight=12pt \headsep=25pt
\addtolength{\textheight}{-\headsep}          %\headheight=12pt \headsep=25pt



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\espaceexo}{\newpage}
\newcommand{\espaceseparation}{\newpage}

              

\newcommand{\titreglobal}{%
\begin{center}
\textsc{\Large Exercices Alternatifs}\\
\vspace{0.2cm}
Class\'es par angle p\'edagogique.\\
{\small \today}
\end{center}
}
%

\newcommand{\texteseparation}{Angle p\'edagogique \thesection~: \ecritangle}
\newcommand{\bookmarkseparation}{\ecritangle}

\newcommand{\informations}{Niveau: \emph{\ecritniveau}.}
 

\sloppy


%%%%%%% Commandes definies par french, en dont on a besoin

\newcommand{\deuxpoints}{:}
\newcommand{\pointinterrogation}{?}
\newcommand{\pointexclamation}{!}
\newcommand{\fup}[1]{\ensuremath{{}^{\text{#1}}}}


%%%%%%%%% Chiffres romains et arabes pour les numerotations

\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\thesection.\arabic{subsection}}

%%%%%%%%%% Macros \partie \qst \sq et \ssq pour les questions des exos %%%%%%%%%%%%%%

\newcounter{partie}
\newcounter{qst}
\newcounter{sq}
\newcounter{ssq}
\renewcommand{\thepartie}{\Roman{partie}}
\renewcommand{\theqst}{\arabic{qst}}
\renewcommand{\thesq}{\alph{sq}}
\renewcommand{\thessq}{\roman{ssq}}

%%%%%
 %   Attention, j'ai eu des problemes de liens (en pdf) vers \sq
 %   si je n'utilise pas une commande \paragraph* pour mettre en forme.
%%%%
\newcommand{\partie}[1]{\refstepcounter{partie}\setcounter{qst}{0}\setcounter{sq}{0}\setcounter{ssq}{0}
\subsection*{\thepartie. #1}}


\newcommand{\qst}[1]{\setcounter{sq}{0}\setcounter{ssq}{0}%
\refstepcounter{qst}\subsubsection*{Question \theqst. #1}}

\newcommand{\sq}[1][]{\setcounter{ssq}{0}\refstepcounter{sq}
\paragraph*{\thesq. #1}}

\newcommand{\ssq}[1][]{\refstepcounter{ssq}
 
 \subparagraph*{\textnormal{\textit{(\thessq)}. \textsc{#1} ---}}}
         

%%%%%%%%% definition des commandes \masection (separation entre categories d'exos)
%%%%%%%%%            et \monannexe (contenant les listes d'exos tries par categories)
%%%%%%%%% Les titres des exos eux-memes sont modeles par \begin{exo} (CF plus loin)
%%%%%%%%% Les commandes masection et monannexe ont 2 arguments (le 1er est optionnel):
%%%%%%%%% #1= le nom du bookmark correspondant dans le pdf (=titre raccourci)
%%%%%%%%% #2= le titre de la section en quetion

\newcommand{\masection}[2][]{\espaceseparation
\refstepcounter{section}%
\setcounter{subsection}{0}\setcounter{partie}{0}\setcounter{qst}{0}\setcounter{sq}{0}\setcounter{ssq}{0}
\label{label_section_\arabic{section}}
\addtocontents{toc}{\protect\contentsline{section}{#2}{\protect\pageref{label_section_\arabic{section}}}{section.\arabic{section}}}
\pdfbookmark[1]{#1}{anchor_section_\arabic{section}}
\vspace{0.3cm}
\centerline{\textbf{\Large #2}}
\vspace{0.3cm}
}

% en fait on definit monannexe=masection
\newcommand{\monannexe}[2][]{\masection[#1]{#2}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%
%%%%%%%%         FORMAT de L'index                                       
%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%  PARTIE de l'index OFFICIEL %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%
%%%%%%%% Definition du format de l'index (= les listes d'exos tries par categorie)
%%%%%%%% \lingeindexniveau       : definit une reference a un exo dans la liste triee par niveau
%%%%%%%% \separationindexniveau  : separation entre niveau deug et license par exemple
%%%%%%%% \titreindexniveau       : ecrit le titre << liste des exos tries par niveau >>

%ligneindex a trois arguments: dans l'ordre: le titre de l'exo, les infos, 
% le nom du fichier l'exo (pour reference)
%Cette commande contient le format commun des commandes ligneindextruc
\newcommand{\ligneindexgenerale}[3]{\noindent \hyperref[label-#3]{%
      \begin{NoHyper}\ref{label-#3} #1 \end{NoHyper}}\newline 
{\small(#2)}\dotfill \pageref{label-#3}\\}

\newcommand{\ligneindexgeneraleNouveau}[3]{\noindent \hyperref[label-#3]{%
      \begin{NoHyper}{\red\ref{label-#3}$^*$} \end{NoHyper}}\hyperref[label-#3]{#1}\newline
{\small(#2)}\dotfill \pageref{label-#3}\\}


%% les 6 arguments de \ligneindextruc sont dans l'odre:
%% #1=titre #2=reference #3=angle #4=niveau #5=theme #6=auteur #7=date
\newcommand{\ligneindexAnglePedagogique}[7]{\ligneindexgenerale{#1}{\protect#4}{#2}}
\newcommand{\ligneindexNiveau}[7]{\ligneindexgenerale{#1}{\protect#3}{#2}}
\newcommand{\ligneindexTheme}[7]{\ligneindexgenerale{#1}{\protect#3, niveau #4}{#2}}
\newcommand{\ligneindexAuteur}[7]{\ligneindexgenerale{#1}{\protect#5, niveau #4}{#2}}

%les memes mais notes ``nouveau''
\newcommand{\ligneindexAnglePedagogiqueNouveau}[7]{\ligneindexgeneraleNouveau{#1}{\protect#4}{#2}}
\newcommand{\ligneindexNiveauNouveau}[7]{\ligneindexgeneraleNouveau{#1}{\protect#3}{#2}}
\newcommand{\ligneindexThemeNouveau}[7]{\ligneindexgeneraleNouveau{#1}{\protect#3, niveau #4}{#2}}
\newcommand{\ligneindexAuteurNouveau}[7]{\ligneindexgeneraleNouveau{#1}{\protect#5, niveau #4}{#2}}

\newcommand{\separationindexAnglePedagogique}[1]{\refstepcounter{subsection}
    \centerline{\large Angle p\'edagogique \arabic{subsection}: #1}
\pdfbookmark[2]{#1}{anchor_subsection_\arabic{section}.\arabic{subsection}}}

\newcommand{\separationindexNiveau}[1]{\refstepcounter{subsection}
    \centerline{\large\Roman{subsection}. Niveau #1}
\pdfbookmark[2]{#1}{anchor_subsection_\arabic{section}.\arabic{subsection}}}


\newcommand{\separationindexTheme}[1]{\refstepcounter{subsection}
  \centerline{\large\Roman{subsection}. #1}
\pdfbookmark[2]{#1}{anchor_subsection_\arabic{section}.\arabic{subsection}}}

\newcommand{\separationindexAuteur}[1]{\refstepcounter{subsection}
  \centerline{\large\Roman{subsection}. Exercices propos\'es par #1}
\pdfbookmark[2]{#1}{anchor_subsection_\arabic{section}.\arabic{subsection}}}

%%%%%%%%% Partie NON OFFICIELLE de l'index  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Les commandes NonOfficielTheme disent ce qu'il faut faire quand on rentre dans la
% partie non officielle de l'index par theme
% doit etre model\'e sur \separationindextheme
\newcommand{\NonOfficielTheme}{\refstepcounter{subsection}
  \centerline{\large\Roman{subsection}. Autres th\`emes}
\pdfbookmark[2]{Autres th\`emes}{anchor_subsection_\arabic{section}.\arabic{subsection}}}

\newcommand{\NonOfficielNiveau}{\refstepcounter{subsection}
  \centerline{\large\Roman{subsection}. Autres Niveaux.}
\pdfbookmark[2]{Autres niveaux}{anchor_subsection_\arabic{section}.\arabic{subsection}}}

\newcommand{\NonOfficielAnglePedagogique}{\refstepcounter{subsection}
  \centerline{\large\Roman{subsection}. Autres angles p\'edagogiques.}
\pdfbookmark[2]{Autres angles p\'edagogiques}{anchor_subsection_\arabic{section}.\arabic{subsection}}}


%ligneindexgenerale_nonofficiel a un argument: un nom de fichier (pour reference)
%Cette commande contient le format commun des commandes ligneindextrucNonOfficiel
\newcommand{\ligneindexgeneraleNonOfficiel}[1]{\hyperref[label-#1]{%
      \begin{NoHyper}Ex.~\ref{label-#1}~p.~\pageref{label-#1}. \end{NoHyper}}}

\newcommand{\ligneindexgeneraleNonOfficielNouveau}[1]{\hyperref[label-#1]{%
      \begin{NoHyper}Ex.~\ref{label-#1}~p.~\pageref{label-#1}.\end{NoHyper}}{\red{$^*$}}}

%% les 5 arguments de \ligneindextrucNonOfficiel sont dans l'odre:
%% #1=titre #2=reference #3=angle #4=niveau #5=theme #6=auteur #7=date
\newcommand{\ligneindexAnglePedagogiqueNonOfficiel}[7]{\ligneindexgeneraleNonOfficiel{#2}}
\newcommand{\ligneindexNiveauNonOfficiel}[7]{\ligneindexgeneraleNonOfficiel{#2}}
\newcommand{\ligneindexThemeNonOfficiel}[7]{\ligneindexgeneraleNonOfficiel{#2}}
\newcommand{\ligneindexAuteurNonOfficiel}[7]{}


\newcommand{\ligneindexAnglePedagogiqueNonOfficielNouveau}[7]{\ligneindexgeneraleNonOfficielNouveau{#2}}
\newcommand{\ligneindexNiveauNonOfficielNouveau}[7]{\ligneindexgeneraleNonOfficielNouveau{#2}}
\newcommand{\ligneindexThemeNonOfficielNouveau}[7]{\ligneindexgeneraleNonOfficielNouveau{#2}}
\newcommand{\ligneindexAuteurNonOfficielNouveau}[7]{}%les auteurs sont tous officiels

%\separationindexgeneraleNonOfficiel prend 1 argument: la categorie en question.
\newcommand{\separationindexgeneraleNonOfficiel}[1]{

\noindent\textbf{#1}}

\newcommand{\separationindexAnglePedagogiqueNonOfficiel}[1]{%
\separationindexgeneraleNonOfficiel{#1}}

\newcommand{\separationindexNiveauNonOfficiel}[1]{%
\separationindexgeneraleNonOfficiel{#1}}

\newcommand{\separationindexThemeNonOfficiel}[1]{%
\separationindexgeneraleNonOfficiel{#1}}

%%%%%%%%%%%%%%% Commandes introduisant chaque index
\newcommand{\expliqueetoile}{\renewcommand{\thefootnote}{\protect\red{$^*$}}\footnotetext{\protect\red{Nouvel exercice.}}}

\newcommand{\titreindexangle}{\monannexe[Exos par angle p\'edagogique]{Liste des exercices tri\'es par angle p\'edagogique.}\expliqueetoile \gdef\expliqueetoile{}}
\newcommand{\titreindexniveau}{\monannexe[Exos par niveau]{Liste des exercices tri\'es par niveau.}\expliqueetoile \gdef\expliqueetoile{}}
\newcommand{\titreindextheme}{\monannexe[Exos par th\`eme]{Liste des exercices tri\'es par th\`eme.}\expliqueetoile \gdef\expliqueetoile{}}
\newcommand{\titreindexauteur}{\monannexe[Exos par auteur]{Liste des exercices tri\'es par auteur.}\expliqueetoile \gdef\expliqueetoile{}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% Fin du format de l'index
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% Definition des commandes attachees a l'environnement exo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%% Les commandes \ecrittitre \ecritniveau etc contiennent
% le texte decrivant le titre, le niveau etc de l'exo courant. Elles sont modifiees
% par chaque appel a la commande \titre \niveau etc, (c'est a dire a chaque exercice)
% Au debut on les definit comme etant la commande vide.
% La commande separation separe les grandes parties (et fait donc appel a \masection)


\newcommand{\ecrittitre}{} 
\newcommand{\ecritnouveau}{} 
\newcommand{\ecritnouveaubookmark}{} 
\newcommand{\ecrittitrebookmark}{} 
\newcommand{\ecritniveau}{} 
\newcommand{\ecritangle}{}
\newcommand{\ecrittheme}{}
\newcommand{\ecritauteur}{}
\newcommand{\ecritautresauteurs}{}
\newcommand{\ecrittousauteurs}{\ifthenelse{\equal{\ecritautresauteurs}{}}{\ecritauteur}{\ecritauteur, \ecritautresauteurs}} 
            % le ifthenelse sert a mettre la virgule ou il faut...
\newcommand{\ecritannee}{}% utilisee pour le copyright. Modifiee par \Annee
\newcommand{\ecritdate}{}%contrairement aux autres cette commande n'est pas changee
                         %par \Date{2001/09/01} (inutlisee par latex) mais par \DateAEcrire{Septembre 2001}
                         % (deduit automatiquement par le script perl du contenu de la commande \Date{})
\newcommand{\ecritobjectif}{}
\newcommand{\ecritseparation}{}
\newcommand{\ecritnomfic}{}
\newcommand{\affichenomfic}{}
\newcommand{\ecritfichierunique}{} % mis a 1 par \FichierUnique
\newcommand{\ecritnocopyleft}{} % mis a 1 par \nocopyleft

%%%%%%%%%%%% Les commandes \titre \niveau redefinissent les commandes \ecrittitre
% \ecritniveau ... Elles sont utilisees a chque nouvel exo.


\newcommand{\Titre}[1]{\renewcommand{\ecrittitre}{#1}}
\newcommand{\Niveau}[1]{\renewcommand{\ecritniveau}{#1}}
\newcommand{\Theme}[1]{\renewcommand{\ecrittheme}{#1}}
\newcommand{\AnglePedagogique}[1]{\renewcommand{\ecritangle}{#1}}
\newcommand{\DateAEcrire}[1]{\renewcommand{\ecritdate}{#1}}
\newcommand{\Annee}[1]{\renewcommand{\ecritannee}{#1}}
\newcommand{\Date}[1]{}%la commande Date ne fait rien
\newcommand{\Auteur}[1]{\renewcommand{\ecritauteur}{#1}}
\newcommand{\AutresAuteurs}[1]{\renewcommand{\ecritautresauteurs}{#1}}

\newcommand{\Objectif}[1]{\renewcommand{\ecritobjectif}{#1}}
% les suivantes sont gerees automatiquement.
\newcommand{\titrebookmark}[1]{\renewcommand{\ecrittitrebookmark}{#1}}
\newcommand{\nomfic}[1]{\renewcommand{\ecritnomfic}{#1}\typeout{====== Exercice \ecritnomfic  ======}}
\newcommand{\nomficimprimable}[1]{\renewcommand{\affichenomfic}{#1}}
  %le nomfic est le vrai nom du fichier (peut contenir '_'). sert au label.
  %le nomficimprimable est une commande qui doit afficher le nom du fichier 
  %        (_ doit etre rempalce par \_ par exemple)
\newcommand{\nouveau}{\renewcommand{\ecritnouveau}{$^{\text{\textit{\red{(Nouveau)}}}}$}
                      \renewcommand{\ecritnouveaubookmark}{*}}
\newcommand{\FichierUnique}{\renewcommand{\ecritfichierunique}{1}}
\newcommand{\nocopyleft}{\renewcommand{\ecritnocopyleft}{1}}


\newcommand{\separation}{\renewcommand{\ecritseparation}{%
\masection[\bookmarkseparation]{\texteseparation}
}}

%ignorer les commandes \NiveauxSecondaires ...
\newcommand{\NiveauxSecondaires}[1]{}
\newcommand{\AnglesSecondaires}[1]{}
\newcommand{\ThemesSecondaires}[1]{}



%%%%%%%%%%% Les commandes \enlevetitre etc. redefinissent comme commande vide
% (le but est que si un niveau n'est pas donne a un exo, il ne prenne pas 
% le niveau precedant)
% on utilise \gdef plutot que \renewcommand pour que 
% ces commandes aient une portee globale meme appelee depuis l'environnement exo

\newcommand{\enlevetitre}{\gdef\ecrittitre{}}
\newcommand{\enlevetitrebookmark}{\gdef\ecrittitrebookmark{}}
\newcommand{\enleveniveau}{\gdef\ecritniveau{}}
\newcommand{\enlevetheme}{\gdef\ecrittheme{}}
\newcommand{\enleveangle}{\gdef\ecritangle{}}
\newcommand{\enleveauteurs}{\gdef\ecritauteur{}\gdef\ecritautresauteurs{}}

\newcommand{\enleveobjectif}{\gdef\ecritobjectif{}}
\newcommand{\enleveseparation}{\gdef\ecritseparation{}}
\newcommand{\enlevenomfic}{\gdef\ecritnomfic{}}
\newcommand{\enlevenomficimprimable}{\gdef\affichenomfic{}}
\newcommand{\enlevenouveau}{\gdef\ecritnouveau{} \gdef\ecritnouveaubookmark{}}
\newcommand{\enlevefichierunique}{\gdef\ecritfichierunique{}}
\newcommand{\enlevenocopyleft}{\gdef\ecritnocopyleft{}}


\newcommand{\enlevetout}{\desetiquette% 
\enlevetitre \enleveniveau \enlevetheme \enleveangle \enleveauteurs \enleveobjectif \enleveseparation
\enlevenomfic \enlevenomficimprimable \enlevenouveau \enlevefichierunique \enlevenocopyleft}


%%%%%%%%%%% La commande etiquette (obsolete, maintenant le nom de fichier utilise automatiquement comme cle) 
% est appelee a chaque exo pour definir une clef (\label)
% pour les cross-references. C'est une commande qui redefinit la commande \labelexo.
% La fonction desetiquette la redefinit comme la commande vide

\newcommand{\labelexo}{}
\newcommand{\etiquette}[1]{\renewcommand{\labelexo}{\label{#1}}}
\newcommand{\desetiquette}{\gdef\labelexo{}}



% la version `` Affichable '' des commandes doit pouvoir etre `` affichee ''. En particulier, pas de caractere souligne non protege !
\newcommand{\adresseLDL}{http\deuxpoints//garp.univ-bpclermont.fr/guilde/Guilde/Licence/ldl.html}
\newcommand{\adresseLDLAffichable}{\adresseLDL}
\newcommand{\repertexos}{http\deuxpoints//matexo.emath.fr/exemaalt/exos_individuels/tex/}
         %endroit ou sont les sources des exos pour faire un lien 
\newcommand{\repertexosAffichable}{http\deuxpoints//matexo.emath.fr/exemaalt/exos\_individuels/tex/}
\newcommand{\repertexosimprimable}{http\deuxpoints//matexo.emath.fr/exemaalt/exos_individuels/pdf_imprimable/}
         %endroit ou sont les sources des exos pour faire un lien
\newcommand{\repertexosimprimableAffichable}{http\deuxpoints//matexo.emath.fr/exemaalt/exos\_individuels/pdf\_imprimable/}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Environnement exo
%
% C'est dans cet environnement qu'on dit comment on formate chaque exo, en ecrivant
% l'objectif....

\newenvironment{exo}{%

\espaceexo

\ecritseparation

\vspace{0.2cm}
\setcounter{partie}{0}\setcounter{qst}{0}\setcounter{sq}{0}\setcounter{ssq}{0}\setcounter{thm}{0}
\refstepcounter{subsection}  
\noindent {\Large \textbf{\thesubsection. \ecrittitre\ecritnouveau}}
\labelexo %label donne par la commande etiquette (obsolete)
\label{label-\ecritnomfic} % label interne defini par le nom du fichier
\pdfbookmark[2]{\ecrittitrebookmark\ecritnouveaubookmark}{anchor_exo_\thesubsection}
\begin{quote}
\ifthenelse{\equal{\ecritnocopyleft}{}}{%cas standard, avec copyleft
{\small \copyright \ecritannee\ \ecrittousauteurs\ 
(copyleft \href{\adresseLDL}{LDL :} 
\href{\adresseLDL}{Licence} 
\href{\adresseLDL}{pour} 
\href{\adresseLDL}{Documents} 
\href{\adresseLDL}{Libres}).}}%fin du cas avec copyleft
{%cas sans copyleft
\small \ecrittousauteurs. (Cet exercice n'est pas sous copyleft LDL)}%fin du ifthenelse copyleft 

\ifthenelse{\equal{\ecritfichierunique}{}}{%cas ou le fichier est multiple
Sources et figures: \href{\repertexos\ecritnomfic}{\texttt{\affichenomfic/}}.\newline 
Version imprimable: \href{\repertexosimprimable\ecritnomfic.pdf}{\texttt{\affichenomfic.pdf}}%
}{%cas ou le fichier est unique
Source: \href{\repertexos\ecritnomfic/\ecritnomfic.tex}{\texttt{\affichenomfic.tex}}.\newline 
Version imprimable: \href{\repertexosimprimable\ecritnomfic.pdf}{\texttt{\affichenomfic.pdf}}
}

\noindent \informations
\vspace{0.15cm}

\noindent\textsc{Objectifs et commentaires.} {\itshape\small\ecritobjectif}

\centerline{\rule{0.3\textwidth}{.2pt}}

\end{quote}
}{\enlevetout

\vspace{0.15cm}\centerline{\rule{0.3\textwidth}{.2pt}}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Fin environnement exo

\input{liste_des_categories.tex}
\input{macros.tex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%
%%%%%%%%%    debut du document
%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document} 

\titreglobal

\input{abstract-exos.tex}

\vspace{0.3cm}

\setcounter{tocdepth}{2}
\pdfbookmark[1]{Table des mati\`eres}{anchor_tablematieres}
\tableofcontents 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\separation


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{numeration-decimale}
\nomficimprimable{numeration-decimale}
\FichierUnique\titrebookmark{0,9999999...}
\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2001/09/01}
%Faire un fichier par exercice. 
\Titre{0,9999999...}
\Niveau{\DEUGii} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi, \DEUGii, \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{\DEUGi} %Les niveaux secondaires separes par des virgules
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert} %l'angle pedagogique principale. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Recherche, ...
\AnglesSecondaires{\Langage,\Ludique} %Les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules
\Theme{\Series} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...
\ThemesSecondaires{\'Ecriture d\'ecimale} %Themes secondaires separes par des virgules

\Objectif{Utiliser les s\'eries pour donner un sens \`a l'\'ecriture
 d\'ecimale.
Bien s\^ur, on peut r\'epondre \`a la question en utilisant
 l'\'egalit\'e $3 \times 1/3=1$  : si le nombre $0,999...$ a un sens,
 alors il doit \^etre \'egale \`a $1$. Mais on peut aussi en profiter
 pour d\'efinir ce nombre, comme la somme d'une s\'erie g\'eom\'etrique
 ; et, miracle !, on obtient bien $1$...
}
 % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}
% mettre ici le texte de l'exercice.
% pour introduire une sous-question, utiliser la commande \sq
% Ne pas utiliser de macro exotique sans la definir.
% Conventions: les nombres reels, complexes, entiers etc: \bbR \bbC \bbN.
% Lettres caligraphiques: \cala \calb \calc \cald etc... donnent des A,B,C,D caligraphiques.
% les fichiers de figures doivent etre dans un repertoire nommé "figures".
A-t-on $0,999...=1$ ?

Indication : comment peut-on d\'efinir le nombre $0,999...$ ?
\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{approximations-affines}
\nomficimprimable{approximations-affines}
\FichierUnique\titrebookmark{Approximations affines}
\nouveau
\Annee{2007}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{}
\Date{2007/01/15}
\Titre{Approximations affines}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{}

\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\FonctionsPlusieursVars}  %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{} 

\Objectif{Cet exercice classique montre comment on peut utiliser la formule de Taylor pour
estimer les petites variations d'une fonction de deux variables, dans des cadres tr\`es concrets. Les trois premi\`eres questions utilisent la formule \`a l'ordre $1$, la derni\`ere \`a l'ordre $2$. La question sur le c\^one est plus difficile parce qu'elle utilise  la notion
d'incertitude relative.}

\begin{exo}
\qst{Petites variations de la diagonale d'un carr\'e}
\sq Donner l'expression de la diagonale $d(x,y)$ d'un rectangle de c\^ot\'es $x$ et $y$.

\sq On consid\`ere un rectangle de c\^ot\'es $x=30 cm$ et $y=40 cm$. En utilisant l'approximation affine de $d$ (c'est-\`a-dire en n\'egligeant le reste dans la formule de Taylor), donner  une estimation de  la variation de $d$ lorsque $x$ augmente de 4mm et $y$ diminue de 1mm (sans utiliser la  calculatrice !). Calculer la longueur de la nouvelle diagonale \`a la calculatrice, et comparer avec l'estimation.

%11/5 de mm.

\qst{Petites variations de la surface d'une bo\^ite} On consid\`ere un container en carton de volume $1m^3$, 
dont la base a pour dimension $x=2m$ et $y=1m$ . On veut fabriquer un deuxi\`eme container en carton de m\^eme volume, avec une base de c\^ot\'es 195cm et 95cm. Donner (sans calculatrice) une estimation de la diff\'erence de surfaces ext\'erieures entre les deux containers \`a l'aide l'approximation affine. Calculer la nouvelle surface \`a l'aide de la calculatrice, et comparer avec l'estimation.

%r\'eponse : 10/4 en cm^2.

\qst{Petites variations du volume d'un c\^one}   On mesure le rayon $r$ et la hauteur $h$  d'un c\^one, avec une incertitude de $3\%$ sur le rayon,  et de $2\%$ sur la hauteur. \'Evaluez l'incertitude sur le volume $V(r,h)=\pi r^2 h/3$ du c\^one, à l'aide 
de l'approximation affine.


\qst{Approximation quadratique}
La surface $S(x,y)$ d'un container en carton de volume $1m^3$ dont la base a pour
dimension $x,y$ est la fonction
$$S(x,y)=2xy+\frac 2 x +\frac 2 y.$$ 
On considère le container de volume $1 m^3$ dont la base a les dimensions $x=1m$ et $y=1m$ (c'est donc
un cube).
On veut estimer
la variation de surface lorsque le c\^oté $x$ augmente de
$5cm$,
et le c\^oté $y$ diminue de $10cm$. 

\sq Ecrire la formule de Taylor à l'ordre $1$ au point $(1,1)$. Peut-on en déduire
une estimation de la variation?


\sq Répondre au problème en utilisant la formule de Taylor à l'ordre
2, et en supposant que le reste est négligeable devant les autres termes.


\sq  Calculer la variation à la calculatrice, et comparer avec votre
estimation.




\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{electricite}
\nomficimprimable{electricite}
\titrebookmark{Circuit \'Electrique}
\Annee{2001}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Circuit \'Electrique}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert}
\Niveau{\DEUGi}
\Theme{\AlgLin}


\Objectif{Rappeler l'importance des syst\`emes lin\'eaires hors de math\'ematiques.}

\begin{exo}
\begin{center}
\includegraphics{circuit_elec.eps}
\end{center}

\vspace{-0.6cm}
Calculer les courants dans les branches du circuit ci-dessus.
On rappelle les lois de Kirchhoff: la somme (alg\'ebrique)
des courants entrant en un noeud est nulle, et la somme des tensions
(alg\'ebriques) le long d'une boucle du circuit est nulle.
On a aussi la loi d'Ohm: $U=Ri$ aux bornes d'une r\'esistance :
\includegraphics{loi_d_Ohm.eps}.
\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{recrutement}
\nomficimprimable{recrutement}
\FichierUnique\titrebookmark{Concours de recrutement}
\Annee{2001}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Concours de recrutement}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert}
\Theme{\AlgLin}
\Niveau{\DEUGi}
\etiquette{recrutement}

\Objectif{Montrer que m\^eme dans des situations concr\`etes,
la solution \`a un probl\`eme donn\'e n'est pas toujours unique.
Ici la non-unicit\'e est previsible, et facile \`a interpr\^eter.}

\begin{exo} Vous projetez de passer un coucours de recrutement l'an prochain.
Vous avez sous les yeux le tableau de notes suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{l|ccc}
Candidat & A & B & C \\
\hline
Math\'ematiques & 7  & 11 & 11 \\
Anglais         & 12 & 6  & 16 \\
Informatique    & 6  & 10 & 14 \\
\hline
Moyenne         & 8  & 9  & 14
\end{tabular}
\end{center}
Retrouvez les coefficients de chaque \'epreuve. 
La solution est-elle unique ? Pourquoi ?
\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{systemes_dynamiques_lineaires}
\nomficimprimable{systemes\_dynamiques\_lineaires}
\FichierUnique\titrebookmark{Exemples de syst\`emes dynamiques lin\'eaires, matrices stochastiques}
\Annee{2002}
\Titre{Exemples de syst\`emes dynamiques lin\'eaires, matrices stochastiques}
\Date{2002/03/13}
\Niveau{\DEUGii} 
\NiveauxSecondaires{\DEUGbio,\DEUGphys}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert} 
\AnglesSecondaires{\Ludique} 
\Theme{\AlgLin}
\ThemesSecondaires{\Suites, suites r\'ecurrentes lin\'eaires}

\Objectif{
  \begin{itemize}
  \item[Objectif ``m\'eta'' :] voir comment un m\^eme concept
    math\'ematique peut mod\'eliser des situations issues de domaines
    vari\'es, et comment un th\'eor\`eme abstrait peut r\'esumer toutes ces
situations, ce qui illustre la g\'en\'eralit\'e des outils d\'evelopp\'es 
par les math\'ematiciens~;
\item[Objectif d'ouverture :] donner une id\'ee de ce qu'est un syst\`eme
  dynamique~;
\item[Objectif interne :] voir des situations o\`u les puissances de
  matrices, et les vecteurs propres, ont un sens concret (voir ci-dessous)~;
\item[Objectif ``technique'' :] calcul de suites d\'efinies par une relation
  de r\'ecurrence lin\'eaire, puissances d'une matrice, diagonalisation. 
  \end{itemize}

\paragraph{Remarques math\'ematiques}
A cause de la nature des probl\`emes choisis,
tous les syst\`emes propos\'es ici (sauf la derni\`ere question)
sont r\'egis par des matrices de transition (ce qui signifie que les
coefficients sont positifs, et que la somme des coefficients de chaque
colonne vaut $1$).
On peut montrer qu'une telle matrice a toujours une
direction propre dans le cône positif (ensemble des vecteurs dont toutes
les coordonn\'ees sont positives), qui correspond \`a la valeur propre $1$.
\footnote{L'existence peut s'obtenir facilement comme cons\'equence du th\'eor\`eme de
point fixe de Brouwer, mais peut aussi se prouver par des consid\'erations
d'alg\`ebre lin\'eaire \'el\'ementaire : voir  le th\'eor\`eme de Perron-Frobenius, 
par exemple dans le livre Katok, Hasselblatt,
Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge
University Press, 1995.}
De plus, si la matrice est transitive
(c'est-\`a-dire qu'il existe une certaine puissance dont tous les termes
sont strictement positifs), alors cette direction propre est unique, et
attire tout vecteur du c\^one positif. Autrement dit, les syst\`emes
dynamiques consid\'er\'es ici ont un unique point fixe qui attire toutes les
orbites.

\paragraph{Remarques p\'edagogiques}
Le sujet est tr\`es long, mais il garde un sens si on n'en fait
seulement la partie~I, ou bien seulement I et II (on peut \'eventuellement ensuite leur
raconter ``magistralement'' la preuve de III).


Ces exercices peuvent \^etre propos\'es en travail en groupe de trois \`a
quatre personnes. On sugg\`ere
de disposer de deux heures, de donner, dans la partie~I,
 un exercice diff\'erent \`a chaque groupe
(en adaptant \'eventuellement aux niveaux~: l'exercice sur la maladie est
plus difficile, puisqu'on est en dimension 3 au lieu de 2, et qu'il y a
des valeurs propres complexes). Il vaut probablement mieux ne pas donner
l'\'enonc\'e complet \`a l'avance aux \'etudiants, puisque le principe consiste \`a leur
faire construire l'\'enonc\'e du th\'eor\`eme \`a partir des cas particuliers \'etudi\'es.

Vers la fin de la r\'esolution, on peut faire remarquer aux \'el\`eves que les
vecteurs propres associ\'es \`a la valeur propre $1$ ont un sens par rapport au
probl\`eme pos\'e~: il s'agit d'\'etats d'\'equilibre, et on montre facilement
que si le syst\`eme admet un \'etat limite, alors ce doit \^etre un tel
vecteur propre (par contre l'existence th\'eorique et la propri\'et\'e de
contraction \'evoqu\'es ci-dessus sont plus difficiles). De plus, le calcul
des valeurs propres suffit pour prouver que la suite converge (pas
besoin pour cela de calculer les autres vecteurs propres,
 ni d'inverser la matrice de passage).

On peut enfin demander aux \'etudiants de critiquer les mod\`eles
(il s'agit \'evi\-dem\-ment de ``mod\`eles-jouets''). Les mod\`eles pertinents
sont rarement lin\'eaires, mais le lin\'eaire a l'avantage de conduire \`a des
calculs explicites, et est souvent une bonne approximation d'un syst\`eme g\'en\'eral au
voisinage des \'etats d'\'equilibre. On peut \'egalement introduire le cadre
g\'en\'eral des syst\`emes dynamiques, et \'evoquer d'autres probl\`emes
y conduisant (m\'ecanique c\'eleste, m\'et\'eo, \textit{etc.}), l'analogue en
temps continu (\'equations diff\'erentielles), \textit{etc.}.

Certains de ces exercices sont librement inspir\'es d'un document
d'accompagnement de la mise en \oe uvre des programmes de Terminale
Economique et Sociale sur la th\'eorie des graphes (rentr\'ee 2002), voir
l'adresse~:

\href{http\deuxpoints//www.eduscol.education.fr/D0015/Intentions.htm}{http\deuxpoints//www.eduscol.education.fr/D0015/Intentions.htm}
.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{exo}
\emph{Afin de pr\'eserver le suspense, il est fortement recommender
de ne pas lire la partie II avant d'avoir r\'esolu l'une des
questions de la  partie I, ni la partie III avant d'avoir r\'epondu aux
questions de la partie II.}


%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{O\`u les maths mod\'elisent des situations diverses}
Choisissez l'un des quatre exercices suivants.



\qst{Migration entre deux villes}
 Deux villes X et Y totalisent une population
d'un million d'habitants. La ville X est plus agr\'eable, mais la ville Y
offre plus de possibilit\'es d'emplois ; 20\% des habitants de Y partent
chaque ann\'ee habiter X pour avoir un meilleur cadre de vie, et 5\% des
habitants de X partent chaque ann\'ee habiter Y pour trouver un meilleur
emploi.  Sachant qu'\`a l'ann\'ee 0, un quart des habitants sont en X,
quelle est la population de X et de Y au bout de 1 an, 2 ans, 5 ans, 10
ans ?

\qst{Agence matrimoniale}
 Dans une ville donn\'ee, 30\% des femmes mari\'ees
divorcent chaque ann\'ee, et chaque ann\'ee, 20\% des femmes c\'elibataires se
marient. De plus, le nombre total de femmes reste constant.  On suppose
qu'en l'an 2000, il y a 8000 femmes mari\'ees et 2000 c\'elibataires. Quel
est le nombre de femmes mari\'ees apr\`es une ann\'ee, deux ann\'ees, cinq
ann\'ees, dix ann\'ees ?


\qst{L'allumeur de r\'everb\`ere}
 Chaque matin, l'allumeur de r\'everb\`ere du
Petit Prince change l'\'etat du r\'everb\`ere de sa plan\`ete avec une
probabilit\'e de 75\%. Au jour 0, le r\'everb\`ere est \'eteint. Quelle est la
probabilit\'e qu'il soit \'eteint demain, et la probabilit\'e qu'il soit
allum\'e ? Que valent ces probabilit\'es dans deux jours, cinq jours, dix
jours, un an ?

\textbf{Indication~:} si les probabilit\'es vous emb\`etent, vous pouvez
consid\'erer une formulation \'equivalente~:
on imagine qu'il y a cent r\'everb\`eres, chacun pouvant \^etre allum\'e ou
\'eteint~; chaque jour, l'allumeur change l'\'etat de 75\% des
r\'everb\`eres. Sachant qu'au jour 0, tous les r\'everb\`eres sont \'eteints,
calculer le nombre de r\'everb\`eres \'eteints et allum\'es le lendemain, \textit{etc.}.


\qst{Propagation d'une maladie}
 On consid\`ere une maladie caus\'ee par une piqûre
d'insecte. Dans la population touch\'ee par cette maladie, les individus
sont dans trois \'etats possibles : immunis\'es, malades, ou
porteurs sains. D'un mois \`a l'autre, l'\'etat d'un individu peut
changer de la mani\`ere suivante~:
\begin{itemize}
\item un individu immunis\'e \`a 90\% de chance
de le rester, mais peut aussi devenir porteur sain avec une probabilit\'e
de 10\%~;
\item un porteur sain a une chance sur deux de devenir malade, et
une chance sur deux de rester porteur sain~;
\item un individu malade a 20\%
de chance de rester malade, et 80\% de chance de gu\'erir (il devient
alors immunis\'e).
\end{itemize}
Sur une population d'un million d'habitants, quelles sont les
proportions de gens malades, porteurs sains et immunis\'es au bout d'un
mois, de 2 mois, de 5 mois, de 10 mois, de 10 ans~? On pourra supposer
qu'au d\'epart, la population est totalement immunis\'ee, ou bien au
contraire qu'un tiers des gens est dans chacun des trois \'etats.
\footnote{Ici le calcul de la matrice inverse n'est pas tr\`es
  agr\'eable. Une fois que les \'el\`eves ont constat\'e cette difficult\'e, on
  peut leur sugg\'erer de laisser tomber ce calcul, et de le remplacer par
  le calcul de la limite et par une estimation de la vitesse de
  convergence (ici, celle de suites g\'eom\'etriques dont le module de la
  raison est de l'ordre de 1/10).}


\vspace{0.15cm}\centerline{\rule{4cm}{.3pt}}


%***********************
\partie{O\`u l'on tente de d\'egager un \'enonc\'e g\'en\'eral}
Dans cette partie, on suppose que chaque \'etudiant est au courant des
r\'esultats des quatre questions de la partie~I~; la mise en commun des
r\'esultats peut se faire \`a l'occasion de la question~\ref{qst.commun}.

\textbf{Les quatre exemples ci-dessus semblent indiquer que la
  mod\'elisation de nombreux probl\`emes va conduire \`a calculer les
  puissances d'un certain type de matrices. Il serait donc int\'eressant
  d'avoir des r\'esultats g\'en\'eraux sur ce type de matrices. Dans la suite, on essaie
  de construire un \'enonc\'e de th\'eor\`eme d'alg\`ebre lin\'eaire, puis de le d\'emontrer.}


\qst{Points communs aux mod\`eles \'etudi\'es (hypoth\`eses)}
On cherche d'abord \`a relever les points communs aux quatre situations
\'etudi\'ees dans la premi\`ere partie.

Habituellement, dans ce genre de situation, on r\'esume les informations
dans un diagramme appel\'e \emph{graphe de transition}.
Voici par exemple le graphe de transition correspondant aux migrations
entre les deux villes~:

$$
\xymatrix{
\mbox{ X } \ar@(ul,dl) []_{95\%} \ar@/^/[rr]^{5\%}&  &
  \mbox{ Y }  \ar@/^/[ll]^{20\%} \ar@(ur,dr) []^{80\%}}
$$

 Les sommets du
graphes correspondent aux diff\'erents \'etats possibles (ici, habiter la
ville X ou la ville Y), et les fl\`eches donnent le pourcentage de gens qui passent
d'un \'etat \`a un autre, d'une ann\'ee sur l'autre.

\sq
Dessiner les graphes de transition correspondant aux autres
situations de la premi\`ere partie.


Dans chacune de ces situations,
la suite des \'etats successifs \'etait d\'ecrite par une relation de
r\'ecurrence lin\'eaire, de la forme
$$
X_{n+1}=AX_n.
$$
Le vecteur $X_n$ s'appelle \emph{vecteur d'\'etat} du syst\`eme, et la
matrice $A$ est la \emph{matrice de transition}.
Par exemple, pour la migration entre villes, $X_n=(a_n,b_n)$ est un
vecteur de $\bbR^2$, o\`u $a_n$ est la population de la ville X apr\`es
$n$ jours, et $b_n$ la population de Y.
  
\sq Ecrivez les matrices de transition correspondant aux situations de la
premi\`ere partie.

\sq Trouvez des propri\'et\'es v\'erifi\'ees par les coefficients de ces quatre
 matrices.\footnote{Les coefficients sont positifs ou nuls, et la somme
 des coefficients de chaque colonne est \'egale \`a  $1$}
 Comment ces propri\'et\'es sont-elles reli\'ees aux situations
 concr\`etes que l'on a mod\'elis\'ees~?

%Une matrice poss\'edant ces deux propri\'et\'es est appel\'ee \emph{matrice
%  stochastique}.
%\footnote{Plus exactement, c'est souvent la transpos\'ee de $A$ qui est appel\'ee
%  matrice stochastique.} 



%*****************************
\qst{Points communs (r\'esultats)}\label{qst.commun}
\sq Trouvez le plus de points communs possibles concernant les valeurs propres et vecteurs
propres des quatre matrices. Fabriquez un \'enonc\'e plausible de th\'eor\`eme
d'alg\`ebre lin\'eaire r\'esumant ces propri\'et\'es. 

\sq Testez votre \'enonc\'e sur des exemples les plus
simples possibles~; modifiez \'even\-tuel\-lement l'\'enonc\'e si vous trouvez des
contre-exemples~! 

\sq Trouvez des points communs concernant la convergence de la suite
de vecteurs $(X_n)$. Compl\'etez votre ``th\'eor\`eme'' (ou bien mettez ces
r\'esultats dans un deuxi\`eme \'enonc\'e).



\vspace{0.15cm}\centerline{\rule{4cm}{.3pt}}


%***********************
\partie{O\`u l'on tente de prouver l'\'enonc\'e g\'en\'eral !}


On sugg\`ere les \'enonc\'es suivants~:

\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}
  Soit $A$ une matrice carr\'ee de taille $n$, dont les coefficients sont
  tous strictement positifs, et telle que la somme des coefficients dans
  chaque colonne est \'egale \`a~$1$.

Alors $1$ est valeur propre de $A$, et le sous-espace propre associ\'e est
de dimension $1$. Toutes les autres valeurs propres (dans $\bbC$) sont de
modules strictement inf\'erieurs \`a $1$.

%Si de plus $A$ est diagonalisable, alors la suite de matrice $(A^n)_{n
%  \geq 0}$ converge vers une matrice $A_\infty$.
\end{enonce1*}

\begin{enonce1*}{Corollaire}
Soit $A$ une matrice v\'erifiant les hypoth\`eses du th\'eor\`eme pr\'ec\'edent, et
   $X_0$ un vecteur non nul, dont les coordonn\'ees sont toutes positives
  ou nulles.
 Soit $(X_n)_{n \geq 0}$ la suite de vecteurs d\'efinie par la relation de r\'ecurrence
$X_{n+1}=AX_n$.

 Alors la suite $(X_n)$ converge vers un vecteur $X_\infty$. Ce vecteur
 est un vecteur propre associ\'e \`a la
 valeur propre $1$, dont toutes les coordonn\'ees sont strictement
 positives, et dont la somme des coordonn\'ees est \'egale
 \`a la somme des coordonn\'ees de $X_0$.
\end{enonce1*}



\begin{enonce2*}{Remarques concernant le th\'eor\`eme}~
\begin{itemize}
%\item La  convergence d'une suite de matrice signifie
%  tout simplement que dans chaque case, la suite (r\'eelle) des coefficients converge~;
\item L'hypoth\`ese ``\emph{strictement} positifs'' est un peu emb\^etante,
    puisque la matrice du quatri\`eme exemple ne v\'erifie pas cette
    hypoth\`ese. Expliquer n\'eanmoins pourquoi on ne peut pas supprimer le
    mot ``strictement'' dans l'\'enonc\'e. \emph{Question optionnelle~: en
      regardant la matrice $A^2$, expliquer pourquoi on peut quand m\^eme
      utiliser le th\'eor\`eme pour le quatri\`eme exemple}.
\item On va se contenter ici de prouver le th\'eor\`eme dans le
  cas diagonalisable.
\end{itemize}
\end{enonce2*}

\qst{La valeur propre $1$}
On consid\`ere donc une matrice $A$ v\'erifiant les hypoth\`eses du th\'eor\`eme,
et diagonalisable.

L'id\'ee-cl\'e est de consid\'erer la matrice $B$ transpos\'ee de la matrice
$A$.

\sq Montrer que $1$ est valeur propre de $A$ et de $B$. Trouver un
vecteur propre $V$ associ\'e \`a la valeur propre $1$ pour la matrice $B$.

\sq Montrer le lemme suivant (pour une matrice diagonalisable)~:

\begin{enonce1*}{Lemme}
Une matrice a les m\^emes valeurs propres que sa transpos\'ee, avec m\^emes
multiplicit\'es, et m\^emes dimensions pour les sous-espaces propres.
\end{enonce1*}

\sq Montrer que, pour la matrice $B$,  le sous-espace
propre $E_1$ est de dimension $1$.

\textbf{Aide~:} commencer par le cas des matrices de taille 2.
\footnote{On traduit sur les coordonn\'ees le fait que $BU=U$, et on
consid\`ere la coordonn\'ee $U_{i_0}$ de $U$ la plus grande (sans valeur
absolue)~; si il existe une coordonn\'ee strictement plus petite, on
obtient $U_0 < U_0$, contradiction, d'o\`u $U$ est multiple du vecteur $V$.}

\qst{Les autres valeurs propres}
Montrer que les autres valeurs propres sont de modules strictement
inf\'erieurs \`a $1$.
(On peut se contenter de traiter le cas de taille 2, et admettre le
cas g\'en\'eral).

\qst{Preuve du corollaire}
\sq En utilisant l'hypoth\`ese que $A$ est diagonalisable, montrer que la suite
$(X_n)$ converge. 
\sq Terminer la preuve du corollaire.




\vspace{0.15cm}\centerline{\rule{4cm}{.3pt}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Applications}

Dans des mod\`eles de ce type, on appelle \emph{\'etat d'\'equilibre} 
toute r\'epartition de la population qui ne change pas d'ann\'ee en ann\'ee. 

\begin{enonce1*}{Cons\'equences pratiques du th\'eor\`eme}
  ``Pour tout probl\`eme du type des quatre questions de la partie~I, on
  sait \`a l'avance (sans calcul !) que~:
\begin{itemize}
\item pour une population totale donn\'ee, il existe un unique \'etat d'\'equilibre~;
\item on trouvera cet \'etat d'\'equilibre en r\'esolvant le syst\`eme d'\'equations lin\'eaires qui
  traduit le fait que la population ne change pas (en langage savant, en
  cherchant un vecteur propre pour la valeur propre $1$~!)~;
\item quelle que soit la r\'epartition initiale de la population, la suite
  des r\'epartitions convergera vers l'\'etat d'\'equilibre.
\end{itemize}
\end{enonce1*}

Appliquez le th\'eor\`eme obtenu \`a l'\'etude d'une des situations
ci-dessous. Comparez \`a l'\'etude faite dans la partie~I, quand on ne
connaissait pas encore le th\'eor\`eme.

\qst{M\'et\'eo}
Dans ce pays, il ne fait jamais beau deux jours de suite. S'il a fait beau un jour, il
y a autant de chances qu'il neige que de chances qu'il pleuve le
lendemain. S'il fait mauvais (pluie ou neige), il y a une chance sur
deux que ca ne change pas le lendemain, mais si ca change, alors
le changement se fait seulement une fois sur deux vers le beau temps.

Dans ce pays, quelle est la proportion de jours de beau temps, de pluie
et de neige~?
\footnote{\'Etat d'\'equilibre~: $(1,2,2)$. Les autres valeurs propres sont
  $1/4$ et $-1/4$.}

\qst{Machines en panne}
 Une unit\'e de production comprend deux machines automatiques
      fonctionnant ind\'ependamment l'une de l'autre. Chaque machine a la
      fiabilit\'e $p$ au cours d'une journ\'ee, ce qui signifie que sa
      probabilit\'e de tomber en panne pendant cette p\'eriode est \'egale \`a
      $1-p$. Dans ce cas, elle sera r\'epar\'ee pendant la nuit et se
      retrouvera en \'etat de marche le lendemain. Une seule machine peut
      \^etre r\'epar\'ee \`a la fois~: si les deux machines tombent en panne le
 m\^eme jour, alors la deuxi\`eme ne sera r\'epar\'ee que la nuit d'apr\`es.

 Apr\`es une longue p\'eriode, quelle est le
 nombre moyen de journ\'ees o\`u une seule machine est en panne,
et de journ\'ees o\`u les deux machines sont en panne simultan\'ement~?





\subsection*{Autres id\'ees} Les cha\^{\i}nes de Markov permettent de mod\'eliser le
parcourt d'un prince charmant qui d\'elivre sa Princesse, les gains ou
pertes d'un parieur, la croissance des branche d'un arbre,
des propri\'et\'es statistiques d'un langage ou d'un
morceau de musique (comment \'ecrire un texte qui ait l'apparence de
l'anglais, ou bien un morceau de musique qui ``ressemble'' \`a du Bach,
jusqu'\`a la m\'ethode d'authentification d'un sonnet de Shakespeare...).
Les r\'ef\'erences sur le Web sont innombrables, voir par exemple
\href{http\deuxpoints//bi.snu.ac.kr/Courses/g-ai01/HMM-Introduction.pdf}{http\deuxpoints//bi.snu.ac.kr/Courses/g-ai01/HMM-Introduction.pdf}
pour du pseudo-anglais.

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{paradoxe_des_jumeaux}
\nomficimprimable{paradoxe\_des\_jumeaux}
\FichierUnique\titrebookmark{Forme de Lorentz, loi relativiste de composition des vitesses, et paradoxe des jumeaux de Langevin}
\Annee{2002}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}
\Date{2002/01/03}
%Faire un fichier par exercice. 
\Titre{Forme de Lorentz, loi relativiste de composition des vitesses, et paradoxe des jumeaux de Langevin}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi, \DEUGii, \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{\DEUGphys} %Les niveaux secondaires separes par des virgules
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert} %l'angle pedagogique principale. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Recherche, ...
\AnglesSecondaires{} %Les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules
\Theme{\AlgLin} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...
\ThemesSecondaires{} %Themes secondaires separes par des virgules

\Objectif{Cet exercice permet de retrouver beaucoup de choses de la relativit\'e
restreinte \`a partir seulement de la forme de Lorentz.
Cela permet de montrer un autre aspect des formes quadratiques, parall\`ele \`a la
g\'eom\'etrie euclidienne. On y utilise un algorithme de Schmidt adapt\'e aux formes non positives.
Le paradoxe des jumeaux de Langevin est une sorte d'in\'egalit\'e triangulaire \`a l'envers
qui utilise des raisonnement similaires \`a ceux \'etablissant l'in\'egalit\'e
de Cauchy-Schwartz et le th\'eor\`eme d'inertie de Sylvester.
} 


\begin{exo}
%%%%%%%%commandes locales a l'exo: theoremes%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newenvironment{dfn*}{\begin{enonce1*}{D\'efinition.}}{\end{enonce1*}}
\newenvironment{postulat*}{\begin{enonce1*}{Postulat.}}{\end{enonce1*}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\partie{Les lignes de vie dans l'espace-temps.}

Pour donner rendez-vous \`a quelqu'un vous devez pr\'eciser
le lieu et l'heure. L'espace-temps est un mod\`ele de 
l'ensemble des points de rendez-vous possibles.

\begin{dfn*}
  L'espace-temps $E$ est un espace vectoriel de dimension $4$.
\end{dfn*}

On peut parfois utiliser des coordonn\'ees pour d\'ecrire un point
de l'espace-temps (c'est plus adapt\'e dans certaines villes que d'autres):
\emph{rendez-vous \`a 20h30 au croisement de la
10\ieme rue, 16\ieme avenue, 37\ieme \'etage}.
Pour parler de coordonn\'ees, il faut un r\'ef\'erentiel.

\begin{dfn*}
  Un \emph{r\'ef\'erentiel} de l'espace-temps $E$ est
une base $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ de $E$.\footnote{On peut imaginer d'autres types de
r\'ef\'erentiels: acc\'el\'er\'es ou en rotation mais ils ne rentrent pas dans le cadre de la
 relativit\'e restreinte. Par contre, il ne faut pas penser que ces r\'ef\'erentiels sont \emph{fixes}
les uns par rapport aux autres. Voir question \ref{MRU}}
\end{dfn*}

Par commodit\'e, on consid\`ere souvent un b\'eb\'e mod\`ele 
(on dit aussi \emph{toy model} en anglais)
o\`u l'espace-temps $E$ est de dimension $2$ (une dimension d'espace et une dimension de temps).
\\

\textit{Les questions qui suivent ne sont pas math\'ematiques \`a proprement parler mais sont 
plut\^ot des questions de mod\'elisation dont le but est d'aboutir \`a des
d\'efinitions math\'ematiques. Elles sont aussi un moyen de se familiariser avec cette
notion d'espace-temps.}

On suppose que l'espace-temps $E$ est muni d'un r\'ef\'erentiel $\calr_0=(e_1,e_2,e_3,e_4)$
 tel que les 3 premi\`eres
coordonn\'ees $x,y,z$ dans $\calr_0$ repr\'esentent les coordonn\'ees d'espace habituelles (dans une base orthonorm\'ee
fixe par rapport \`a la terre), et la quatri\`eme coordonn\'ee repr\'esente la date, c'est \`a dire le temps \'ecoul\'e depuis l'origine des temps qu'on a choisie.
On dit que $\calr_0$ un r\'ef\'erentiel fixe par rapport \`a la terre.

\qst{} 
Un train parcours en ligne droite et \`a vitesse constante le trajet Paris-Marseille
(on dit que le train est en mouvement rectiligne uniforme).
Dans un r\'ef\'erentiel fixe par rapport \`a la terre, faire un dessin
de l'ensemble des points de l'espace-temps occup\'es par le train,
autrement dit, la trajectoire du train dans l'espace-temps
(on pourra se placer dans le b\'eb\'e mod\`ele).
On appelle cet ensemble la \emph{ligne de vie} du train.

Dessiner sur le m\^eme graphique la ligne de vie de la gare de Marseille,
la ligne de vie de la gare de Paris, la ligne de vie d'un train partant au m\^eme moment
mais allant un peu plus vite, et la ligne de vie d'un train partant en sens contraire.
D\'eterminer g\'eom\'etriquement l'endroit et la date \`a laquelle deux de 
ces trains se rencontrent.

\qst{}\label{immobile}
On mod\'elise un mobile par sa ligne de vie (c'est \`a dire qu'on veut interpr\'eter toutes
les propri\'et\'es du mobile en termes de sa ligne de vie).
Donner une d\'efinition en terme de ligne de vie du fait qu'un mobile est immobile
dans le r\'ef\'erentiel $\calr_0$.

Cette notion d\'epend-t-elle du r\'ef\'erentiel choisi ?
 \footnote{Il appara\^\i t d\'ej\`a ici que tous
les r\'ef\'erentiels ne donneront pas une notion correcte d'espace et de temps (et d'immobilit\'e). Voir la deuxi\`eme partie.}


\qst{} Proposer une d\'efinition en terme de ligne de vie qui signifie qu'un mobile
est en mouvement rectiligne uniforme dans un r\'ef\'erentiel donn\'e.

Cette notion d\'epend-t-elle du r\'ef\'erentiel choisi ?

\qst{}\label{MRU}
 On dit qu'un r\'ef\'erentiel $\calr$ est en mouvement rectiligne uniforme 
par rapport \`a un r\'ef\'erentiel
$\calr'$ si tout mobile immobile dans $\calr$ est en mouvement rectiligne uniforme dans $\calr'$.
\footnote{ne pas perdre de vue que par d\'efinition, un r\'ef\'erentiel est une base de l'espace-temps $E$}
D\'emontrer que tous les r\'ef\'erentiels sont en mouvements rectilignes uniformes les uns par rapports aux autres.%
\footnote{Cela signifie en particulier que la relativit\'e restreinte 
ne traite pas les r\'ef\'erentiels acc\'el\'er\'es.
Voir la relativit\'e g\'en\'erale pour cela}

\partie{Forme de Lorentz}
La relativit\'e restreinte postule que l'espace-temps $E$ est muni d'une forme
quadratique $L$ appel\'ee \emph{forme de Lorentz}.
Dans certains r\'ef\'erentiels privil\'egi\'es 
(l'\'equivalent des bases orthonorm\'ees),
cette forme s'\'ecrit $L(\vec v)=x^2+y^2+z^2-c^2t^2$ 
o\`u les coordonn\'ees de $\vec v$
dans le r\'ef\'erentiel en question sont $\vect{x\\y\\z\\t}$,
et $c$ est la vitesse de la lumi\`ere ($3\times10^8\mathrm{m/s}$).
%\footnote{En relativit\'e, il est commode de choisir
%des unit\'es d'espace et de temps telles que $c$ soit \'egale \`a $1$. Par exemple,
%l'ann\'ee comme unit\'e de temps, et l'ann\'ee-lumi\`ere pour unit\'e d'espace.
%Ceci traduit le fait qu'espace et sont temps intimement li\'es. 
%Ainsi les vitesses deviennent des nombres sans unit\'e.
%On ne pose pas ici $c=1$ pour rester plus concret.}
\begin{dfn*}
  Un r\'ef\'erentiel $\calr=(e_1,e_2,e_3,e_4)$ est \emph{privil\'egi\'e} si
$L(xe_1+ye_2+ze_3+te_4)=x^2+y^2+z^2-c^2t^2$.
\end{dfn*}


De fait, les coordonn\'ees ne repr\'esentent fid\`element les notions d'espace et de temps
que si le r\'ef\'erentiel est privil\'egi\'e. Ces r\'ef\'erentiels privil\'egi\'es,
tous en mouvement rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres, sont souvent appel\'es
des r\'ef\'erentiels \emph{gallil\'eens}.
Le postulat de la relativit\'e restreinte est que c'est la forme de Lorentz qui
caract\'erise la g\'eom\'etrie de l'espace-temps, en d'autres termes, que les lois
de la physique s'exprimeront de la m\^eme mani\`ere dans tous les r\'ef\'erentiels
privil\'egi\'es.


\textbf{Note fondamentale.}
Tout cela signifie en particulier que si $A$ et $B$ sont deux points de l'espace temps $E$,
$L(\overrightarrow{AB})$ a une valeur ind\'ependante de tout r\'ef\'erentiel.
Si on change de r\'ef\'erentiel, les coordonn\'ees de $\overrightarrow{AB}$ changeront,
l'\'ecriture de $L$ en fonction des coordonn\'ees aussi, mais
$L(\overrightarrow{AB})$ ne changera pas.\footnote{De mani\`ere analogue, la longueur
d'une tige $AB$ ne d\'epend pas de la base de l'espace choisie, m\^eme si les coordonn\'ees
du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et l'expression du produit scalaire en fonction des coordonn\'ees d\'ependent de la base\dots}
\\


\begin{dfn*}
  Soit $\calr$ un r\'ef\'erentiel privil\'egi\'e, et soient $A$ et $B$ deux points de l'espace-temps $E$
de coordonn\'ees $\vect{x_A\\y_A\\z_A\\t_A}$ et $\vect{x_B\\y_B\\z_B\\t_B}$ dans $\calr$.
On d\'efinit la \emph{distance} entre $A$ et $B$ dans $\calr$ par
$$d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.$$
L'\emph{intervalle de temps} s\'eparant $A$ et $B$ dans $\calr$ est par d\'efinition $t_B-t_A$.
\end{dfn*}

\begin{postulat*}
  La relativit\'e restreinte postule que le temps et la distance mesur\'es (et ressentis) par un observateur
immobile dans le r\'ef\'erentiel $\calr$ entre deux \'ev\`enements $A$ et $B$
sont justement la distance et l'intervalle de temps dans $\calr$ comme d\'efinis au dessus.
\end{postulat*}

Dans le cadre du b\'eb\'e mod\`ele, on note en g\'en\'eral $x$ et $t$ les
coordonn\'ees dans un r\'ef\'erentiel privil\'egi\'e $(e_1,e_2)$, 
et dans un tel r\'ef\'erentiel, $L$ s'exprime sous la forme
 $L(\vect{x\\t})=x^2-c^2t^2$. La distance entre $A$ et $B$ est alors donn\'ee par 
$d(A,B)=\sqrt{x_B^2-x_A^2}=|x_B-x_A|$, et l'intervalle de temps les s\'eparant
est toujours $t_B-t_A$.


% \qst{} Existe-t-il un r\'ef\'erentiel dans lequel la forme de Lorentz s'\'ecrit
% $L(v)=x^2+y^2-z^2-t^2$ ? (Si oui laquelle, si non, pourquoi).

% \sq M\^eme question avec $L(v)=x^2+2xy+2yz+2zt-2t^2$.



\qst{} 
On pourra traiter cette question dans le cadre du b\'eb\'e mod\`ele.

\begin{dfn*}
  On dit qu'un vecteur $u$ est de type temps si $L(u)<0$,
de type espace si $L(u)>0$.
Si $L(u)=0$ on dit que $u$ est de type lumi\`ere.
 L'ensemble des vecteurs de type
lumi\`ere s'appelle le \emph{c\^one de lumi\`ere}.
\end{dfn*}

Dessiner les zones de $E$ qui correspondent \`a des vecteurs de type
espace, de type temps et de type lumi\`ere.
Le type d'un vecteur d\'epend-il du r\'ef\'erentiel ?

Les vecteurs directeurs des lignes de vies des trains consid\'er\'es plus t\^ot sont de quel type ?

Si $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ est un r\'ef\'erentiel privil\'egi\'e,
quels sont les types des quatres vecteurs $e_1,e_2,e_3,e_4$ ?

\qst{} Reprendre le dessin des lignes de vie des trains. 
On suppose que le r\'ef\'erentiel fixe par rapport \`a la terre
est privil\'egi\'e. Comment lit-on la vitesse $v$ du train sur le dessin ?
Donner une d\'efinition de la vitesse dans $\calr_0$ d'un mobile en mouvement rectiligne uniforme
en terme de sa ligne de vie.

La vitesse d\'epend-elle du r\'ef\'erentiel dans laquelle on la calcule ?


\qst{}\label{lumiere} On se replace dans l'espace-temps de dimension $4$.
Supposons qu'un mobile en mouvement rectiligne uniforme aille \`a la vitesse de la lumi\`ere
dans le r\'ef\'erentiel $\calr_0$ (en d'autres termes, $v=c$)
Comment cela se traduit-il en termes de sa ligne de vie ? 

Cette notion (le fait d'aller \`a la vitesse de la lumi\`ere) d\'epend-elle du r\'ef\'erentiel consid\'er\'e ?


\qst{} Soit $l$ la forme polaire de $L$.  Soit $\calr=(e_1,e_2,e_3,e_4)$ un r\'ef\'erentiel privil\'egi\'e, et $\vec u$
un vecteur de l'espace temps. Exprimer les coordonn\'ees de $\vec u$ dans $\calr$ en fonction de $l(u,e_i)$.


\qst{} Dans la suite, on se place \`a nouveau dans le b\'eb\'e mod\`ele.
Chercher quel est le r\'ef\'erentiel
privil\'egi\'e $\calr=(u_1,u_2)$ que consid\`ererait un observateur dans un train Paris-Marseille
se d\'eplacant \`a vitesse $v$ par rapport \`a la terre.
En d'autres termes, trouver un r\'ef\'erentiel privil\'egi\'e $\calr$
dans lequel le train est immobile (voir question I.\ref{immobile}).%
(\footnote{R\'eponse: on trouve $u_2=\gamma\vect{v\\1}$ 
et $u_1=\pm\gamma\vect{1\\ v/c^2}$ avec $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$.})


\qst{} Soit $P$ et $P'$ les deux points de $E$ de coordonn\'ees $\vect{0\\0}$ et $\vect{0\\T}$ dans $\calr_0$
repr\'esentant la position dans l'espace-temps de la gare de Paris aux temps $t=0$ et $t=T$.
Calculer la distance et l'intervalle de temps s\'eparant $P$ et $P'$ dans $\calr_0$.

Calculer les coordonn\'ees de $P$ et $P'$ dans $\calr$ et en d\'eduire 
la distance et l'intervalle de temps s\'eparant $P$ et $P'$ dans $\calr$.

La distance entre deux points est elle ind\'ependante du r\'ef\'erentiel ?

\qst{} Quel est l'ensemble des points de $E$ simultan\'es \`a $\vect{0\\0}$ relativement \`a $\calr$ ?
Dessiner cet ensemble sur le dessin.
Le fait que deux \'ev\'enements soient simultan\'es d\'epend-il du r\'ef\'erentiel ?
(Si oui pr\'eciser pourquoi. Si non, donner un exemple).


\qst{Loi de composition des vitesses.}
On consid\`ere deux trains $T$ et $T'$ allant \`a des vitesses $v$ et $v'$
par rapport \`a la terre.
Soient $(u_1,u_2)$ et $(u'_1,u'_2)$ les r\'ef\'erentiels privil\'egi\'es 
fixes par rapport \`a ces deux trains.

Trouver les coordonn\'ees d'un vecteur directeur de la ligne de vie
du train $T'$ dans la base $(u_1,u_2)$.

En d\'eduire la vitesse du train $T'$ dans le r\'ef\'erentiel li\'e \`a $T$.
Cette formule pour la vitesse relative de deux mobiles s'appelle
la loi de composition des vitesses.

V\'erifier que lorsque $v$ et $v'$ sont petites devant $c$,
la vitesse obtenue est proche de $v-v'$.
%\footnote{On trouve une vitesse relative \'egale \`a $\frac{v'-v}{1-\frac{vv'}{c^2}}$.}



\partie{Le paradoxe des jumeaux de Langevin.}
On peut formuler le paradoxe de la fa\c con suivante.
Deux jumeaux (du m\^eme \^age !) sont \`a Paris. L'un des deux jumeaux, disons Albert, d\'ecide de faire
un aller-retour Paris-Marseille alors que l'autre, Isaac, reste \`a Paris.
Lorsqu'Albert et Isaac se retrouvent \`a Paris, Albert est devenu plus
jeune qu'Isaac. 

On veut d\'emontrer ce r\'esultat dans l'espace-temps de dimension $4$, pas dans le b\'eb\'e-mod\`ele.

\qst{} Faire un diagramme dans l'espace-temps de la situation (on suppose qu'Albert
 ne s'attarde pas \`a Marseille: d\`es qu'il est arriv\'e,
il saute dans un train qui fait le voyage retour).

\qst{Interpr\'etation de la forme de Lorentz comme \emph{temps propre}.}

\sq Supposons que deux points $A$ et $B$ de l'espace-temps correspondent
\`a un m\^eme endroit sur terre, mais \`a des dates diff\'erentes (pour un observateur sur terre).
Quel est la nature de $\overrightarrow{AB}$ (type temps/espace/lumi\`ere) ?
Quel est le lien entre $L(\overrightarrow{AB})$ et l'intervalle de temps qui s\'epare $A$ et $B$ ?

\sq
Supposons maintenant qu'un train (en mouvement rectiligne uniforme)
passe par deux points $A$ et $B$ de l'espace-temps. 
Du point de vue d'un voyageur du train, combien de temps faut-il  pour aller de $A$ \`a $B$ ?
(le calculer en fonction de $L(\overrightarrow{AB})$).
Le voyageur \'etant dans le train, il s'agit l\`a de l'intervalle de temps
dans un r\'ef\'erentiel $\calr$ li\'e au train (c'est \`a dire dans lequel le train est immobile). 
On dit que ce temps est le temps propre du voyageur. C'est le temps qu'il mesure et qu'il ressent.
\\



Pour la suite, on pourra admettre (ou pourquoi pas d\'emontrer !) que si $\vec u$ et $\vec v$
qui pointent tous les deux vers le futur dans un r\'ef\'erentiel donn\'es,
alors on a $l(u,v)<0$ (o\`u $l$ est la forme polaire de $L$).\footnote{pointer vers le futur dans un r\'ef\'erentiel privil\'egi\'e
signifie que la 4\`eme coordonn\'ee est positive.}

\qst{} Montrer que le paradoxe des jumeaux est \'equivalent \`a une sorte d'in\'egalit\'e
triangulaire \`a l'envers.
\footnote{$\sqrt{-L(\overrightarrow{AC})}\geq \sqrt{-L(\overrightarrow{AB})}+\sqrt{-L(\overrightarrow{BC})}$}.

\qst{Preuve du paradoxe, 1\`ere \'etape.}

D\'emontrer que si $\vec u$ et $\vec v$ satisfont $L(\vec u)<0$ et $L(\vec v)<0$,
il existe $t\in\bbR$ tel que $L(\vec u+t\vec v)\geq 0$. Quelle est l'hypoth\`ese cruciale
sur $L$ ?
\emph{Indication: consid\'erer le plan engendr\'e par $u$ et $v$, et faire
un raisonnement similaire \`a celui de la preuve du Th\'eor\`eme d'inertie de Sylvester.}

\qst{Preuve du paradoxe, 2\`eme \'etape.}

Consid\'erer un trin\^ome du second degr\'e comme dans la preuve de l'in\'egalit\'e de
Cauchy Schwartz pour d\'emontrer que $\sqrt{-L(u+v)}\geq \sqrt{-L(u)}+\sqrt{-L(v)}$
(quelles sont les hypoth\`eses sur $u$ et $v$ ?)
\footnote{On utilise le fait que $u,v,u+v$ sont des vecteurs de type temps et que $l(u,v)<0$}.

\qst{Quelques ordres de grandeur.}

Quelle erreur relative commet-on en utilisant la loi newtonnienne de composition des vitesses
($v''=v-v'$) lorsque $v$ et $v'$ sont de l'ordre de la vitesse du son ($v=3.10^2 \mathrm{m/s}=10^{-6}c$) ?\footnote{de l'ordre de $10^{-12}$}

Que vaut la diff\'erence d'\^age entre Albert et Isaac si Albert voyage \`a la vitesse du son
pendant un an (deux fois 6 mois). La pr\'ecision d'une horloge atomique est de l'ordre de $10^{-14}$ (secondes par secondes). 
Est-ce que cet \'ecart est d\'etectable avec une telle horloge atomique ?\footnote{On trouve 16$\mu$s. L'exp\'erience
a effectivement \'et\'e r\'ealis\'ee (sur une dur\'ee plus courte).} 

Consid\'erons un \'ev\`enement se produisant \`a un instant $t=0$ sur l'\'etoile la plus proche du soleil 
 (alpha du centaure \`a 4 ann\'ees-lumi\`ere dans le r\'ef\'erentiel de la terre).
Un observateur fixe par rapport \`a la terre et un observateur
allant \`a la vitesse $v=100km/h\simeq \times 10^{-7}c$ attribueront des dates diff\'erentes
\`a cet \'ev\`enement. De combien ces dates diff\`erent-elles ?
M\^eme question pour la galaxie la plus proche (le nuage de Magellan) qui se trouve 40,000 fois plus loin ?
\footnote{r\'eponse~: 12 secondes environ pour alpha proxima. 40,000 fois plus pour le nuage de magellan: 6 jours.}

\subsection*{Retour sur quelques r\'esultats importants.}
Ce probl\`eme a permis de mettre en \'evidence plusieurs choses.
\begin{itemize}
  \item
De m\^eme que la premi\`ere coordonn\'ee d'une tige (d'un vecteur)
dans un espace euclidien d\'epend de la base choisie (contrairement \`a sa longueur qui est bien
d\'efinie), l'intervalle de temps s\'eparant deux points $A$ et $B$ de l'espace-temps
va d\'ependre du r\'ef\'erentiel choisi: l'intervalle de temps n'est rien d'autre que
la 4\`eme coordonn\'ee du vecteur $\overrightarrow{AB}$. Il en est de m\^eme pour la distance
entre ces deux points. Par contre, alors que la premi\`ere coordonn\'ee d'une tige
n'a pas grande signification physique, 
l'intervalle de temps s\'eparant deux \'ev\`enements
 a un sens physique important (m\^eme s'il d\'epend du r\'ef\'erentiel choisi pour le mesurer).
On dit que la distance et le temps entre deux \'ev\`enements sont \emph{relatifs}, c'est \`a
dire qu'ils d\'ependent du r\'ef\'erentiel dans lequel on se place pour les observer.

\item Par contre \emph{tout} n'est pas relatif. En particulier, le fait d'aller \`a la vitesse
de la lumi\`ere ne d\'epend pas du r\'ef\'erentiel choisi. Historiquement,  cet absolu
l\`a (provenant des \'equations de Maxwell en electromagn\'etisme (1873) 
confirm\'ees par les exp\'eriences de Michelson-Morley en 1881-1887) 
a jou\'e un r\^ole important dans la construction de la relativit\'e. 

\item Les r\'esultats de la  relativit\'e sont parfois d\'eroutants.
Cependant, faut-il rappeler que la relativit\'e n'est pas une th\'eorie purement formelle ?
Pour que le GPS (Global Positionning System) fonctionne correctement, 
il est n\'ecessaire d'utiliser la relativit\'e g\'en\'erale.
En effet, le GPS est bas\'e sur un r\'eseau de satellites en orbite autour de la terre ayant
chacun \`a bord une horloge atomique. Le r\'ecepteur GPS recoit des signaux emis par
certains de ces satellites, mesure l'intervalle de temps s\'eparant leur
r\'eception, et en d\'eduit sa position dans l'espace temps (latitude, longitude, altitude et heure)
avec une pr\'ecision d'environ 15m=50ns. Mais les satellites se d\'eplacent 
\`a une vitesse de 14,000km/h, bien sup\'erieure \`a
la vitesse du r\'ecepteur GPS, provoquant un ralentissement apparent de l'horloge
embarqu\'ee.
Par contre, les satellites se situent \`a 20,000km d'altitude o\`u la pesanteur est
quatre fois moindre qu'\`a la surface de la terre, d'o\`u r\'esulte (d'apr\`es la relativit\'e
g\'en\'erale) une acc\'el\'eration apparente des horloges embarqu\'ees.
La combinaison de ces effets relativistes fait que les horloges embarqu\'ees se
d\'ecalent chaque jour par rapport au temps terrestre de 38 microsecondes.
Cette d\'eviation est \'enorme (pour le GPS)~: si on n'en tenait pas compte, 
des erreurs de navigations de l'ordre de 10km (=c$\times 38\mu$s) s'accumuleraient chaque jour.
\\
\end{itemize}

 Vous pouvez aller voir la Foire Aux Questions (en anglais) sur la relativit\'e \`a l'adresse suivante:
\texttt{http://www.weburbia.demon.co.uk/physics/relativity.html}.

\end{exo}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{relativite}
\nomficimprimable{relativite}
\FichierUnique\titrebookmark{Formes quadratiques en relativit\'e}
\Annee{2001}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Formes quadratiques en relativit\'e}
\Theme{\AlgLin}
\Niveau{\DEUGii}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert}
\etiquette{relativite}

\Objectif{Faire remarquer que les formes bilin\'eaires non positives sont utilis\'ees en physique.
La relativit\'e restreinte est bas\'ee sur l'invariance de la forme de Lorentz.}

\begin{exo}
En relativit\'e, contrairement \`a l'adage, \emph{tout n'est pas relatif}.
Les longueurs et le temps sont effectivement des quantit\'es relatives
-- c'est \`a dire qui d\'ependent du r\'ef\'erentiel dans lequel on se place.
Cependant, il y a un \emph{absolu} en relativit\'e : c'est la forme de Lorentz.
Dans certaines bases privil\'egi\'ees, la forme de Lorentz s'exprime par la formule
$\call(x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2-c^2t^2$ (o\`u $c$ est la vitesse de la lumi\`ere dans le vide).
En particulier, le fait qu'un objet aille \`a la vitesse de la lumi\`ere signifie
que son quadrivecteur vitesse $\vec V(v_x,v_y,v_z,1)$ satisfait $\call(\vec V)=0$.
Comme la forme de Lorentz ne d\'epend pas du r\'ef\'erentiel,
la quantit\'e $\call(\vec V)$ est ind\'ependante du r\'ef\'erentiel choisi,
donc le fait \emph{d'aller \`a la vitesse de la lumi\`ere} est ind\'ependant
du r\'ef\'erentiel choisi -- ce qui ne peut pas \^etre vrai en m\'ecanique newtonnienne
d'apr\`es la loi d'additivit\'e des vitesses.

\sq On dit que $\vec V$ est dans le \emph{c\^one de lumi\`ere} lorsque $\call(\vec V)=0$. 
Voyez-vous pourquoi ?

\sq Quels sont le rang et la signature de la forme de Lorentz $\call$ ?

\sq Existe-t-il une base dans laquelle la forme de Lorentz a la forme
$q(x)=x^2-4xy+yt-zt+t^2$ ?

\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{chromosomes-sexuels}
\nomficimprimable{chromosomes-sexuels}
\FichierUnique\titrebookmark{G\`enes sur les chromosomes sexuels}
\Annee{2002}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}
\Date{2002/01/01}
\Titre{G\`enes sur les chromosomes sexuels}
\Theme{\AlgLin}
\Niveau{\DEUGii}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert}
\NiveauxSecondaires{\DEUGbio,\DEUGphys}
\etiquette{chromosomes_sexuels}

\Objectif{Etude d'un syst\`eme dynamique lin\'eaire issu de la g\'en\'etique.
Cet exercice permet de voir les notions de vecteur propre
et de valeur propre dans un contexte diff\'erent, et motivant. 

\emph{Remarque.} L'exercice est probablement
trop long pour \^etre trait\'e en entier en TD. On peut le donner en devoir \`a la maison
ou n'en traiter qu'une partie.
La premi\`ere partie est int\'eressante pour motiver les notions de vecteur propre et valeur propre
\emph{avant} leur introduction en cours (ou \`a d\'efaut comme premier exercice d'une feuille de TD
sur ces notions).
La troisi\`eme partie est une it\'eration d'une application affine. 
Les calculs de vecteurs propres sont (un peu) plus d\'elicats.
Toujours pour la troisi\`eme partie, l'interpr\'etation de la valeur limite en fonction des taux de s\'election
et de mutations ne sont pas \'evidentes.}

\begin{exo}

\qst{Probl\`eme introductif~: g\`enes sur les chromosomes sexuels, effet de la reproduction seule}
Les femmes ont deux chromosomes X et les hommes ont un chromosome 
X et un chromosome Y.
Certains g\`enes sont situ\'es sur le chromosome X. 
C'est le cas par exemple pour un g\`ene G li\'e \`a une forme de daltonisme.
Ce g\`ene G poss\`ede deux versions (on dit deux \emph{all\`eles}
en biologie), une qu'on appellera S (sain)
et l'autre qu'on appellera M (malade) 
qui est \`a l'origine du daltonisme.
En fait, ce g\`ene est recessif, ce qui signifie que seules les femmes qui ont
 deux fois la version M du g\`ene seront daltoniennes. Les hommes eux n'ont qu'une copie du g\`ene G
et sont daltoniens si ils ont la version M.
Le but du probl\`eme est d'\'etudier la propagation de ce g\`ene.

Soit $H_0$ la proportion des g\`enes G des hommes qui sont en version M \`a la g\'en\'eration $0$.
Soit $F_0$ la proportion des g\`enes G des femmes qui sont en version M \`a la g\'en\'eration $0$.
Pour rendre les choses plus concr\`etes, on peut supposer que dans l'etat initial, le g\`ene version
M n'est pr\'esent que chez les hommes, et disons avec une proportion $H_0=2\%$



\sq D\'ecrire l'\'evolution des proportions de g\`enes G chez les
hommes et les femmes d'une g\'en\'eration \`a la suivante.
\emph{Indication:} un homme re\c coit forc\'ement son chromosome X de sa m\`ere.
Une femme re\c coit un chromosome X de chaque parent.
%\footnote{On trouve $H_{n+1}=F_n$ et $F_{n+1}=\frac 12(F_n+H_n)$.}


\sq Exprimer les \'equations d'\'evolution de $H_n$ et $F_n$ matriciellement.
En d\'eduire une expression du vecteur $\vect{H_n\\ F_n}$ en fonction
de $\vect{H_0 \\F_0}$ et d'une puissance d'une matrice $A$.

\sq[Des conditions initiales pour lesquelles les calculs sont faciles. --- ]
 Supposons que la population initiale, d\'ecrite par
$v_0=\vect{H_0\\F_0}$ satisfasse $A.v_0=\lambda v_0$
pour un certain r\'eel $\lambda$.\footnote{On dit dans ce cas que $v_0$ est vecteur propre de $A$
(si $v_0\neq 0$).}
V\'erifier que $\vect{H_n\\ F_n}$ est alors facile \`a calculer.

\sq Chercher les $\lambda\in \bbR$ tels que l'\'equation d'inconnue $v$
$A.v=\lambda v$ admette une autre solution que le vecteur nul.
Quels sont les vecteurs $v$ correspondants ?
Ces vecteurs ont-ils une interpr\'etation biologiques ?

\sq[Principe de superposition (lin\'earit\'e): 
comment r\'esoudre le probl\`eme \`a partir des cas des cas o\`u les calculs sont faciles. --- ] 
Soit $v_0=\vect{2/100\\0}$. \'Ecrire $v_0$ comme une somme de deux vecteurs
propres $v_1,v_2$ (dont les images par $A^n$ sont faciles \`a calculer).
En d\'eduire $\vect{H_n \\F_n}$.

\sq En d\'eduire la limite de $\vect {H_{n}\\F_{n}}$ quand $n\ra\infty$
Que peut-on constater, \`a la limite, pour les proportions de g\`ene M chez les hommes et les femmes ?
Au bout de combien de g\'en\'eration ceci est-il vrai \`a 1\% pr\`es ?
\`A $10^{-6}$ pr\`es ?

\textbf{Remarques.} En r\'esum\'e, le cheminement est le suivant~: on cherche le plus possible
de vecteurs propres pour lesquels l'image par $A^n$ est facile \`a calculer. On esp\`ere
en trouver assez pour que toute condition initiale (ou au moins, celle qui nous interesse) puisse
s'exprimer comme superposition (combinaison lin\'eaire) de vecteurs propres.
Si c'est le cas, on a gagn\'e. 

Le fait que \emph{tout} vecteur peut s'exprimer comme combinaison lin\'eaire de
vecteurs propres signifie qu'il existe une base form\'ee de vecteurs propres. 
On dit dans ce cas que $A$ est diagonalisable.


\qst{Si on introduit la s\'election naturelle}

Il est plus commode de repenser la question suivante en terme d'op\'erateur 
(op\'erateur lin\'eaire $=$ endomorphisme).
On s'int\'eresse toujours \`a la r\'epartition du g\`ene M dans la population
masculine et f\'eminine. On appelle donc \emph{\'etat de la population}
le vecteur $v=\vect{H\\F}$.
L'espace des \'etats de la population est donc ici $V=\bbR^2$.
\footnote{M\^eme si les \'etats pertinents biologiquement ont leurs deux coordonn\'ees positives,
on a vu l'utilit\'e de consid\'erer des vecteurs a priori non pertinents biologiquement:
pour parler de vecteur propre, il faut se trouver dans un espace vectoriel.}

Dans la question pr\'ec\'edente, on a \'etudi\'e l'effet de l'it\'eration de
\emph{l'op\'erateur reproduction}. Cet op\'erateur prend en entr\'ee l'\'etat
de la population avant reproduction, et sort l'\'etat
de la population apr\`es reproduction.
Dans le mod\`ele donn\'e au dessus, $R$ est une application lin\'eaire de $V$ dans $V$ 
donn\'ee par $R(\vect{H\\F})=\vect{F\\ \frac12(H+F)}$.

On veut de m\^eme mod\'eliser la s\'election naturelle par un \emph{op\'erateur de s\'election} $S$.
On part du principe que les hommes sont beaucoup plus atteints de daltonisme que les
femmes (car M est recessif, donc pour qu'une femme soit malade, il faut qu'elle ait deux
g\`enes M), et on fait l'hypoth\`ese que les femmes ne sont jamais malades, et donc
que la s\'election naturelle ne s'applique pas sur elles.
Le nombre d'hommes malades est proportionnel \`a $H$, et on peut supposer que 
la s\'election naturelle fait passer d'une proportion $H$ de g\`enes M \`a une 
proportion $\sigma H$ o\`u $\sigma$ (comme S\'election) est un r\'eel entre 0 et 1,
c'est un param\`etre du mod\`ele.

\sq Que vaut $\sigma$ pour une s\'election naturelle tr\`es forte (maladie tr\`es handicapante) ?
Et pour une maladie peu handicapante ?

\sq Donner la matrice de l'op\'erateur de s\'election $S$.

\sq On suppose qu'\`a chaque g\'en\'eration, il y a d'abord reproduction puis s\'election.
Donner la matrice de l'op\'erateur qui fait passer d'une g\'en\'eration $n$ \`a la suivante.

\sq En s'inspirant de ce qui a \'et\'e fait dans la question pr\'ec\'edente,
que peut-on dire du comportement de l'\'etat de la population quand $n$ tend vers l'infini ?

\sq On a choisi de faire agir la reproduction avant la s\'election.
Qu'aurait donn\'e le mod\`ele si on avait fait le contraire ?

\qst{Et des mutations}

On introduit maintenant un nouvel op\'erateur $M$ de mutation.
On note $\mu$ la probabilit\'e qu'un g\`ene malade mute en g\`ene sain 
et $\mu'$ la probabilit\'e pour qu'une mutation inverse se produise
(on suppose que ces probabilit\'es de mutations sont les m\^emes chez les hommes et
chez les femmes).

\sq Calculer l'op\'erateur de mutation. Que constatez-vous ? Pouvez-vous donner sa matrice ?
Ecrire $M(v)$ sous la forme $N(v)+v_0$.

\sq Supposons qu'\`a chaque g\'en\'eration, il y ait d'abord mutation, puis reproduction,
puis s\'election naturelle.
Quel est l'op\'erateur qui fait passer d'une g\'en\'eration \`a la suivante ?
\'Ecrire cet op\'erateur sous la forme $A(v)+w_0$.

 On est ainsi conduit \`a l'\'etude de l'it\'eration d'une application affine 
$v\mapsto A(v)+w_0$. Un \emph{truc} permet de se ramener \`a l'\'etude d'un op\'erateur lin\'eaire:
il s'agit d'introduire artificiellement une coordonn\'ee suppl\'ementaire $z$, 
telle qu'on  retrouve l'op\'erateur pr\'ec\'edent en faisant $z=1$,
mais de sorte que le nouvel op\'erateur soit lin\'eaire (et non plus affine).
Ici, on consid\`erera $M':\vect{H\\F\\z}\mapsto \Mx{A\vect{H\\F}+zw_0\\z}$.
\footnote{On peut aussi faire un changement de variables affine bien choisi.}


\sq A partir de l'\'etude des vecteurs propres et valeurs propres de $M'$,
donner le comportement de la population lorsque $n$ tend vers l'infini.


\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{courbes-de-bezier}
\nomficimprimable{courbes-de-bezier}
\titrebookmark{Introduction aux courbes de B\'ezier}
\nouveau
\Annee{2007}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{}
\Date{2007/01/15}
\Titre{Introduction aux courbes de B\'ezier}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{}

\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\GeometrieDiff} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{Courbes param\'etr\'ees} 

\Objectif{Dans cet exercice, on d\'efinit les courbes de B\'ezier cubiques, et on \'etudie l'algorithme de trac\'e d\^u \`a  Casteljau. L'introduction est extraite d'un \emph{Cours de calculus}, voir \htmladdnormallink{http://math.u-psud.fr/\~{ }leroux}{http://math.u-psud.fr/~leroux}.}

\begin{exo}

Vous \^etes-vous d\'ej\`a demand\'e comment l'ordinateur dessine les lettres que l'on voit \`a l'\'ecran ?
Dans les ann\'ees 1980, quand les ordinateurs personnels commen\c caient tout juste \`a se r\'epandre, l'ordinateur avait en m\'emoire un dessin de chacune des 26 lettres de l'alphabet (sans compter les lettres accentu\'ees). Une lettre \'etait stock\'ee sous la forme d'une grille $8 \times 8$ dans laquelle chaque case \'etait allum\'ee
 ou \'eteinte (noire ou blanche, ce qui en m\'emoire correspond au symbole $0$ ou $1$).
 Par exemple, le ``e'' pouvait  ressembler au dessin de gauche de la figure~\ref{police}.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{police1-tiff.eps}
\hspace{2cm}
\includegraphics[width=5cm]{police2-tiff.eps}
\caption{Zoom sur un ``e'' : \`a gauche, avec un ordinateur des ann\'ees 1980 ; \`a droite, avec un ordinateur actuel}
\label{police}
\end{center}
\end{figure}


Cette m\'ethode avait de nombreux inconv\'enients. En particulier, si l'on voulait grossir le texte \`a l'\'ecran, l'ordinateur ne pouvait que grossir la grille, et on voyait appara\^itre
les gros carr\'es qui d\'efinissaient la lettre, exactement comme sur le dessin ci-dessus.
En comparaison, avec un ordinateur actuel,
on peut zoomer ``\`a l'infini'' sans voir appara\^itre de gros carr\'es ; pourtant, l'\'ecran lui-m\^eme est toujours une grille de pixels (ici, 1024 sur 768) : c'est donc que le ``e'' sur lequel on a zoom\'e n'est pas obtenu \`a partir d'une lettre de taille normale en effectuant un pur agrandissement (une homoth\'etie !), sans quoi les carr\'es appara\^itraient assez vite.
 Il semble que les lettres ne soient plus d\'efinies au moyen d'une grille, mais \`a l'aide de courbes lisses, et que l'ordinateur recalcule des d\'etails suppl\'ementaires \`a chaque nouvel agrandissement.
\emph{Quelles sont les courbes utilis\'ees pour produire ces lettres, et comment 
sont-elles d\'efinies ?}

Une recherche rapide nous apprend que ces courbes sont des \emph{courbes de B\'ezier}. La plupart des logiciels de dessin permettent de tracer de telles courbes. On voit que ces courbes sont d\'efinies tr\`es facilement : on donne un point de d\'epart, et une vitesse en ce point ; 
et un point d'arriv\'ee, et une vitesse au point d'arriv\'ee ; et le logiciel nous trace la courbe de B\'ezier  correspondante. La figure~\ref{police-e} montre comment la lettre ``e'' peut \^etre fabriqu\'ee en assemblant un certain nombre de courbes de B\'ezier.
La g\'eom\'etrie se glisse  parfois \`a des endroits inattendus...

Comment sont d\'efinies math\'ematiquement ces courbes de B\'ezier, 
et comment l'ordinateur les dessine ? C'est ce que nous allons apprendre dans cet exercice.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}\hspace{-2cm}\vspace{-2cm}
\parbox{\textwidth}{
\framebox{
\centerline{\includegraphics[angle=-90,width=12cm]{police3-e.eps}}
}}
\caption{Extrait de \emph{Caract\`eres num\'eriques : introduction}, de Jacques Andr\'e}
\label{police-e}
\end{center}
\end{figure}




\footnotesize 
\paragraph{Histoire de B\'ezier (liocity.free.fr)}
Au d\' ebut des ann\' ees 60, les machines num\' eriques ne savaient usiner de fa\c con pr\' ecise que des courbes simples comme des paraboles ou des ellipses.  Une seconde cat\' egorie d'objets, au contraire, offrait une forme a priori peu pr\' ecise, d\' etermin\' ee exp\' erimentalement. Les h\' elices d'avions, les coques de bateaux et les carrosseries de voitures \' etaient trac\' ees \`a main lev\' ee, sans que l'on puisse d\' ecrire leurs formes par une formule math\' ematique.

Pierre B\' ezier, ing\' enieur fran\c cais dipl\^om\' e du Conservatoire national des arts et m\' etiers, poursuivait, une carri\`ere \`a la R\' egie Renault, atteignant le poste de directeur des m\' ethodes m\' ecaniques.

Les machines \`a commande num\' erique de cette \' epoque offraient une programmation limit\' ee. Il fallait les alimenter avec des nombres, ce que l'on savait faire pour des d\' eplacements \' el\' ementaires comme des droites, des arcs de cercle, et \`a la rigueur des ellipses. Mais il n'\' etait pas question de programmer des courbes quelconques, trac\' ees \`a la main, faute d'une d\' efinition num\' erique de celles-ci. 
Pierre B\' ezier chercha donc comment traduire math\' ematiquement une courbe, puis une surface, dessin\' ees \`a main lev\' ee. Il lui fallait concevoir un syst\`eme capable de g\' erer des courbes gauches, c'est-\`a-dire de manipuler des surfaces en 3D, d'où la n\' ecessit\' e de d\' efinir un mod\`ele math\' ematique qui ne soit pas limit\' e \`a des courbes en deux dimensions. Enfin, l'ing\' enieur entendait inventer un syst\`eme complet pour cr\' eer un objet en volume \`a partir d'un dessin, le tout avec une rapidit\' e d'ex\' ecution suffisante, et compr\' ehensible intuitivement.

Mais ses recherches n'\' etaient pas enti\`erement originales. D\`es 1958, un math\' ematicien employ\' e par Citroen, Paul de Casteljau, s'\' etait attaqu\' e au m\^eme probl\`eme. Paul de Casteljau \' etait charg\' e de num\' eriser une courbe, une fois celle-ci trac\' ee, sans se poser la question d'une correction a posteriori. Il d\' efinissait ses courbes comme caract\' eris\' ees par des p\^oles, d'une fa\c con nettement moins parlante que les points de contr\^ole de B\' ezier.

L'aventure de Pierre B\' ezier aurait pu s'arr\^eter l\`a. Mais un groupe de d\' eveloppeurs li\' es \`a Apple cr\' ea un langage adapt\' e \`a la future imprimante laser con\c cue pour le Mac. Il s'agissait de trouver un moyen de d\' efinir math\' ematiquement une courbe, comme le trac\' e d'un caract\`ere, avant de l'envoyer \`a l'imprimante. L'un de ces d\' eveloppeurs connaissait le travail du Fran\c cais. Tout naturellement, il choisit les courbes de B\' ezier comme base du langage PostScript et fonda la soci\' et\' e Adobe. Microsoft adopta \`a son tour les polices true-type \`a partir de Windows 3.1. Ces polices utilisent les courbes de B\' ezier pour d\' efinir les caract\`eres aux formes arrondies.
\normalsize






\partie{D\'efinition des courbes de B\'ezier}

On se donne quatre points $A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3}$ dans le plan,
et on cherche \`a d\'efinir une courbe param\'etr\'ee 
\begin{itemize}
\item qui part de $A_{0}$ et arrive en  $A_{3}$ ;
\item qui est  tangente en $A_{0}$ \`a la droite $(A_{0}A_{1})$,
\item qui est  tangente en $A_{3}$ \`a la droite $(A_{2}A_{3})$,
\item qui est d\'efinie par des polyn\^omes de petit degr\'e.
\end{itemize}

Pour cela,  on d\'efinit les quatre polyn\^omes (dits \emph{polyn\^omes de Bernstein} de degr\'e $3$)
$$
p_{0}(t) = (1-t)^3, \ \ \  p_{1}(t) = 3t(1-t)^2,  \ \ \ p_{2}(t) = 3t^2(1-t),  \ \ \ p_{3}(t) = t^3.
$$  
Soit $\alpha$ la courbe param\'etr\'ee d\'efinie, pour $t \in [0,1]$, par les formules suivantes, 
o\`u $A_{0}=(x_{0},y_{0})$, \textit{etc.}.
$$\left\{
\begin{array}{lll}
x(t) & = & x_{0}p_{0}(t) + x_{1}p_{1}(t) + x_{2}p_{2}(t) +x_{3}p_{3}(t)     \\
y(t) &  = & y_{0}p_{0}(t) + y_{1}p_{1}(t) + y_{2}p_{2}(t) +y_{3}p_{3}(t)
\end{array}
\right.
$$


\qst{Cas particulier} On consid\`ere ici les points $A_{0}=(0,0), A_{1}=(0,1), A_{2}=(1,1), A_{3}=(1,0)$. Dans ce cas, expliciter les formules d\'efinissant la courbe $\alpha$.
\'Etudier et dessiner la courbe.

%la formule\footnote{Remarque : dans cette formule, on utilise la notation $A.k$ o\`u $A$ est un point et $k$ un nombre. Par d\'efinition, la multiplication se fait coordonn\'ee par coordonn\'ee (les coordonn\'ees de $A.k$ sont celles  de $A$ multipli\'ees par $k$). M\^eme remarque pour l'addition de deux points.
%}
%$$
%\alpha(t) = A_{0}.p_{0}(t) +  A_{1}.p_{1}(t) +  A_{2}.p_{2}(t) +  A_{3}.p_{3}(t).
%$$


\qst{Cas g\'en\'eral} 

On consid\`ere ici quatre points quelconques $A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3}$.

 \sq Montrer que la courbe $\alpha$ d\'efinie plus haut r\'epond au probl\`eme. 

 On l'appellera \emph{courbe de B\'ezier associ\'ee aux quatre points $A_{0}, \dots, A_{3}$.}
On pourra faire le calcul \`a l'aide du tableau suivant.
\[
\begin{array}{cccc|cccc|cccc|cccc|cccc|cccc}
  p_{0}(t)&&&& p_{1}(t)  &&&& p_{2}(t) &&&& p_{3}(t)&&&& x(t) &&&& y(t) &&& \\
\hline
 p_{0}(0)=    &&&& p_{1}(0)= &&&& p_{2}(0)= &&&& p_{3}(0)= &&&&x(0)= &&&&y(0)= & \\
\hline
 p_{0}(1)= &&&& p_{1}(1)= &&&& p_{2}(1)= &&&& p_{3}(1)= &&&&x(1)= &&&&y(1)= & \\
\hline
 p_{0}'(0)= &&&& p_{1}'(0)= &&&& p_{2}'(0)= &&&& p_{3}'(0)= &&&&x'(0)= &&&&y'(0)= & \\
\hline
 p_{0}'(1)= &&&& p_{1}'(1)= &&&& p_{2}'(1)= &&&& p_{3}'(1)= &&&&x'(1)= &&&&y'(1)= & \\
\end{array}
\]

\sq Que vaut  le vecteur $\alpha'(0)$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{A_{0}A_{1}}$ ? et $\alpha'(1)$ en fonction de $\overrightarrow{A_{2}A_{3}}$ ?

\qst{}
Calculer la vitesse  de $\alpha$ au point $t=1/2$,    et exprimer cette vitesse \`a l'aide des vecteurs
$\overrightarrow{A_{0}A_{3}}$ et $\overrightarrow{A_{1}A_{2}}$.


%\qst{} \emph{(optionnelle)} Donner \emph{sans calculs} la courbe de B\'ezier  associ\'ee aux quatre points 
%$A'_{0}=(0,0), A'_{1}=(1,0), A'_{2}=(1,1), A'_{3}=(0,1)$.

%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Trac\'e r\'ecursif d'une courbe de B\'ezier : l'algorithme de Casteljau}


\begin{figure}[htbp]
\def\JPicScale{1}
\begin{center}
\input{Casteljau.tex}
\caption{Construction de Casteljau}
\label{castel}
\end{center}
\end{figure}

\paragraph{Description g\'eom\'etrique  de l'algorithme}
\`A partir des quatre points $A_{0}, A_{1}, A_{2} , A_{3}$, on construit les points $B_{0}, B_{1},B_{2} , B_{3}$ et $C_{0}, C_{1}, C_{2} , C_{3}$ en prenant des milieux successifs comme sur le dessin de la figure~\ref{castel}~: $B_{0} = A_{0}$ ; $B_{1}$ est le milieu des points  $A_{0}$ et $A_{1}$ ; $B_{2}$ est le milieu de $B_{1}$ et du milieu de $A_{1}$ et $A_{2}$ ; \textit{etc.}.

La remarque de Paul de Casteljau\footnote{Math\'ematicien, embauch\'e \`a la fin des ann\'ees 1950 par Citro\"en pour trouver une m\'ethode permettant de d\'efinir num\'eriquement  les courbes dessin\'ees par le bureau d'\'etude, afin d'assurer une transmission pr\'ecise \`a l'atelier de fabrication. Il est le co-inventeur des courbes de B\'ezier et de leur application \`a l'automobile.}
est la suivante : \emph{la courbe de B\'ezier $\alpha$ associ\'ee aux quatres points  
$A_{0}, \dots , A_{3}$ s'obtient en concat\'enant\footnote{Concat\'ener, c'est mettre bout-\`a-bout.}  la courbe de B\'ezier  associ\'ee \`a  $B_{0}, \dots , B_{3}$ et la courbe de B\'ezier associ\'ee \`a  $C_{0}, \dots , C_{3}$.} Nous allons essayer de v\'erifier cette remarque.


\qst{} \sq Trouver les coordonn\'ees du point $B_{3}$ en fonction de celles des quatres points initiaux $A_{0}, \dots , A_{3}$. 

\sq Montrer que ce point appartient bien \`a l'image de la courbe $\alpha$.

\def\ra{\rightarrow}

\qst{} Soit $\beta : [0,1] \ra \bbR^2$ la courbe param\'etr\'ee obtenue en partant de $\alpha(0)$ \`a $t=0$ et en parcourant l'image de la courbe  $\alpha$ deux fois moins rapidement.

\sq Donner une formule pour la courbe $\beta$ en fonction de la courbe $\alpha$.
\emph{Aide : que vaut $\beta(1)$ ? $\beta(1/2)$ ? $\beta(t)$ ?}

\sq En d\'eduire $\beta'(0)$ et $\beta'(1)$. 

\sq Montrer que la courbe $\beta$ v\'erifie bien les propri\'et\'es  de la courbe de B\'ezier associ\'ee \`a $B_{0}, \dots , B_{3}$  (voir l'exercice pr\'ec\'edent) : 
$$\beta(0) = B_{0}, \ \ \ \beta(1) = B_{3} \ \ \ \beta'(0) = 3.\overrightarrow{B_{0}B_{1}} \ \ \ \beta'(1) = 3.\overrightarrow{B_{2}B_{3}}. $$

\qst{} \emph{(optionnelle)} De m\^eme, donner une formule pour la courbe param\'etr\'ee  $\gamma : [0,1] \ra \bbR^2$ qui part de $\alpha(1/2)$ au temps $t=0$ et arrive  en $\alpha(1)$ \`a $t=1$  en parcourant $\alpha$ deux fois moins rapidement.
\emph{On montrerait comme avant que $\gamma$ v\'erifie les propri\'et\'es de la courbe de B\'ezier associ\'ee \`a $C_{0}, \dots , C_{3}$. On admet que $\beta$ et $\gamma$ sont bien des courbes de B\'ezier.}\footnote{Pour montrer ceci, on utiliserait le fait que si l'on se donne quatre nombres $x_{0}, x'_{0}, x_{1}, x'_{1}$, il existe un unique polyn\^ome $p$ de degr\'e inf\'erieur ou \'egal  \`a $3$ tel que $p(0)= x_{0}, p'(0) = x'_{0}, p(1)= x_{1}, p'(1) = x'_{1}$.}


\qst{} On consid\`ere \`a nouveau  la  courbe de B\'ezier associ\'ee aux quatre points 
$A_{0}=(0,0), A_{1}=(0,1), A_{2}=(1,1), A_{3}=(1,0)$.
 En utilisant la remarque de Casteljau (et non pas la formule d\'efinissant $\alpha$), d\'eterminer les coordonn\'es du  point $\alpha(1/2)$. De m\^eme, d\'eterminer  les points $\alpha(1/4)$ et $\alpha(3/4)$. %Utiliser ces points pour tester la formule obtenue pour $\alpha$ dans l'exercice pr\'ec\'edent.

\qst{} On choisit $4$ points quelconques $A'_{0}, A'_{1}, A'_{2}, A'_{3}$
dans le plan. On voudrait tracer la courbe de B\'ezier correspondante $\alpha$.
En utilisant la construction g\'eom\'etrique donn\'ee par l'algorithme de Casteljau, 
placer les points $\alpha(1/2)$, puis $\alpha(1/4)$ et  $\alpha(3/4)$, puis encore quatre autres points. Esquisser le trac\'e de la courbe $\alpha$.




\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{interets}
\nomficimprimable{interets}
\FichierUnique\titrebookmark{Intérêts composés}
\Annee{2001}
\Auteur{Arnaud \textsc{Ch\'eritat}}
\Titre{Intérêts composés}
\Date{2001/10/19}
\Niveau{\DEUGi}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert}
\Theme{\Suites}

\Objectif{L'exercice fait intervenir une suite arithmogeométrique,
ainsi que l'inégalité $(1+x)^{12} > 1+ 12 x$ quand $x>0$ dans la
question~4. La question~\ref{arnaud_cheritat_interets_label_1} est
vague~: on peut par exemple dire qu'une dette dont les intérêts
s'accumulent ($a=0$) forme une suite géométrique, et que $\tau'$ est
l'unique taux mensuel donnant la même dette au bout de 12 mois que le
taux annuel $\tau$ au bout d'un an.}


\begin{exo}

Au Crédit Exponentiel, on prète l'argent au taux annuel $\tau$. Plus
précisément, chaque année, l'emprunteur paye à sa banque la somme de
$i = \tau E$ (intérêt) où $E$ est la somme qu'il lui reste à
rembourser sur son emprunt. L'intérêt représente le coût de
l'emprunt, et ne sert pas à rembourser l'emprunt~: le remboursement
annuel $r$ s'ajoute à $i$ pour former ce que l'on appelle l'annuité $a$.

Un usager a décidé d'emprunter la somme $S$, et de la rembourser par
la méthode dite des intérêts composés sur $N$ ans. Il va verser à sa banque
chaque année pendant $N$ ans la même annuité $a$.

\qst{} Calculer l'annuité en fonction de $S$, $\tau$ et $N$.

\qst{} Calculer le coût de l'emprunt.

\

La banque voudrait passer de remboursements annuels à des
remboursements mesuels. Pour cela, elle propose de remplacer le taux
d'intérêt annuel $\tau$ par le taux mensuel $\tau'$ donné
par la formule $(1+\tau')^{12} = 1+\tau$.

\qst{}\label{arnaud_cheritat_interets_label_1} D'où sort cette formule~?

\qst{} Cela augmente-t-il ou diminue-t-il le coût des intérêts composés~?

\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{matrices_et_reseaux_aeriens}
\nomficimprimable{matrices\_et\_reseaux\_aeriens}
\titrebookmark{Les matrices au secours des r\'eseaux}
\Annee{2001}
\Titre{Les matrices au secours des r\'eseaux}
\Date{2001/10/01}
\Niveau{\DEUGii}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Theme{\AlgLin}
\ThemesSecondaires{Graphes, R\'eduction des endomorphismes} 
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert} 
\AnglesSecondaires{\Ludique} 


\Objectif{Le but de ce probl\`eme est de faire d\'ecouvrir les graphes
(qui font partie des objets math\'ematiques les plus simples), et de
montrer comment l'alg\`ebre lin\'eaire intervient de mani\`ere
essentielle dans leur \'etude (ce qui peut para\^itre surprenant au
premier abord). Le probl\`eme choisi, une histoire abracadabrante de
r\'eseau a\'erien, est \'evidemment \`a prendre sur le mode ludique
plus que comme un exemple d'application concr\`ete...  Au passage, on
visite les polyn\^omes de matrices, la trigonalisation, et un brin
d'arithm\'etique.  Ce probl\`eme a \'et\'e donn\'e en devoir \`a la
maison. Les \'etudiants l'ont trouv\'e difficile~: notamment, la
question portant sur le lien entre le graphe et les matrices
(propri\'et\'e QFTM) a \'et\'e tr\`es peu abord\'ee~; peut-\^etre
faudrait-il la r\'ediger autrement. Mais on a eu l'impression que le
probl\`eme les avait motiv\'es, et qu'ils avaient assez bien compris
la d\'emarche globale (ce qui est malheureusement plut\^ot rare...).

\paragraph{R\'ef\'erences.}  Ce probl\`eme est adapt\'e de la
page Web
 \href{http\deuxpoints//www.cut-the-knot.org}{http\deuxpoints//www.cut-the-knot.org},
 rubrique No 4 ``arithmetic
and algebra'', puis rubrique 125 ``When the counting gets tough, the
tough counts on mathematics~: an airline problem''. Il semble provenir
de l'\'etude de certains ``groupes de permutations'' ; on obtient
notamment l'existence du graphe \`a 50 sommets \`a partir d'un certain
groupe de matrices dont les coefficients appartiennent \`a un corps ne
contenant qu'un nombre fini d'\'el\'ements...}

\begin{exo}

\newtheorem{lemm}{Lemme}

\partie{Introduction} On consid\`ere le probl\`eme suivant~:

{\it Etant donn\'ees $n$ villes, on veut mettre en place un r\'eseau
a\'erien entre ces villes satisfaisant les conditions suivantes~:

(1) Le nombre de vols directs issus d'une ville donn\'ee est le m\^eme
    pour toutes les villes du r\'eseau ;

(2) Un voyageur qui voudra aller d'une ville donn\'ee \`a une autre en
    faisant au plus une escale aura exactement une possibilit\'e d'un
    tel voyage.

Pour quelles valeurs de $n$ peut-on concevoir un tel r\'eseau ?}


\begin{itemize}
\item Pour $n=2$, il y a une solution simple~: un vol direct entre les
deux villes.

\item Pour $n=3$ ou $4$ il n'existe pas de r\'eseau satisfaisant ces
conditions.

\item Pour $n=5$ une solution est donn\'ee par le graphe suivant~:

$$
\xymatrix{ & & V_1 \ar@{-}[rrd]& & \\ V_5 \ar@{-}[rru]& & & & V_2
\ar@{-}[ldd] \\ \\ & V_4 \ar@{-}[uul] & & V_3 \ar@{-}[ll]& }
$$

Ici le nombre de vols issus d'une ville donn\'ee est \'egal \`a $2$
quelle que soit la ville du r\'eseau, donc la premi\`ere condition est
bien v\'erifi\'ee ; et entre deux villes il y a soit un vol direct,
soit un vol avec une escale, mais pas les deux, et la deuxi\`eme
condition est \'egalement satisfaite.

\item Il n'y a pas non plus de solution pour $n=6$, $7$, $8$, ou
$9$. Par contre il y a une solution pour $n=10$, r\'ealis\'ee par le
graphe suivant~:
$$
\xymatrix{ & & & V_6 \ar@{-}'[d]\ar@{-}'[drrr]\\ V_{10}\ar@{-}'[dr]\ar@{-}'[urrr] &
& & V_1 \ar@{-}'[rddd]& & & V_7\ar@{-}'[dl]\ar@{-}'[ddddl] \\ & V_5 \ar@{-}'[rrrr]& &
& & V_2 \ar@{-}'[llldd] \\ \\ & & V_4 \ar@{-}'[ruuu] & & V_3 \ar@{-}'[llluu]& \\ &
V_9\ar@{-}'[ur]\ar@{-}'[luuuu] & & & & V_8\ar@{-}'[ul]\ar@{-}'[llll] }
$$
On peut ici aussi v\'erifier que les deux conditions sont remplies,
bien que ce soit un peu plus long (on admettra ceci dans la suite).
\end{itemize}


\paragraph{}
La mod\'elisation math\'ematique du r\'eseau a\'erien est un objet
appel\'e \emph{graphe}~: un graphe est constitu\'e d'un ensemble de
sommets ${\cal S}=\{V_1, \cdots , V_n \}$ et d'un ensemble d'ar\^etes
entre certains des sommets (de mani\`ere pr\'ecise, une ar\^ete est un
sous-ensemble de $\cal S$ \`a deux \'el\'ements, ces deux \'el\'ements
sont appel\'es \emph{extr\'emit\'es} de l'ar\^ete). Par exemple, le
premier graphe a pour sommets $\{V_1,V_2,V_3,V_4,V_5\}$ et pour
ar\^etes $\{ \{V_1,V_2\},
\{V_2,V_3\},\{V_3,V_4\},\{V_4,V_5\},\{V_5,V_1\} \}$.

On doit aussi d\'efinir ce qu'est un \emph{chemin}~: c'est une suite
finie de sommets du graphe dans laquelle deux sommets successifs sont
reli\'es par une ar\^ete dans le graphe~: par exemple, toujours dans
le premier graphe, $(V_1)$ , $(V_1,V_2)$ , $(V_3, V_2, V_1, V_2, V_3,
V_4) $ sont trois chemins de longueur respective 1, 2 et 6 (la
\emph{longueur} du chemin est le nombre d'ar\^etes parcourues,
autrement dit le nombre d'\'el\'ements de la suite moins 1).

\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.9\textwidth}{
Voici la strat\'egie propos\'ee~: dans toute la suite du
probl\`eme, on suppose qu'on a un entier $n$ et un graphe $\cal G$ \`a
$n$ sommets v\'erifiant les hypoth\`eses suivantes (formalisation des
hypoth\`eses (1) et (2) du probl\`eme de l'introduction)~:

(H1) il existe un entier $k$ tel que pour tout sommet $V_i$ du graphe,
le nombre d'ar\^etes dont $V_i$ est une extr\'emit\'e est \'egal \`a
$k$.


(H2) pour tout couple de sommets \emph{distincts} $V_i$ et $V_j$ du
graphe, il existe un et un seul chemin allant de $V_i$ \`a $V_j$ qui
soit de longueur $1$ ou $2$.


Nous allons chercher \`a exploiter les deux hypoth\`eses pour montrer
que $n$ ne peut prendre que quelques valeurs (par exemple, on va
montrer que $n$ ne peut pas \^etre \'egal \`a 3, 4, 6, 7, 8, ou 9,
comme on l'a affirm\'e dans l'introduction). 
}}
\end{center}





\partie{Liens avec les matrices}

Soit $A$ la \emph{matrice d'incidence} du graphe, qui indique les
liaisons entre les villes~: $A$ est la matrice carr\'ee, de taille
$n$, dans laquelle on a mis un 1 \`a la case $i,j$ si il y a une
ar\^ete entre $V_i$ et $V_j$, et un $0$ sinon.

Montrer que la matrice $A$ est sym\'etrique (c'est-\`a-dire \'egale
\`a sa transpos\'ee).


\qst{Compter le nombre de chemins}
Le but de cette question est de comprendre et de montrer la
propri\'et\'e suivante\footnote{C'est une propri\'et\'e g\'en\'erale
des graphes, c'est-\`a-dire qu'elle n'utilise pas les hypoth\`eses
(H1) et (H2).}~:
\begin{enonce1*}{Propri\'et\'e QFTM (Qui Fait Tout Marcher)}
L'entr\'ee $i,j$ de la matrice $A^{d}$ est \'egale au nombre
de chemins de longueur $d$ entre $V_i$ et $V_j$.
\end{enonce1*}




\sq[Un exemple pour comprendre]
Ecrire la matrice d'incidence $M$ du graphe \`a 5 sommets dessin\'e
dans l'introduction. Calculer $M^{2}$ ; quels sont les 2 chemins de
longueur 2 de $V_1$ \`a $V_1$ ? Calculer $M^{3}$ et tester \'egalement
la propri\'et\'e QFTM sur quelque cases de $M^{3}$ (quels sont les 3
chemins de $V_1$ \`a $V_2$ ? etc...).



\sq[Preuve]
 Montrer la propri\'et\'e QFTM par r\'ecurrence sur $d$ (on pourra
 commencer par traiter le cas $d=2$, mais \c{c}a n'est pas
 obligatoire).


\partie{Application \`a notre probl\`eme.}

\qst{} Comment se traduit la propri\'et\'e (H1) sur la matrice $A$ ? On
appelle (P1) cette propri\'et\'e matricielle.

\qst{} Montrer que la propri\'et\'e (H2) entra\^\i ne
l'\'egalit\'e matricielle~:
$$
A^{2}+A-(k-1)I=J \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (P2)
$$
o\`u $I$ est la matrice identit\'e et $J$ la matrice ne contenant que
des 1.





\partie{O\`u l'on utilise la valeur propre la plus simple}


\qst{Un lien entre les valeurs propres de $A$ et celle de $J$} Soit
$\lambda$ une valeur propre de $A$ ; montrer que
$\lambda^{2}+\lambda-(k-1)$ est une valeur propre de $J$.


\qst{Utilisation}

Trouver une valeur propre et un vecteur propre\footnote{Pour les profs
: faut-il leut donner le vecteur propre ???}  de $A$ en utilisant la
propri\'et\'e (P1).  En d\'eduire la relation~:
$$n=k^{2}+1.
$$


\emph{ R\'esoudre le probl\`eme pour $n \leq 16$, c'est-\`a-dire dire
pour chacun des entiers de 1 \`a 16 s'il existe ou non un r\'eseau
a\'erien v\'erifiant les deux conditions.  }

Donner aussi quelques valeurs de $n$ pour lesquelles on ne peut pas
conclure pour l'instant. Combien reste-t-il d'entiers pour lesquels on
ne peut pas encore conclure ?




%%%%%%%%%%%%
\partie{O\`u les autres valeurs propres ont aussi leur mot \`a dire}

\qst{Valeurs propres de $J$...}
Trouver les valeurs propres de $J$ et leurs multiplicit\'es
 (remarque~:  on peut le faire sans calcul~!).

\qst{...et de $A$}
Montrer que $A$ poss\`ede au plus 3 valeurs propres distinctes~: $k$
mise \`a part, on notera les deux autres $\lambda_+$ et $\lambda_-$,
et $m_+$ et $m_-$ leur multiplicit\'e respective.



\qst{Multiplicit\'e de $k$} Montrer que le sous-espace propre
$\mathrm{Ker}(A-k I)$ est de dimension $1$. Peut-on en d\'eduire la
multiplicit\'e de $k$ ?  Montrer que $k$ est de multiplicit\'e $1$ en
admettant (provisoirement) le lemme suivant~:
\begin{enonce1}{Lemme}{}\label{lem:poly-matrice}
  La multiplicit\'e de $\lambda$ comme valeur propre de $M$ est
  \'egale \`a la multiplicit\'e de $P(\lambda)$ comme valeur propre de
  $P(M)$, o\`u $M$ est une matrice de ${\cal M}_n(\bbC)$ et $P$ un
  polyn\^ome, par exemple le polyn\^ome $X^{2}+X-(k-1)$.
\end{enonce1}


\qst{Relations}
Trouver deux relations reliant $m_+$, $m_-$ et $k$ (indications~:
utiliser la question pr\'ec\'edente, et la trace). Montrer notamment
que $(m_+-m_-)\sqrt{4k-3}=k^{2}-2k$.

%%%%%%%%%%%%%
\partie{On y est presque !}
\qst{Le cas simple} On suppose que $m_+=m_-$. Trouver les valeurs
possibles de $k$, puis de $n$.

\paragraph{}
\emph{On suppose dans la suite que $m_+ \neq m_-$.}

\qst{O\`u l'on voit que $4k-3$ est un carr\'e parfait.}  Un
\emph{carr\'e parfait} est un entier de la forme $p^{2}$, o\`u $p$ est
un autre entier. En utilisant le lemme suivant~:
\begin{enonce1}{Lemme}{}\label{lem:carre-parfait}
  Soit $b$ un entier ; si $b$ n'est pas un carr\'e parfait, alors
  $\sqrt b \not \in \bbQ$.
\end{enonce1}
montrer que $4k-3$ est un carr\'e parfait
(propri\'et\'e *). \emph{En d\'eduire que $n$ ne peut pas \^etre \'egal \`a
$17$.}



\qst{Astuce et arithm\'etique} Soit $p$ tel que $p^{2}=4k-3$.  Montrer
que $4k-3$ divise $4^{4}\times (k^{2}-2k)^{2}$. Trouver un polyn\^ome
$Q$ tel que $Q(4k)=4^{4}\times (k^{2}-2k)^{2}$. En d\'eduire que
$p^2=4k-3$ divise $Q(3)$. Autrement dit~:
$$
\mathbf{ 4k-3 \mbox{ \bf divise } 225 \mbox{ \bf (propri\'et\'e **)
 }}.
$$

Montrer rapidement qu'il n'y a qu'un nombre fini d'entiers $n$
r\'epondant au probl\`eme initial.

 Trouver tous les $k$ v\'erifiant les propri\'et\'es (*) et (**).




\qst{Conclusion} On admet que $n=3250$ est impossible\footnote{La
preuve se trouve dans l'article de M. Aschbacher, \emph{The
non-existence of rank three permutation groups of degree 3250 and
subdegree 57}, J. Algebra 19 ({\bf 1971}), 538-540.}, mais que par
contre il existe un graphe v\'erifiant (H1) et (H2) avec $50$
sommets. \emph{R\'esoudre totalement le probl\`eme}.



\partie{Les lemmes}
\qst{} Montrer le lemme~\ref{lem:poly-matrice}~: on peut commencer par le cas d'une
matrice triangulaire $T$, et chercher le lien entre les \'el\'ements
de la diagonale de  $T$ et ceux de $P(T)$. Pour le cas g\'en\'eral,
utiliser le fait que $M$ est trigonalisable. 


\qst{} Montrer le lemme~\ref{lem:carre-parfait} en vous inspirant de la preuve de
l'irrationnalit\'e de $\sqrt 2$. 


\partie{Question subsidiaire} Proposer une m\'ethode pour s'assurer du
fait que le graphe \`a $10$ sommets dessin\'e en introduction a les
propri\'et\'es voulues.





\end{exo}

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\nomfic{moment_d_inertie}
\nomficimprimable{moment\_d\_inertie}
\FichierUnique\titrebookmark{Matrice d'inertie d'un solide}
\Annee{2001}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Matrice d'inertie d'un solide}
\Theme{\AlgLin}
\Niveau{\DEUGii}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert}
\etiquette{matrice_d_inertie}

\Objectif{Faire remarquer que la matrice d'inertie utilis\'ee en m\'ecanique du solide
est une forme quadratique. L'exitence de sym\'etries du solide se traduit par des conditions
sur la matrice d'inertie. C'est une application concr\`ete de la formule du changement de bases.}

\begin{exo}
 Soit $S$ un solide et $O$ une origine (par exemple, mais pas forc\'ement, son centre de gravit\'e). 
Lorsqu'on fait tourner $S$ le long d'un axe $d$ passant par $O$ 
avec une vitesse angulaire $\vec \omega$, 
la vitesse instantan\'ee d'un point $M$ du solide est donn\'ee
par $\vec{\omega}\wedge\vec{OM}$.
Son \'energie cin\'etique est donc donn\'ee par
$$E_c(\vec\omega)=\iiint_S \frac12 (\vec\omega\wedge\vec{OM})^2 dm$$
o\`u $dm$ repr\'esente l'\'el\'ement de masse.


\sq D\'emontrer que l'origine \'etant fix\'ee, 
$E_c$ est une forme quadratique en $\vec \omega$.
Sa matrice dans une base donn\'ee s'appelle la matrice d'inertie de $S$.

\emph{Remarque.} Par d\'efinition, les axes principaux sont des axes de diagonalisation simultan\'ee
de la forme quadratique d'inertie et du produit scalaire.


\sq La matrice d'inertie d'un solide peut-elle etre \'egale \`a
$\Mx{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9}$ ?

\sq La matrice d'inertie d'un solide peut-elle etre \'egale \`a
$\Mx{1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1}$ ?

\sq Comment se transforme la matrice d'inertie d'un solide lorsqu'on
transforme le solide $S$ en son sym\'etrique par rapport au plan $(xOy)$ ?

\sq Calculer (en utilisant les sym\'etries pour r\'eduire les calculs)
la matrice d'inertie du parall\'el\'epip\`ede
$\{(x,y,z)|-a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b, -c\leq z\leq c\}$.

\end{exo}
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\nomfic{modelisation-de-population}
\nomficimprimable{modelisation-de-population}
\FichierUnique\titrebookmark{Mod\'elisation de l'\'evolution d'une population}
\Annee{2002}
\Titre{Mod\'elisation de l'\'evolution d'une population}
\Date{2002/03/13}
\Niveau{\DEUGii} 
\NiveauxSecondaires{\DEUGbio,\DEUGphys}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert} 
\AnglesSecondaires{\Ludique} 
\Theme{\AlgLin}
\ThemesSecondaires{\Suites, suites r\'ecurrentes lin\'eaires}
\Objectif{Voir comment les suites récurrentes linéaires fournissent le
modèle le plus simple d'évolution de la population.}

\begin{exo}

 Proposez un mod\`ele math\'ematique (lin\'eaire) d\'ecrivant
l'\'evolution de la population d'un pays d'ann\'ee en ann\'ee, que
l'on pourrait par exemple programmer sur un ordinateur (on demande de
 d\'ecrire des ``\'equations d'\'evolution'', mais pas de les r\'esoudre !).
 Vous disposez pour cela~:
\begin{itemize}
\item de la r\'epartition de la population, en l'an 2000, en tranches d'âge d'une
ann\'ee~;
\item des taux de mortalit\'e dans chaque tranche d'âge~;
\item du taux de
f\'econdit\'e des femmes de chaque tranche d'âge (c'est-\`a-dire du nombre
d'enfants qui naîtront dans l'ann\'ee pour cent femmes ayant cet ace).
\end{itemize}

Quels sont les qualit\'es et les d\'efauts du mod\`ele~?



\end{exo}

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\nomfic{moindres_carres}
\nomficimprimable{moindres\_carres}
\FichierUnique\titrebookmark{Moindres carr\'es.}
\Annee{2001}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Moindres carr\'es.}
\Theme{\AlgLin}
\Niveau{\DEUGii}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert}
\etiquette{moindres_carres}

\Objectif{Faire retrouver \`a l'\'etudiant la m\'ethode des moindres carr\'es sur un exemple.}

\begin{exo}

Consid\'erons le syst\`eme $$(S)\sys{x_1+x_2&=&3\\-2x_1+3x_2&=&1\\2x_1-x_2&=&2}$$

\sq Montrer que ce syst\`eme n'a pas de solution

Ce syst\`eme s'\'ecrit aussi $A.X=b$ avec $A=\Mx{1&1\\-2&3\\2&-1}$, $X=\vect{x_1\\x_2}$
 et $b=\vect{3\\1\\2}$.
On cherche alors \`a trouver la meilleure solution approch\'ee,
c'est \`a dire $X_0$ tel que $||A.X_0-b||^2$ soit minimal
(o\`u ||.|| est la norme euclidienne de $\bbR^3$).


\sq D\'emontrer que $X_0$ r\'ealise le minimum de la fonction $||A.X-b||^2$
si et seulement si $A.X_0-b$ est orthogonal \`a $\Im A$.

\sq Trouver la meilleure solution approch\'ee du syst\`eme $(S)$.

\sq Pour un syst\`eme $A.X=b$ quelconque, donner un syst\`eme d'\'equations
dont les solutions sont les meilleures solutions approch\'ees du syst\`eme original.

Cette m\'ethode pour trouver une solution approch\'ee s'appelle la m\'ethode des moindres carr\'es.
Elle est tr\`es utilis\'ee en sciences exp\'erimentales, par exemple pour trouver
des coefficients d'une application affine passant le plus pr\`es possible de valeurs exp\'erimentales.

\sq Etant donn\'es une s\'erie de points exp\'erimentaux $(x_n,y_n)$, on cherche la fonction affine
$y=ax+b$ qui approxime le mieux les points exp\'erimentaux.
D\'eterminer un syst\`eme d'\'equations dont les solutions sont les coefficients $a$ et $b$
de la fonction affine cherch\'ee.

\end{exo}

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\nomfic{parachutiste}
\nomficimprimable{parachutiste}
\FichierUnique\titrebookmark{Parachutiste}
\Annee{2002}
\Titre{Parachutiste}
\Auteur{Laurent \textsc{Mazet}}
\Date{2002/12/04} % Format AAAA/MM/JJ. pour le 5 mars 2001: \Date{2001/03/05}

\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...

\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Equadifs} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\Objectif{Cet exercice montre une \'equation diff\'erentielle simple dans un cadre tr\`es concret.

Difficult\'e inattendue: en TD, un certain nombre d'\'etudiants ont 
\'et\'e g\'en\'es par le fait d'interpr\^eter $z'$ comme une vitesse:
comment une vitesse peut-elle \^etre n\'egative ?
Il est aussi assez peu satisfaisant de donner brutalement l'\'equation diff\'erentielle
(les \'etudiants ont besoin de se l'approprier),
sachant que demander aux \'etudiants de la retrouver demande forc\'ement du temps...
Un compromis pourrait \^etre de ne donner l'\'equation diff\'erentielle
\emph{qu'au signe pr\`es} (par exemple $mz''=\pm kz' \pm mg$)
et de laisser les \'etudiants trouver les bons signes.

Autre difficult\'e inattendue: on ne donne pas l'altitude initiale $z_0$. Peut-on quand m\^eme
trouver la distance parcourue ? Doit-on poser $z_0=0$ ?

Les valeurs num\'eriques ne sont sans doute qu'approximativement r\'ealistes.} % Partie objectifs et commentaires.

\begin{exo}
On souhaite \'etudier le saut d'un parachutiste. Un parachutiste de
masse $m$ en chute libre est soumis \`a la force de la pesanteur $mg$ et \`a une
force de frottement proportionnelle \`a la vitesse. On note $z(t)$
l'altitude du parachutiste en fonction du temps. $z(t)$ est alors
d\'ecrit par l'\'equation diff\'erentielle suivante: 

$$mz''=-kz'-mg$$
On utilisera les valeurs num\'eriques suivantes:
$g=10~\mathrm{ms}^{-2}$, $m=70~\mathrm{kg}$ et $k=7~\mathrm{kgs}^{-1}$. 
\begin{enumerate}

\item D\'eterminer la vitesse limite th\'eorique du
  parachutiste. Sachant que le parachutiste quitte l'avion \`a vitesse
  nulle, d\'eterminer le temps mis pour atteindre $90\%$ de cette
  vitesse limite ainsi que la distance parcourue pendant ce temps. M\^eme question avec
  $99\%$ de la vitesse limite.

\item Lorsque le parachutiste ouvre son parachute, le coefficient de
  frottement est multipli\'e par $20$. Il doit arriver au sol avec une
  vitesse inf\'erieure \`a $6~\mathrm{ms}^{-1}$. En supposant qu'il chute 
\`a
  la vitesse limite au moment de l'ouverture du parachute,
  d\'eterminer l'altitude maximale d'ouverture du parachute (le
  parachute met $2$ secondes \`a se d\'eployer).  
\end{enumerate}
\end{exo}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{probleme_de_fit}
\nomficimprimable{probleme\_de\_fit}
\FichierUnique\titrebookmark{Probl\`eme de \emph{fit} (moindres carr\'es).}
\Annee{2002}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}
\Date{2002/01/03}
\Titre{Probl\`eme de \emph{fit} (moindres carr\'es).}
\Theme{\AlgLin}
\Niveau{\DEUGii}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert}

\Objectif{Faire retrouver \`a l'\'etudiant la m\'ethode des moindres carr\'es sur un exemple.
Beaucoup d'\'etudiants ont du mal \`a travailler dans l'espace de dimension $4$ 
 et n'arrivent pas \`a se d\'etacher du dessin (plan) fait dans la premi\`ere question.
Ce genre de probl\`eme peut aussi amener les \'etudiants \`a comprendre que, pour mod\'eliser des situations
concr\`etes, il faut parfois se placer dans des espaces de dimension plus grande que 3. }

\begin{exo}
Vous avez une batterie. 
Vous voulez d\'eterminer ses caract\'eristiques~:
force \'electromotrice $E$ et r\'esistance interne $r$.
Cela signifie que vous cherchez \`a mod\'eliser cette batterie
par un dipole tel que $U=E-rI$ (o\`u $U$ est la diff\'erence de potentiel
entre les deux bornes du dipole, et $I$ est l'intensit\'e le traversant).

Vous faites donc une s\'erie de mesures.
Vous trouvez les r\'esultats suivants~:
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|rrrr|}
\hline
Mesure N\fup{o}&1&2&3&4\\
\hline
Intensit\'e mesur\'ee (A) & 0  & 0,1 & 0,4 & 1\\
Tension mesur\'ee (V)     & 12 & 11  & 7  &  1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\sq Faire un dessin. Peut-on trouver $E$ et $r$ de sorte que le modele soit
exact ? Donner une justification g\'eom\'etrique.

\sq On pose $X=\vect{E\\r}$. 
\'Ecrire les \'equations qui doivent \^etre satisfaites par $E$ et $r$
(pour que le mod\`ele soit exact) sous la forme
$A.X=b$ o\`u $A$ est une matrice, et $b$ un vecteur.
Donner une justification alg\'ebrique de la question pr\'ec\'edente.

\sq On cherche donc $E$ et $r$ (c'est \`a dire $X$) de sorte que le mod\`ele soit \emph{le meilleur possible}
vis \`a vis des donn\'ees disponibles.
Pour nous, \emph{le meilleur mod\`ele possible} sera celui pour lequel $||AX-b||^2$ est  
minimum. (On aurait pu choisir une autre d\'efinition, mais celle-l\`a est la plus simple \`a r\'esoudre.
On l'appelle souvent~: \emph{les moindres carr\'es}.)
Expliciter la valeur de $||AX-b||^2$ et traduire plus concr\`etement la condition des moindres carr\'es.


\sq D\'emontrer que $X_0$ r\'ealise le minimum de la fonction $X \mapsto ||A.X-b||^2$
\ssi $A.X_0-b$ est orthogonal \`a $\Im A$.

\sq Montrer que $(\Im A)^\perp=\ker {}^tA$.

\sq En d\'eduire l'unique vecteur $Y\in \Im A$ tel que $||Y-b||^2$ 
soit minimum.

\sq Trouver la meilleure solution approch\'ee du syst\`eme.

\sq[Autre probleme de fit.] Maintenant vous avez un \'echantillon form\'e
de trois compos\'es radioactifs $A$, $B$, $C$ (et d'autres compos\'es non radioactifs). 
Vous connaissez leurs demi-vies~:
par exemple $\tau_A=1$ jours, $\tau_B=3$ jours et $\tau_C=10$ jours.
On cherche \`a d\'eterminer la composition initiale de l'\'echantillon.
Le nombre de d\'esint\'egrations par seconde de $A$ s'\'ecrit donc
$d_A=N_A 2^{-t/tau_A}$ o\`u $N_A$ est le nombre initial d'atomes $A$.
Vous mesurez le nombre de d\'esint\'egrations par seconde dans l'\'echantillon
(avec un compteur Geiger) au cours du temps.
\textbf{Question :} trouver les valeurs de $N_A$, $N_B$ et $N_C$
qui correspondent le mieux aux mesures effectu\'ees.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|rrrrr|}
\hline
Temps (jours) & 0 & 1 & 2 &3 & 4 \\
Nombre de d\'esint\'egrations par secondes ($\times 10^9$) & 10 & 2,7 & 1,3 & 0,6 & 0,3 \\  
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{exo}

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\nomfic{refraction_lumiere}
\nomficimprimable{refraction\_lumiere}
\titrebookmark{R\'efraction de la lumière}
\Annee{2001}
\Auteur{Laurent \textsc{Bessi\`eres}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{R\'efraction de la lumière}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi, \DEUGii, \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{} %Les niveaux secondaires separes par des virgules
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert} %l'angle pedagogique principale. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Recherche, ...
\AnglesSecondaires{} %Les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules
\Theme{\Fonctions} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...
\ThemesSecondaires{} %Themes secondaires separes par des virgules


% Partie objectifs et commentaires.     

\Objectif{Utiliser le savoir-faire mathématique pour une application physique. Choisir un 
bon système de coordonnées. Mettre en équations une situation physique.

Cet exercice est tiré de \emph{Calculus}, Edward R. Fadell, Albert G. Fadell, 
editions Van Nostrand Reinhold Compagny}


\begin{exo}
On considère deux milieux $M_1$ et $M_2$ (par exemple, air et eau), séparés par une droite 
$\Delta$, un point $A$ dans $M_1$ et un point $B$ dans $M_2$. On veut déterminer la trajectoire 
d'un rayon lumineux allant de $A$ à $B$. Les hypothèses sont que 
la lumière se propage à la vitesse $v_1$ dans $M_1$ et à la vitesse $v_2$ dans $M_2$. 

\sq Soit $x$ un point de la droite $\Delta$. Calculer en fonction de $x$ la durée 
d'un trajet $Ax$ + $xB$. 

\begin{center}
\input{dessin_ref_lum1.pstex_t}
\end{center}

\sq Le trajet réel emprunté par la lumière est celui dont la durée est la plus courte (principe
 de Fermat). 
Calculer ce trajet et retrouver la loi de Snell 
 
$$ \frac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)} = \frac{v_1}{v_2}$$

où $\theta_1$ est l'angle entre $Ax$ et la perpendiculaire à $\Delta$ et $\theta_2$ l'angle 
entre $Bx$ et la perpendiculaire à $\Delta$.

\begin{center}
\input{dessin_ref_lum2.pstex_t}
 \end{center}
\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{retourner-une-droite}
\nomficimprimable{retourner-une-droite}
\titrebookmark{Retourner une droite.}
\Annee{2002}
\Titre{Retourner une droite.}
\Auteur{Adrien \textsc{Douady}}
\AutresAuteurs{}


\Date{2002/07/15} 
\Niveau{\Licence} 

\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert} 
\AnglesSecondaires{}
\Theme{\Topologie}
\ThemesSecondaires{}
\Objectif{Cet exercice est extrait du fascicule
\emph{Géométrie
dans les espaces de paramètres, une méthode de géométrisation, par
Adrien Douady (Cahier de didirem, publication de l'IREM Paris 7, novembre 1997).}
A. Douady précise que le problème lui a été suggéré par David Epstein.

En plus de l'exercice ci-dessous, l'ouvrage cité contient deux autres
problèmes. Le but avoué est de faire comprendre l'intéret des espaces
de paramètres. Citons l'introduction~:

``Depuis le commencement du XXème siècle - on peut dire à la suite de
Hilbert - la géométrie s'est avérée \^etre un moyen extrèmement
efficace d'appréhender de nombreux problèmes en mathématiques et en
diverses sciences. Souvent, ce n'est pas sur de la géométrie
euclidienne en dimension 2 ou 3 que l'on tombe, mais sur de la
géométrie dans un espace adapté au problème, en général un
\textbf{espace de paramètres} construit ad-hoc.(...)''

Ici, l'espace des paramètres sera de dimension~2, mais
``il est aisé de concevoir qu'il n'en est pas toujours ainsi. Par
exemple, l'ensemble des orbites possibles d'une planète est de
dimension~5. En robotique, on est amené à considérer l'ensemble de
toutes les positions possibles d'un solide~; c'est une variété de
dimension~6, plongeable dans $\bbR^9$.''
}

\begin{exo}
Nous présentons ce problème sous trois versions.
\begin{figure}[ht!]
\begin{center}
\input{fig-retourner-une-droite.pstex_t}
\caption{\label{fig:retourner-une-droite}}
\end{center}
\end{figure}

Considérons dans le plan un arc de courbe $\Gamma$ qui soit l'un des
arcs $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ $\Gamma_3$ dessinés
figure~\ref{fig:retourner-une-droite}, et $D$ une droite ne
rencontrant pas $\Gamma$. Est-il possible de déplacer $D$ de façon
continue et de la ramener à sa place avec l'orientation opposée, sans
que jamais au cours du mouvement elle ne soit tangente à $\Gamma$~?

\textbf{Indication} la réponse n'est pas la m\^eme dans les trois
cas~: il y a deux OUI et un NON, ou le contraire. Les paris sont ouverts.
\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{formules-de-sommes}
\nomficimprimable{formules-de-sommes}
\FichierUnique\titrebookmark{Sommes des puissances \emph{p}-i\`eme des entiers}
\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
%Faire un fichier par exercice. 
\Titre{Sommes des puissances \emph{p}-i\`eme des entiers}

\Date{2001/10/03}
\Niveau{\DEUGi} 
\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert} 
\AnglesSecondaires{} 
\Theme{\AlgLin}
\ThemesSecondaires{\Polynomes}
\Objectif{Le but de l'exercice est de montrer comment les concepts
d'alg\`ebre lin\'eaire peuvent \'eclairer une question naturelle, la
recherche d'une formule pour la somme des carr\'es (ou des cubes, etc...) des $n$
premiers entiers.

Par ``formule'', on entendra : trouver un polyn\^ome $Q_\alpha$ tel que pour
tout $n$, 
$$
\sum_{k=1}^n k^\alpha=Q_\alpha(n).
$$
(on peut discuter cette formulation avec les \'etudiants, par exemple
oralement, comme propos\'e \`a la question~1.)

Ici, l'efficacit\'e de l'alg\`ebre lin\'eaire appara\^{\i}t surtout \`a la
question \textbf{2.a}, qui montre une variante du principe ``quand
l'unicit\'e implique l'existence''~:
 pour montrer l'existence d'une formule, on est
ramen\'e \`a prouver la surjectivit\'e d'une certaine application lin\'eaire,
et un argument de dimension (le ``th\'eor\`eme noyau-image'') permet de se
ramener au calcul du noyau, qui est tr\`es simple. (Au passage, on doit
dire pourquoi un polyn\^ome p\'eriodique est n\'ecessairement constant).
La d\'etermination explicite de la formule revient alors \`a inverser la
matrice de $\Phi$.

On obtient les formules suivantes~:
$$
\sum _{n=1}^{N}{n}^{2}=\frac{1}{6}\,N\left (N+1\right )\left (2\,N+1\right )
\ \ ; \ \
\sum _{n=1}^{N}{n}^{3}=\frac{1}{4}\,{N}^{2}\left (N+1\right )^{2} \ \ ;
$$
$$
\sum _{n=1}^{N}{n}^{4}=\frac{1}{30}\,N\left (N+1\right )\left (2\,N+1\right 
)\left (3\,{N}^{2}+3\,N-1\right ).
$$

Remarque : on pourrait aussi montrer \emph{a priori} que la condition
donn\'ee au \textbf{1.b} (existence de $P$) est n\'ecessaire pour qu'une
telle formule existe.

Possibilit\'e d'extension : pour quelles fractions rationnelles $F$
existe-t-il une fraction rationnelle $G$ telle que pour tout $n$, 
$$
\sum_{k=1}^n F(k)=G(n) \ \ \ \  ?
$$
(indication : utiliser la remarque pr\'ec\'edente.)
}

\begin{exo}
Vous connaissez la formule donnant la somme des $n$ premiers entiers :
$$
\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}.
$$
On voudrait savoir s'il existe des ``formules analogues'' pour les sommes
de puissances sup\'erieures~:
$$
\sum_{k=1}^n k^2 = ? \ \ \ \ \sum_{k=1}^n k^3 = ? \ \ \ \ \sum_{k=1}^n k^4 = ? \ \ \ \ \mbox{
etc...}
$$


\qst{Calcul de la somme des carr\'es.} 
 \sq{Formulation pr\'ecise :}
transformer la question vague en une question pr\'ecise (qu'est-ce
qu'une ``formule analogue'' ?). 


\sq{Une id\'ee :}  \emph{supposons qu'on connaisse un polyn\^ome $P$
 tel que $X^2=P(X+1)-P(X)$}. On pourrait alors obtenir la formule
 recherch\'ee~; voyez-vous comment ?

\sq{R\'esolution :} trouver un tel polyn\^ome
$P$~; donner une formule pour la somme des carr\'es des $n$ premiers
entiers.


\qst{Somme de puissances sup\'erieures.}
Soit $\alpha$ un entier sup\'erieur ou \'egal \`a 3~; on cherche maintenant
une formule pour la somme 
$$
\sum_{k=1}^n k^\alpha.
$$
\sq En g\'en\'eralisant la m\'ethode utilis\'ee \`a la question~1, montrer qu'il
existe une ``formule analogue'' \`a celle obtenue pour la somme des
carr\'es~;

\noindent -- \textbf{remarque~:} on ne demande pas de trouver explicitement la
formule, mais seulement de montrer son existence~;

\noindent -- \textbf{suggestion~:}
on consid\`ere l'application 
$$
\begin{array}{rcl}
\Phi : \bbR^{\alpha+1}[X] & \longrightarrow &  \bbR^{\alpha}[X] \\
P(X) & \longmapsto & P(X+1)-P(X).
\end{array}
$$
A quelle propri\'et\'e de cette application peut-on relier le probl\`eme~?



\sq Donner une formule pour $\alpha=3$.

\sq Expliquer la strat\'egie pour obtenir une formule pour $\alpha=4$.
\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\nomfic{cristaux}
\nomficimprimable{cristaux}
\titrebookmark{Sym\'etries des cristaux.}
\Annee{2002}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}
\Date{2001/10/01}
\Titre{Sym\'etries des cristaux.}
\Theme{\AlgLin}
\Niveau{\DEUGii}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert}


\Objectif{Cet exercice permet de comprendre un joli r\'esultat de cristallographie.
Il fait appel aux changements de bases (les \'etudiants sont souvent g\^en\'es par le fait
que deux bases puissent donner le m\^eme r\'eseau). }

\begin{exo}
Un des r\'esultats majeurs de la cristallographie est que << l'ordre de sym\'etrie >>
d'un cristal ne peut \^etre \'egal qu'\`a $1,2,3,4$ ou $6$.
Qu'est-ce que c'est que << l'ordre de sym\'etrie >> d'un cristal ?
L'ordre d'une rotation $f$ est le plus petit entier $n>0$ tel que $f^n=Id$.
L'ordre de sym\'etrie d'un cristal est l'ordre maximal d'une rotation qui pr\'eserve le cristal.

L'ordre de sym\'etrie du cristal est une donn\'ee importante car 
pour \'etudier un cristal, on regarde le spectre de diffraction d'un faisceau
de rayons X qui traverse le cristal (ce spectre ressemble en g\'en\'eral \`a un
ensemble de points lumineux situ\'es sur un r\'eseau et dont l'intensit\'e lumineuse
d\'ecroit avec la distance \`a l'origine, voir figures),
et l'ordre de sym\'etrie du cristal peut se lire dans l'ordre de sym\'etrie du spectre
de diffraction.

Voici quelques exemples de spectres de diffraction de rayons X qu'on peut obtenir~:

\centerline{\hfill
\includegraphics[height=3cm]{asymm.eps}\hfill
\includegraphics[height=3cm]{saed.eps}\hfill
\includegraphics[height=3cm]{nitrure_de_silicium_Si3N4.eps}\hfill
\includegraphics[height=3cm]{cristal_de_Tridymite.eps}\hfill
}

Le but de l'exercice est de d\'emontrer le r\'esultat de cristallographie
ci-dessus pour des cristaux bidimensionnels
(le r\'esultat se d\'emontre de la m\^eme fa{\c c}on pour les cristaux tridimensionels, mais il faut
quelques connaissances sur les rotations de $\bbR^3$. 
Par contre l'ordre de sym\'etrie peut aussi prendre les valeurs $5,8$ et $12$ en dimension
$4$ ou $5$, et d'autres valeurs au fur et \`a mesure que la dimension augmente...)

On mod\'elise un cristal bidimensionnel 
par l'ensemble des points de coordonn\'ees enti\`eres (positives ou n\'egatives)
dans une certaine base $(\vec u,\vec v)$ du plan.

\sq Soit $(\vi,\vj)$ une base orthonorm\'ee. Faire des dessins des cristaux
correspondant aux bases suivantes:
$$(\vec u=\vi,\vec v=\vj), (\vec u=\vi,\vec v=\frac12\vj), 
  (\vec u=\vi,\vec v=\frac12\vi+\frac{\sqrt{3}}{2}\vj), (\vec u=\vi,\vec v=\vi+\vj)$$
Trouver sur le dessin les rotations qui laissent invariants ces cristaux et
donner l'ordre sym\'etrie de ces cristaux.

\sq Soit $f$ une application lin\'eaire qui pr\'eserve un cristal $C$.
Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de $f$ est \`a coefficients entiers.

\sq Sachant qu'une rotation d'angle $\theta\in \left] -\pi,\pi\right]$ admet
pour matrice $\Mx{\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta}$
dans une base orthonorm\'ee directe,
 montrer, en utilisant la trace que l'angle d'une rotation qui pr\'eserve un cristal
appara\^\i t forc\'ement dans la liste $\theta \in\{0,\pi,\pm\pi/2,\pm2\pi/3,\pm\pi/2,\pm\pi/3\}$.
En d\'eduire le r\'esultat de cristallographie.

En particulier, un cristal bidimensionel ne peut pas \^etre invariant par une rotation d'ordre $5$.
 En dimension 4 et 5, la liste
des ordres de sym\'etries possibles s'agrandit et contient $5,8,12$.
Dans les les ann\'ees 80, on a trouv\'e certains mat\'eriaux ayant un ordre de sym\'etrie \'egal \`a $5$, qu'on appelle dor\'enavant des quasi-cristaux.
Un des mod\`eles de quasi-cristaux est la projection
d'une tranche d'un \emph{r\'eseau} (\ie l'ensemble des points \`a coordonn\'ees enti\`eres dans une base)
de dimension 4 ou plus dans l'espace de dimension 3.


\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\separation


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{cercle_osculateur}
\nomficimprimable{cercle\_osculateur}
\titrebookmark{Cercles osculateurs \`a un graphe}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Annee{2001}
\Titre{Cercles osculateurs \`a un graphe}

\Date{2001/09/19}
\Niveau{\DEUGi}
\NiveauxSecondaires{}\AnglePedagogique{\Decouverte}
\AnglesSecondaires{\AQuoiCaSert}
\Theme{\Fonctions}
\ThemesSecondaires{D\'eveloppements limit\'es}

\Objectif{
Le but de l'exercice est de faire d\'ecouvrir la notion de cercle
osculateur, et de voir ainsi une application des d\'eveloppements
limit\'es. On se limite ici aux graphes de fonctions~; et on fait voir le
cercle osculateur de la mani\`ere suivante~: quand  on fait varier le
rayon d'un cercle tangent \`a la courbe en un point donn\'e, il y a un
moment o\`u le cercle passe d'un c\^ot\'e \`a l'autre de la
courbe. Remarquons qu'en g\'en\'eral (si on n'est pas en un point
critique de la courbure le long de la courbe), la courbe traverse son
cercle osculateur~; mais ce n'est pas le cas dans la premi\`ere
situation abord\'ee. 

Cet exercice est aussi  l'occasion d'insister sur le fait que les
d\'eveloppements limit\'es ne fournissent que des informations
\emph{locales}~: ici, le DL permet de donner la position du cercle par
rapport au graphe au voisinage du point de tangence, mais ce voisinage
devient arbitrairement petit quand le rayon se rapproche du rayon
osculateur (par valeurs sup\'erieures)~; c'est l'objet de la
question~2.

Remarquons que dans la premi\`ere question, on peut se passer de DL,
puisqu'on peut calculer explicitement les points d'intersections du
graphe avec le cercle en r\'esolvant les \'equations.  
Pour la fonction cosinus hyperbolique, par contre, \c{c}a n'est
plus possible ; de plus, on a choisi la fonction pour que les calculs
se passent bien (le rayon de courbure au point $(x,\mathrm{ch}(x))$
est $\mathrm{ch}^2(x)$).

Les calculs sont simples dans la question~1 (le rayon est $1/2$) ;
c'est beaucoup plus emb\^etant dans la question~3, surtout
pour le DL \`a l'ordre~3 qu'il faut effectuer si on veut r\'epondre
\`a la question pour le cercle osculateur (et voir que la courbe le
traverse effectivement). On pourrait s'aider d'un logiciel de calcul
formel.
D'autre part, un des int\'er\^ets de ces questions est
qu'elles obligent l'\'el\`eve \`a faire un DL ailleurs qu'en $0$.

Ne montrer les figures~\ref{fig:osculateurs1} et \ref{fig:osculateurs2} aux étudiants qu'après l'exercice...
\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm,width=9cm,angle=-90]{figures_cercles_osculateurs01.eps}
\caption{\label{fig:osculateurs1}Quelques cercles tangents à la courbe (1).}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm,width=9cm,angle=-90]{figures_cercles_osculateurs02.eps}
\caption{\label{fig:osculateurs2}Quelques cercles tangents à la courbe (2).}
\end{center}
\end{figure}
}

\begin{exo}
\qst{}
Soit $f$ la fonction $x \mapsto x^2$, d\'efinie sur $\bbR$. On
consid\`ere un cercle $\calc$ de $\bbR^2$ tangent au graphe de
$f$ au point (0,0).

 Au voisinage de ce point, le cercle est-il situ\'e au-dessous ou
au-dessus du graphe de $f$ ? 

\qst{}
 Sur quel intervalle la r\'eponse \`a la question pr\'ec\'edente est-elle valide ?


\qst{} M\^emes questions en un autre point du graphe, par exemple au point
$(1,1)$.

 M\^emes questions en n'importe quel point du graphe de la fonction
\emph{cosinus hyperbolique}.

\paragraph{Pour aller plus loin.} A l'aide de Maple, faire une animation montrant la famille des
cercles tangents en un point donn\'e.


\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{Methode-de-Newton}
\nomficimprimable{Methode-de-Newton}
\titrebookmark{M\'ethode de Newton}
\Annee{2002}
\titrebookmark{M\'ethode de Newton}
\Titre{Comment calculer $\sqrt{2}$ quand on a oubli\'e sa calculatrice~?
(introduction \`a la m\'ethode de Newton)}
\Date{2002/07/26}
\Niveau{\DEUGi} % Deug deuxieme annee
\AnglePedagogique{\Decouverte}
\AnglesSecondaires{\AQuoiCaSert}
\Theme{\Suites}
\ThemesSecondaires{\Fonctions}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}

\Objectif{La m\'ethode de Newton est un sujet tr\`es riche pour le DEUG~:
on peut exp\'erimenter graphiquement, num\'eriquement, travailler sur la
formule, essayer de prouver la convergence, \'etudier la rapidit\'e de la
convergence (th\'eoriquement ou exp\'erimentalement), g\'en\'eraliser en
dimension sup\'erieure, voir ce qui se passe quand
ça ne converge pas (et entrevoir la recherche en dynamique complexe)...
 C'est aussi une m\'ethode d'une grande importance
pratique, puisque c'est sans doute, gr\^ace \`a sa vitesse de
convergence, la plus utilis\'ee pour approcher un
z\'ero de fonction.

Dans cet exercice, on demande aux \'etudiants de trouver la formule \`a
partir d'une description graphique (surtout ne pas leur donner la
formule alors qu'ils sont tout \`a fait capables de la trouver~!)~; puis
on l'utilise pour un calcul de $\sqrt{2}$~; enfin, on compare la
rapidit\'e de convergence avec la m\'ethode par dichotomie (en gros, dans
la m\'ethode de Newton, le nombre de d\'ecimales justes double \`a chaque
\'etape, alors qu'il augmente lin\'eairement pour la dichotomie, et qu'il
faut plus de trois coups pour chaque d\'ecimale suppl\'ementaire).


Tous les calculs demand\'es sont faisables \`a la main (division \`a trois
ou quatre chiffres), et on constate qu'on peut avoir une tr\`es bonne
approximation d'une racine carr\'ee, sans calculatrice, en peu de temps.

La premi\`ere partie a \'et\'e test\'ee \`a un examen o\`u les \'etudiants
travaillaient en groupes de quatre, et a \'et\'e globalement r\'eussie.
} 


\begin{exo}
La m\'ethode de Newton (ou m\'ethode des tangentes) est une mani\`ere
d'obtenir des approximations num\'eriques d'un ``z\'ero'' d'une fonction
(c'est-\`a-dire d'un nombre o\`u la fonction s'annule). 
Dans cet exercice, on d\'ecrit cette m\'ethode, puis on l'applique 
au calcul des premi\`eres d\'ecimales de $\sqrt{2}$.
La deuxi\`eme partie de l'exercice propose de comparer cette m\'ethode 
avec la m\'ethode par dichotomie.
\footnote{\'Etant donn\'e le titre de l'exercice, les calculs
seront faits sans utiliser de calculatrice...}

\partie{La m\'ethode de Newton}
\qst{Formule}
\`A partir de l'encadr\'e d\'ecrivant graphiquement la m\'ethode de
Newton, trouver la formule donnant $x_1$ en fonction de $x_0$.

Quelles hypoth\`eses doit-on faire sur $f$ et $x_0$ pour que la
formule ait un sens~?

\begin{figure}[hp]
\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.9\textwidth}{
\centerline{\bf La m\'ethode de Newton}
\small
 Toutes les m\'ethodes de recherche num\'erique de z\'ero de fonctions
 suivent le m\^eme  principe g\'en\'eral~: \`a partir d'une ``premi\`ere
 bonne approximation'' du z\'ero recherch\'e, trouver une 
approximation qui soit encore meilleure, puis recommencer...

Voici comment proc\`ede la m\'ethode de Newton.
Soit $f$ une fonction de $\bbR$ dans $\bbR$.
\begin{enumerate}
\item On part d'un nombre ``quelconque'' $x_0$~;
 \item \`a partir de $x_0$, on calcule un nouveau nombre $x_1$ de la
mani\`ere suivante (voir figure )~: on trace la tangente au graphe de $f$ au point
d'abscisse $x_0$, et on d\'etermine le point d'intersection de cette
tangente avec l'axe des abscisses. On appelle $x_1$ l'abscisse de ce
point d'intersection~;
\item et on recommence~: on calcule un nouveau
nombre $x_2$ en appliquant le proc\'ed\'e d\'ecrit au point 2 o\`u l'on
remplace $x_0$ par $x_1$~;
\item \emph{et caetera...}
\end{enumerate}

\begin{center}
\input{newton.pstex_t}
\normalsize
\end{center}
}}
\end{center}
\end{figure}

%\partie{M\'ethode de Newton}

\qst{Calcul explicite}
On veut utiliser la m\'ethode de Newton pour calculer, \`a la main, une
approximation d\'ecimale du nombre $\sqrt{2}$. Pour ça, on prend la
fonction $f(x)=x^2-2$ (remarquez que $\sqrt{2}$ est bien un z\'ero de
$f$~!), et on part de $x_0=1$.


\sq{} Tracer la fonction $f$, repr\'esenter graphiquement les nombres $x_0$,
$x_1$, $x_2$ et $x_3$. Calculer, \`a la main, les nombres $x_1$, $x_2$ et
$x_3$ sous forme de fraction. 

\sq{} Sachant que le d\'ebut du d\'eveloppement d\'ecimal de $\sqrt{2}$ est~:
$$
1.414213562
$$
dire, pour $x_3$, combien on a
trouv\'e de ``bonnes'' d\'ecimales.

\sq[Autres choix d'approximation initiale]
On consid\`ere toujours la fonction  $f(x)=x^2-2$.
 Que se passe-t-il si on part d'une autre valeur que $1$ pour $x_0$~?
D\'ecrire, en fonction du choix de $x_0$ dans $\bbR$, le comportement de
 la m\'ethode de Newton (ne pas oublier les  cas particuliers !).
Pour le z\'ero $\sqrt{2}$ de cette fonction $f$, comment pr\'eciserait-on
la notion de ``premi\`ere bonne approximation'' dont parle l'encadr\'e~?


\qst{Preuve}
  Dans le cas  pr\'ec\'edent ($f=x^2-2$ et $x_0=1$), prouver que
la suite $(x_n)$ d\'efinie par la m\'ethode de Newton converge vers $\sqrt{2}$.



\partie{Partie optionnelle : comparaison avec la dichotomie}

\begin{figure}[hp]
\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.9\textwidth}{
\centerline{\bf La m\'ethode par dichotomie}
\small
Voici une description de la m\'ethode par dichotomie.

Soit $f$ une fonction de $\bbR$ dans $\bbR$, dont on connait le sens
de variation autour de $\alpha$~: par exemple, $f$ est n\'egative avant
$\alpha$ et positive apr\`es.
\begin{enumerate}
\item On commence par choisir un nombre
$x_0$ que l'on sait \^etre plus petit que le z\'ero $\alpha$ recherch\'e~;
\item  on choisit aussi un nombre $x_1$ plus grand que $\alpha$~;
\item on prend pour $x_2$ le milieu de l'intervalle $[x_0,x_1$]~:
$x_2$ d\'ecoupe cet intervalle en deux intervalles deux fois plus
petits, l'intervalle de gauche $[x_0x_2]$ et l'intervalle de droite
$[x_2x_1]$~;

\item le nombre $x_3$ est alors d\'etermin\'e de la mani\`ere suivante~:
 si
$\alpha$ est dans l'intervalle de gauche (autrement dit si
$f(x_2)>0)$,  alors on choisit pour 
$x_3$  le milieu de
cet intervalle~; sinon, on choisit le milieu de l'intervalle de droite.

\item et on recommence~: le nombre $x_3$ d\'ecoupe le nouvel intervalle
 en deux intervalles deux fois plus petits, et on choisit pour $x_4$
le milieu d'un de ces deux intervalles, selon la position de $\alpha$.

\item  \emph{et caetera...}

\end{enumerate}
}}
\normalsize
\end{center}
\end{figure}


\qst{Nouveau calcul explicite}
On cherche \`a nouveau une approximation de $\sqrt{2}$. Pour ça, on
va appliquer la m\'ethode par dichotomie (voir encadr\'e) avec $x_0=1$ et $x_1=2$.

\sq{} Montrer rapidement (mais rigoureusement) que $\sqrt{2} \in [x_0,x_1]$.

\sq{} Calculer les nombres $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$ sous forme de
fraction. Repr\'esenter-les sur un dessin.

\sq{} Dire, pour $x_5$, combien on a
trouv\'e de ``bonnes'' d\'ecimales.

\qst{Preuve}
 Dans le cas particulier pr\'ec\'edent ($f=x^2-2$ et $x_0=1$), prouver que
la suite $(x_n)$ d\'efinie par la m\'ethode de dichotomie converge vers $\sqrt{2}$.

\qst{Bilan}
Comparer les deux m\'ethodes sur cet exemple.





\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{compacite}
\nomficimprimable{compacite}
\FichierUnique\titrebookmark{Compacité}
%\duree{3h}
\Annee{2002}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2002/04/10}
\Titre{Compacité}
\Niveau{\DEUGii} 
\AnglePedagogique{\Decouverte}
\AnglesSecondaires{\Experimental}
\Theme{\Topologie}
\ThemesSecondaires{Compacit\'e}

\Objectif{
Faire comprendre aux élèves un des intér\^ets de la notion de
compacité pour les parties du plan
(dans la version ``fermé-borné'')~; faire appliquer le théorème sur les
fonctions continues sur les compacts dans un cadre géométrique, et
voir la nécessité de l'hypothèse de compacité.
On suppose que les étudiants connaissent cette définition des compacts,
ainsi que le théorème.
}



\begin{exo}
On se place dans le plan $\bbR^2$.
On note  $\Delta$ l'axe des abscisses. Si $M=(x,y)$ est un point du
plan, on note $d(M, \Delta)$ la distance de $M$ à $\Delta$.

\qst{}
\sq
Donner une formule pour $d(M,\Delta)$.

\sq 
Soit maintenant $E$ une partie du plan. Comment définiriez-vous la
distance de $E$ à $\Delta$~? On la note $d(E,\Delta)$.

\sq 
Trouvez un exemple d'ensemble $E$ disjoint de $\Delta$, mais vérifiant
pourtant $d(E,\Delta)=0$.

\sq Probablement, l'exemple que vous avez trouvé n'est pas un ensemble
fermé. Trouvez un autre exemple qui soit de plus un ensemble fermé.

\sq Montrer que \emph{si $E$ est compact}, alors le paradoxe précédent
ne peut pas arriver : autrement dit, montrer que tout ensemble compact
disjoint de $\Delta$ vérifie $d(E,\Delta) > 0)$.


\qst{}
Y a-t-il toujours un point $M$ de $E$ qui ``réalise la distance à
$\Delta$'', c'est-à-dire tel que $d(M,\Delta)=d(E,\Delta)$~?
Trouvez des contre-exemples~; montrez que la réponse est affirmative 
si $E$ est compact.


\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{fractales}
\nomficimprimable{fractales}
\FichierUnique\titrebookmark{Construction de fractales g\'eom\'etriques}
\Annee{2004}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{Fran\c{c}ois \textsc{B\'eguin}}
\Date{2004/10/30}
\Titre{Construction de fractales g\'eom\'etriques}
\Niveau{\DEUGii} 
\NiveauxSecondaires{\Licence}

\AnglePedagogique{\Decouverte} 
\AnglesSecondaires{\Ludique,\Experimental} 

\Theme{\Fractales} 
\ThemesSecondaires{\Suites,\Topologie,\Ensembles,\AlgLin,\GeomEucl,\Complexes,\Groupes,\Equadifs} 

\Objectif{Voir plus bas...}

\begin{exo}
Ceci n'est pas \`a proprement parler un exercice, mais un ensemble d'exercices qui ont \'et\'e  utilis\'es dans le cadre d'un stage ``de transition DEUG-Licence'' (oups, je veux dire ``de transition L2-L3'').

Nous avons pris pour pr\'etexte la construction d'une famille d'ensembles  fractals dans le plan, les ensembles-limite des \emph{syst\`emes de fonctions it\'er\'es} ou \emph{IFS}.
Il s'agit d'un proc\'ed\'e g\'en\'eral qui permet de construire une infinit\'e de fractales, dont les fractales g\'eom\'etriques classiques (flocon de neige, tapis ou triangle de Sierpinski,
ensemble de cantor, foug\`ere, arbre, \'eponge de Menger...).

On peut se faire rapidement une id\'ee du contenu du stage en visitant \href{http://classes.yale.edu/Fractals/}{ce tr\`es joli site} (regarder notamment les rubriques 1.E et 1.F, ``Iterated functions systems'' et ``Inverse problems'').


Pour un math\'ematicien professionnel, le fractal est obtenu facilement comme point fixe d'un proc\'ed\'e contractant dans un espace m\'etrique complet (en l'occurrence, il s'agit de l'espace des compacts du plan, muni de la distance de Hausdorff).
Pour les \'etudiants, nous avons pass\'e deux semaines \`a introduire le proc\'ed\'e, 
\`a prouver l'existence d'un ensemble-limite ``\`a la main'', puis  \`a montrer l'unicit\'e de l'ensemble-limite (qu'on parte d'un clown ou d'un triangle, on converge vers le triangle de Sierpinski, voir par exemple notre feuille II.2).




\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.9\textwidth}{
Voici le point important~: \emph{toutes les activit\'es techniques \'etaient motiv\'ees par notre histoire de fractales}. La motivation principale \'etait de donner un sens aux ensembles-limite qu'on voit appara\^itre quand on it\`ere un certain proc\'ed\'e.
On esp\`ere que ce point de vue aide \`a donner un sens aux manipulations abstraites d'objets formels, sans lesquelles on ne peut pas faire de maths.
}}\end{center}

Cette histoire permet de manipuler un certain nombre de techniques~:
\begin{itemize}
\item de la th\'eorie des ensembles, par exemple des unions et intersections infinies
(feuille I notamment)~;
\item des applications lin\'eaires du plan de mani\`ere tr\`es visuelle, un exemple de d\'ecomposition simple motiv\'ee par des logiciels java (feuille II)~;
\item les propri\'et\'es des similitudes (feuille II)~;
\item des nombres complexes (pratiques pour d\'ecrire et d\'emontrer des propri\'et\'es des similitudes, feuilles II et IV)~;
\item de la topologie, la notion de limite, un exemple d'espace m\'etrique naturel mais tr\`es diff\'erent des espaces euclidiens, les notions de bases ~: ouverts, ferm\'es, adh\'erence...(feuilles III et IV)~;
\item une suite r\'eelle d\'efinie par r\'ecurrence \`a l'aide d'une fonction contractante, comme exemple simple analogue \`a notre proc\'ed\'e de construction de fractales (feuille IV.2)~;
\item une introduction au th\'eor\`eme du point fixe contractant~;
\item des \'equations diff\'erentielles, et comment un proc\'ed\'e contractant permet de d\'emontrer l'existence et l'unicit\'e des solutions sur des exemples (feuille IV.5), ce qui donne une introduction \`a la preuve du th\'eor\`eme de Cauchy-Lipschitz~;
\item les paradoxes de l'infini, et la notion de d\'enombrabilit\'e (\`a travers l'histoire de l'Hotel de Hilbert, feuille V).
\end{itemize}
Le ``quizz'' donn\'e \`a la fin du stage donne une id\'ee de quelques points techniques pr\'ecis qui ont \'et\'e abord\'es.

Les 60 pages distribu\'ees aux \'etudiants au cours du stage sont disponibles 
\href{http://matexo.emath.fr/exemaalt/stage-fractales/index.html}{ici}.

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\nomfic{graphes-deux-variables}
\nomficimprimable{graphes-deux-variables}
\titrebookmark{Graphes et lignes de niveau des fonctions de deux variables}
\nouveau
\Annee{2007}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{}
\Date{2007/01/15}
\Titre{Graphes et lignes de niveau des fonctions de deux variables}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{}

\AnglePedagogique{\Decouverte} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{\Visualisation} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\FonctionsPlusieursVars} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{} 

\Objectif{Cet exercice peut servir d'introduction aux fonctions de plusieurs variables, et notamment \`a leurs repr\'esentations graphiques sous forme de graphe et de lignes de niveaux (\emph{avant} tout cours sur le sujet). Il devrait aider les \'etudiants \`a se forger une image mentale de ce qu'est une fonction de deux variables.}

\begin{exo}

\partie{La presqu'\^ile}

Les trois dessins ci-dessous repr\'esentent des vues en relief d'une presqu'\^ile, avec le plan du niveau de la mer. Les vues sont orient\'ees respectivement vers le Nord, l'Ouest, et le Sud. On a repr\'esent\'e les lignes de niveaux d'altitude 0m, 25m, 50m, \emph{etc.}
(le sommet est situ\'e \`a une altitude d'environ 250m).

%\hspace{-0.5cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{preskil2-S.eps}
\includegraphics[width=7cm]{preskil2-N.eps}
\includegraphics[width=7cm]{preskil2-E.eps}
\end{center}

%\hspace{-0.5cm}
%\begin{center}
%\framebox{
%\hspace{-1cm}
%\includegraphics[width=8cm]{preskil2-N.eps}
%\hspace{-3cm}
%\includegraphics[width=8cm]{preskil2-E.eps}
%\hspace{-3cm}
%\includegraphics[width=8cm]{preskil2-S.eps}
%\hspace{-1.7cm}
%}
%%\hspace{-13.3cm}
%\end{center}

\qst{Lignes de niveau}

\sq Dessiner, en vue du dessus, l'allure de la ligne de niveau $0$
(ensemble des points de la presqu'\^ile situ\'es \`a l'altitude $0$).
On utilisera le cadre fourni.

\sq M\^eme question pour la ligne de niveau 100m, 
puis pour la ligne de niveau 200m (sur le m\^eme dessin).



\qst{Profils du relief}

\sq Dessiner le profil  du relief le long d'un itin\'eraire Sud-Nord passant par le sommet de la presqu'\^ile.

\sq M\^eme question pour un itin\'eraire passant au dessus de l'axe Nord-Sud repr\'esent\'e sur les dessins.
M\^eme question pour un itin\'eraire passant par le col de la presqu'\^ile.

\sq \footnotesize (optionnelle) \normalsize  Sur un autre dessin, repr\'esenter le profil  du relief le long d'un itin\'eraire Ouest-Est passant au dessus de l'axe Ouest-Est repr\'esent\'e.


%\newpage

\framebox{\parbox{0.9\textwidth}{
En fait, la surface dessin\'ee ci-dessus est le graphe de la fonction
de deux variables d\'efinie par
$$f(x,y)=-\frac{x^{3}}{3}-xy-y^{2}+x+\frac{3}{2}.$$


Ceci signifie :
 \begin{itemize}
\item qu'on a muni l'espace d'un rep\`ere orthonorm\'e $(Oxyz)$,
\item et qu'on a repr\'esent\'e \emph{l'ensemble des points $(x,y,z)$ de l'espace
tels que $z=f(x,y)$.}
\end{itemize}
L'axe $(Oz)$ est dirig\'e vers le haut, l'axe $(Ox)$ vers l'Est, et l'axe $(Oy)$ vers le Nord.
}}

\qst{} \sq \'Etiqueter les axes ('$x$', '$y$' ou '$z$') sur les  trois dessins de l'\'enonc\'e. \sq Tracer les axes sur les deux dessins des questions 1 et 2, et les \'etiqueter.


\qst{} \sq Sachant que $x$, $y$ et $z$ sont exprim\'es en centaines de m\`etres,
donner l'altitude du point de la presqu'\^ile d'abscisse $x=0$ et d'ordonn\'ee $y=0$.
\sq Positionner ce point sur chacun des dessins pr\'ec\'edents.
\sq \footnotesize (optionnelle) \normalsize M\^emes questions pour le point correspondant \`a $x=0$ et $y=1$.


\bigskip

\qst{} \sq La ligne de niveau $0$ dessin\'ee \`a la question~\textbf{1.a} 
est un ensemble de points dans le plan des variables $x$ et $y$.
 Quelle est l'\'equation de cet ensemble ? \sq Exprimez cette \'equation \`a l'aide de la fonction $f$. \sq M\^emes questions pour la ligne de niveau 100m.

\qst{} \sq Le  profil du relief au-dessus de l'axe Nord-Sud,  dessin\'e \`a la question
\textbf{2.b}, est un ensemble de points dans le plan des variables $y$ et $z$.  Quelle est l'\'equation de cet ensemble ?
 \sq Exprimez cette \'equation \`a l'aide de la fonction $f$. \sq
En d\'eduire  l'altitude du point culminant de cet itin\'eraire. V\'erifier graphiquement.
\normalsize


\partie{La selle de cheval}


\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm,]{x2-y2.eps}
\end{center}


Le dessin  montre
 le graphe de la fonction d\'efinie par $f(x,y) = x^2-y^2$. On a repr\'esent\'e les lignes de niveau d'altitudes enti\`eres ($0,1,2,...$).
 
 \qst{Lignes de niveau}

\sq Indiquer sur le dessin les trois  courbes correspondant  respectivement aux niveaux $-1$, $0$, $1$.


\sq Donner l'\'equation de la ligne de niveau $1$. En s'aidant du dessin fourni, repr\'esenter cette ligne de niveau (dans le plan des variables $x$ et $y$).

\sq M\^emes questions pour la ligne de niveau $0$. En exprimant $x$ en fonction de $y$, montrer par le calcul que cette ligne est la r\'eunion de deux droites.

\qst{Fonctions partielles}

\sq Donner l'expression de la fonction partielle $\varphi : x \mapsto f(x,0)$. Dessiner son graphe (dans le plan des variables $x$ et $z$). Repr\'esenter la courbe correspondante sur le dessin en trois dimensions.

\sq M\^emes questions pour la fonction partielle $\psi : y \mapsto f(-1,y)$. 




\newpage


\textbf{1.a et b}\centerline{\framebox{\parbox{0.9\textwidth}{
$$
%\left(
\begin{array}{lcr}
  & \mbox{Nord}  &   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
 \mbox{Ouest~\hspace{4.9cm}~} &  &  \mbox{~\hspace{4.9cm}~Est} \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
  &  \mbox{Sud}  &   
\end{array}
%\right)
$$
}}}

\bigskip
%\centerline{Nord}
%\vspace{3cm}
%Ouest \flushright{Est}
%\vspace{3cm}
%\centerline{Sud}

\textbf{2.a et b}\centerline{\framebox{\parbox{0.9\textwidth}{
$$
%\left(
\begin{array}{lcr}
  & \mbox{Haut}  &   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
 \mbox{Sud~\hspace{4.9cm}~} &  &  \mbox{~\hspace{4.9cm}~Nord} \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
  &  \mbox{Bas}  &   
\end{array}
%\right)
$$
}}}
\newpage












\end{exo}


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\nomfic{groupes_de_TD}
\nomficimprimable{groupes\_de\_TD}
\FichierUnique\titrebookmark{Groupes de TD, composantes connexes d'un graphe}
\Annee{2002}
\Titre{Groupes de TD, composantes connexes d'un graphe}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}

\Date{2002/12/04} % Format AAAA/MM/JJ. pour le 5 mars 2001: \Date{2001/03/05}

\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...

\AnglePedagogique{\Decouverte} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Ensembles} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{Relations d'equivalence, Graphes} %Eventuellement, les themes secondaires separes par des virgules

\Objectif{Cet exercice part d'un algorithme de parcours d'un graphe qui est donn\'e aux \'etudiants
sous forme d'un algorithme de cr\'eation de groupe de TD.

La premi\`ere question est volontairement d\'eroutante: un seul groupe suffit !
} % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}

Arwen, Bilbo, Celebrindal, Dunadan, Eowyn, Frodon, Galadriel, Hurin, Isil,
James Bond, Karine, Legolas, Morwen, Nimroth, Onomatopee, Peregrin, 
Quinine, Radagast, Silmarien, Thorin, Uinen, Voronwe, Wendy, Xerxes,
Yavanna et Zorglub sont inscrits en UD Maths et ont leurs propres opinions
sur les regroupements souhaitables en TD. Ils soumettent \`a l'administration 
la liste de leurs desiderata sous la forme suivante: (A,B), (A,F), (E,P),
(G,L), (G,R), (G,T), (C,H), (I,H), (M,H), (S,N), (U,V), (Y,V). Par exemple,
la pr\'esence de (A,B) dans la liste signifie que Arwen veut \^etre dans
le m\^eme groupe que Bilbo. 

\sq Quel est le nombre minimum de groupes de TD qui permet de satisfaire
tout le monde ? 

\sq On cherche plut\^ot \`a former des groupes nombreux et petits. 

\ssq Si $x$ est l'un des 26 \'etudiants ci-dessus, on note $f(x)$ l'ensemble
des \'etudiants qui figurent n\'ecessairement dans le m\^eme groupe que $x$
d'apr\`es la liste ci-dessus, soit parce que ils ont \'et\'e demand\'es
par $x$, soit parce qu'ils ont demand\'e $x$. Par exemple, 
$f(A) = \{B,F\}$ et $f(H) = \{C,I\}$. Ecrire tous les $f(x)$. 

\ssq Montrer que pour chaque \'etudiant isol\'e (c'est \`a dire tel que $f(x) = \emptyset$), 
on satisfait les demandes des \'etudiants en mettant $x$ tout seul dans un groupe,
et en mettant tous les autres ensemble. 

\sq On propose l'algorithme suivant de constitution du groupe de TD
d'un \'etudiant donn\'e $x_{0}$: 
\begin{quote}  
\texttt{groupe} $:= \{x_{0}\}$ \newline
$\underline{\text{r\'ep\'eter}}$ \newline
\hspace*{0.3cm} \texttt{delta} $:= \left(\underset{x \in\text{\texttt{groupe}}}{\cup} f(x)\right) - \text{\texttt{groupe}} \;;\;
\text{\texttt{groupe}} := \text{\texttt{groupe}} \cup \text{\texttt{delta}}$ \newline
$\underline{\text{jusqu'\`a ce que:}} \; \text{\texttt{delta}} = \emptyset$. 
\end{quote}

\ssq Executer l'algorithme sur Arwen. 

\ssq Que conclure ?

\sq Quel est le lien de cet exercice avec les relations d'\'equivalence ?

\end{exo}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{integration-d-equivalents}
\nomficimprimable{integration-d-equivalents}
\FichierUnique\titrebookmark{Int\'egration d'\'equivalents}
\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
%Faire un fichier par exercice. 
\Titre{Int\'egration d'\'equivalents}

\Date{2001/09/20} 
\Niveau{\DEUGii}

\NiveauxSecondaires{} 

\AnglePedagogique{\Decouverte}

\AnglesSecondaires{\Experimental}

\Theme{\Fonctions}

\ThemesSecondaires{\'Equivalents}

\Objectif{Manipulation d'\'equivalents, de la d\'efinition de la
limite, int\'egration d'in\'egalit\'es, le tout motiv\'e par un
probl\`eme ouvert. La r\'edaction ci-dessous est volontairement la
plus concise possible (destin\'ee \`a un travail en petits groupes,
sur une dur\'ee assez longue). Voici quelques pistes pour guider les
\'etudiants et \'eventuellement aller plus loin~:
\begin{itemize}
\item essayer sur des exemples~; ce qui am\`ene la question~: trouver
des fonctions simples \'equivalentes \`a $1/x$ (ce qui d\'ej\`a
peut am\`ener \`a revenir sur la d\'efinition du mot \'equivalent)~;
$1/x$, $1/x + 1/x^2$, $1/(x+10)$, $1/(x + ln(x))$  sont des bonnes
condidates~;

\item la conjecture la plus simple est sans doute ``$F$ tend vers
$+\infty$'', qu'il est d\'ej\`a int\'eressant de prouver~;

\item c'est l'occasion de rappeler la propri\'et\'e fondamentale de
positivit\'e de l'int\'egrale (en pratique, int\'egration des
in\'egalit\'es)~;

\item on peut ensuite montrer qu'en $+\infty$ la fonction $F$ est
coinc\'ee entre $\frac{1}{2}\mathrm{ln}$ et $\frac{3}{2}\mathrm{ln}$~;

\item puis prouver que $F \sim \mathrm{ln}$~;

\item on peut enfin s'attaquer \`a l'\'enonc\'e g\'en\'eral~: si $f$
est \'equivalente \`a une fonction $g$ positive dont l'int\'egrale est
divergente, alors les primitives de $f$ et de $g$ sont \'equivalentes.

\end{itemize}
\hspace{0cm}
}

\begin{exo}

Soit $f : \bbR^{*+} \rightarrow \bbR$ une fonction (suppos\'ee
continue pour pouvoir \^etre int\'egr\'ee), et $F$ une primitive de
$f$. On suppose qu'en $+\infty$, $f(x) \sim \frac{1}{x}$.

Que peut-on dire du comportement de $F$ en $+\infty$ ?

\paragraph{Pour aller plus loin.} Proposer une conjecture qui
g\'en\'eralise cette situation. Prouver la conjecture...

\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{carres-magiques}
\nomficimprimable{carres-magiques}
\FichierUnique\titrebookmark{Introduction \`a l'alg\`ebre lin\'eaire \deuxpoints  les carr\'es magiques d'ordre 3}
\Annee{2002}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Titre{Introduction \`a l'alg\`ebre lin\'eaire : les carr\'es magiques d'ordre 3}

\Date{2002/03/01}
\Niveau{\DEUGi}
\NiveauxSecondaires{} %Eventuellement, les niveaux secondaires separes par des virgules 

\AnglePedagogique{\Decouverte} 
\AnglesSecondaires{\Ludique}

\Theme{\AlgLin} 

\ThemesSecondaires{}

\Objectif{Cet exercice est destin\'e \`a \^etre pos\'e au tout d\'ebut du cours
  d'alg\`ebre lin\'eaire, voire avant le cours.  On tente d'introduire
  ``naturellement'' certaines des notions-cl\'es, comme la d\'efinition
  d'espaces vectoriels, les bases (et l'existence de bases distinctes),
  la notion de somme directe, les applications
  lin\'eaires... Remarquons que l'espace
  vectoriel des carr\'es magiques a un avantage (p\'edagogique) sur les
  espaces $\bbR^n$ ou sur l'espace des polyn\^omes~: il n'a pas de
  base canonique.

Cet exercice est fortement inspir\'e d'un devoir donn\'e \`a l'universit\'e de
Lille, que l'on trouve dans l'annexe~7 du texte de Marc Rogalski,
\emph{Un enseignement de l'alg\`ebre lin\'eaire en DEUG A premi\`ere ann\'ee},
  (cahier de DIDIREM 11, octobre 91). On lira d'ailleurs avec profit ce
  texte d'une trentaine de pages qui pr\'esente un enseignement pens\'e dans
  sa globalit\'e (``ing\'enieurie longue''),
 ce qui n'emp\`eche pas d'en extraire des petits morceaux...

Il s'agit d'une activit\'e de d\'ecouverte de nouvelles notions, et il est
difficile de r\'ediger un sujet sans interventions d'un professeur...
On a donc signal\'e par le symbole (*) tous les endroits qui n\'ecessite
quelques commentaires. Voici des commentaires sur ces commentaires, dans
l'ordre d'apparition du texte~:
\begin{enumerate}
\item On esp\`ere que les \'etudiants auront trouv\'e les carr\'es magiques constants, et
au moins un autre (on peut \'eventuellement faire int\'eragir tous les groupes
d'\'etudiants pour cela). Introduire ici la notion de somme, de produit
ext\'erieur (d'autres id\'ees peuvent apparaitre, \`a l'aide de sym\'etries par
exemple~: elles pourraient d\'eboucher sur l'id\'ee d'application lin\'eaire,
mais il vaut sans doute mieux les laisser tomber pour le moment...).
 Remarquer que l'on d\'efinit
des nouvelles op\'erations (tr\`es simples), sur l'ensemble des carr\'es
magiques $E$. Introduire le terme \emph{espace vectoriel}, si le cours
correspondant n'a pas d\'ej\`a \'et\'e fait. On peut aussi parler de \emph{combinaison lin\'eaire}.
Faire remarquer que l'on n'est pas s\^ur d'avoir trouv\'e tous les carr\'es magiques...
\item  La question n'est pas tr\`es facile \`a faire comprendre, et il faudra
peut-\^etre la reformuler~; on esp\`ere trouver des sch\'emas du type
$$
\begin{tabular}{|ccc|}
\hline
a & b & c \\
? &e&?\\
?&?&?\\
\hline
\end{tabular}
$$
ou bien
$$
\begin{tabular}{|ccc|}
\hline
a & b & ? \\
? &e&?\\
?&?&i\\
\hline
\end{tabular}
$$
\item Simple v\'erification des r\'esultats.

\item Idem.


\end{enumerate}









}

\begin{exo}
\emph{Quand vous rencontrez le symbole (*), appelez le professeur et
  expliquez-lui vos r\'esultats.}

 
\partie{D\'efinition, objectifs}
Dans cet exercice, on appellera \emph{carr\'e magique} un tableau carr\'e
contenant $9$ nombres r\'eels, tel que les sommes des nombres de chaque ligne, de chaque
colonne et des deux diagonales soient \'egales~:
$$
\begin{tabular}{|ccc|}
\hline
a & b & c \\
d&e&f\\
g&h&i \\
\hline
\end{tabular}
$$
avec
$$
\begin{array}{ccc}
a+b+c=S  &a+d+g=S & a+e+i=S \\ 
d+e+f=S &\dots &  c+e+g=S \\
g+h+i=S &\dots  
\end{array}
$$
o\`u le nombre $S$ s'appelle \emph{la somme} du carr\'e.
\footnote{Les amateurs de casse-t\^ete rajoutent d'autres types de
  conditions, ce qui change radicalement la nature du probl\`eme (et le
  rend bien plus difficile).}

Le but de l'exercice est de trouver \emph{tous} les carr\'es magiques.

\textbf{Sur le plan p\'edagogique, l'exercice est en quelque sorte un pr\'etexte pour introduire
 dans ce cadre certaines des notions-cl\'es de l'alg\`ebre lin\'eaire~: \emph{espaces
 vectoriels, bases, dimension, sommes directes, applications
 lin\'eaires}.
\footnote{Les notions introduites ici de mani\`ere un peu floue seront pr\'ecis\'ees en
cours.}}
 Notamment, on n'essaiera pas de r\'esoudre le probl\`eme de la
 mani\`ere la plus simple ou la plus courte, on tentera plut\^ot de bien
 comprendre les propri\'et\'es des objets \'etudi\'es.





Plus pr\'ecis\'ement, voici une strat\'egie possible~: le probl\`eme revient \`a r\'esoudre
un syst\`eme de 8 \'equations lin\'eaires \`a 10 inconnues, et on a des m\'ethodes
pour faire ça. Mais ça n'est pas tr\`es agr\'eable~: avec un peu d'astuce et
de r\'eflexion,
on va essayer de diminuer le nombre de calculs.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Fabrication de quelques carr\'es magiques}\label{par:fabrication}
\qst{Premiers exemples}
Trouvez des exemples de carr\'es magiques les plus simples possibles.
Essayez d'obtenir deux exemples ``les plus diff\'erents possibles''.

\qst{Machines \`a fabriquer de nouveaux exemples}\label{qst:machines}
Comment peut-on obtenir de nouveaux exemples \`a partir de carr\'es magiques connus~?
Essayez de trouver le plus possible de tels proc\'ed\'es.

(*)



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Une r\'eduction du probl\`eme}
\qst{D\'ecomposition} Montrer que tout carr\'e magique peut se d\'ecomposer comme somme d'un carr\'e
magique constant et d'un carr\'e magique de somme nulle. 

\qst{Unicit\'e} Montrer que cette d\'ecomposition est unique.

\qst{} V\'erifiez que ces deux sous-ensembles de carr\'es magiques sont
aussi des espaces vectoriels (on dit que ce sont des \emph{sous-espaces
  vectoriels} de l'espace vectoriel $E$ des carr\'es magiques).


On traduit les propri\'et\'es de cette partie
 en disant que \emph{l'espace vectoriel des
  carr\'es magiques est la somme directe du sous-espace form\'e des carr\'es
  de somme nulle et du sous-espace form\'e des carr\'es constants}.

En quoi ceci permet-il de simplifier le probl\`eme~? Formuler cette
simplification le plus pr\'ecis\'ement possible.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{R\'esolution}
On va chercher maintenant \`a d\'eterminer tous les carr\'es magiques de somme
nulle (r\'ep\'etons-le, en \'evitant de r\'esoudre un ``gros'' syst\`eme d'\'equations).

\qst{}
En pratique, quand on essaie de construire un carr\'e magique
 (de somme nulle), on commence
par remplir quelques cases par des valeurs arbitraires (il y a bien
s\^ur \'enorm\'ement de choix possibles), puis, au bout d'un moment, on n'a
plus du tout le choix~: la suite du remplissage du carr\'e est enti\`erement
d\'etermin\'ee par les valeurs choisies dans les premi\`eres cases.
Donnez un ou plusieurs exemples de remplissages de quelques cases du carr\'e qui
forcent ainsi toute la suite du remplissage du carr\'e.

(*)


\qst{}
Choisir l'un des sch\'emas trouv\'es \`a la question pr\'ec\'edente, et compl\'eter
dans le carr\'e les cases restantes en fonction des cases
pr\'es\'electionn\'ees.
 Obtient-on toujours ainsi un carr\'e magique de somme nulle~? Sinon, que
 faut-il rajouter~?

\qst{}\label{qst:bases}
\`A partir de la question pr\'ec\'edente, exprimer tous les carr\'es
 magiques de somme nulle \`a partir de quelques
carr\'es particuliers.

En d\'eduire l'ensemble de tous les carr\'es magiques, sous la m\^eme forme.

(*)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Encore quelques notions d'alg\`ebre lin\'eaires}
\qst{Bases et dimension}
\sq
Combien faut-il de coefficients, au minimum, pour exprimer l'ensemble
des carr\'es magiques~?
 
Ce ``nombre minimum de param\`etres \`a utiliser pour d\'ecrire un espace
vectoriel'' s'appelle la \emph{dimension} de l'espace vectoriel.
Donner de m\^eme la dimension du sous-espace vectoriel des carr\'es magiques constants,
puis celle des carr\'es magiques de somme nulle.

\sq 
 Les carr\'es magiques particuliers utilis\'es \`a la question~\ref{qst:bases} pour
d\'ecrire l'ensemble de tous les \'el\'ements de l'espace vectoriel forment
\emph{une base} de l'espace vectoriel (\`a condition toutefois qu'on en ait
pris le moins possible). 

Quel lien y a-t-il entre une base et la
dimension~? 

Un espace vectoriel peut-il avoir plusieurs bases
diff\'erentes~?

Voyez-vous des liens entre la somme directe et les bases~?

(*)

\partie{En guise de conclusion}
\emph{A quoi sert l'alg\`ebre lin\'eaire~?} Malheureusement, il n'y a pas de
r\'eponse simple au niveau DEUG~: en effet, la plupart des probl\`emes pour
lesquels on va utiliser l'alg\`ebre lin\'eaire peuvent aussi se r\'esoudre de
mani\`ere \'el\'ementaire, la plupart du temps en resolvant un syst\`eme
d'\'equations~; et ceci peut donner l'impression qu'on remplace des
calculs fastidieux mais simples par des arguments et des concepts tr\`es
compliqu\'es, tr\`es abstraits~: donc, l'utilit\'e en tant qu'\emph{outil}
n'est pas tr\`es claire (en DEUG en tout cas !)

On peut quand m\^eme faire sentir l'int\'er\^et de l'alg\`ebre lin\'eaire~:
celle-ci permet d'\emph{unifier} des probl\`emes et des situations a
priori tr\`es diff\'erentes, en donnant un cadre g\'en\'eral dans lequel ces
probl\`emes vont avoir le m\^eme aspect. Une telle d\'emarche s'appelle
\emph{la m\'ethode axiomatique}, et est fondamentale dans les
math\'ematiques r\'ecentes.

Plus pr\'ecis\'ement, on commence par 
remarquer que l'on sait additionner deux vecteurs de $\bbR^3$, ou deux
fonctions, ou deux polyn\^omes, ou deux suites de r\'eels (comment~?...), ou deux carr\'es
magiques~; et qu'on sait aussi multiplier chacun de ces objets par des r\'eels.

Puisque ces objets (diff\'erents) peuvent subir le m\^eme type
d'op\'eration, ayant les m\^emes propri\'et\'es formelles,
 les raisonnements ou les concepts qui utilisent uniquement ces
 op\'erations vont \^etre valables dans chacun des cinq cadres cit\'es. Par
 exemple, les notions de droite, de plan, de rep\`ere (on dira
 \emph{base}), que l'on connait d\'ej\`a dans $\bbR^3$, vont aussi \^etre valables
 pour des espaces de fonctions ou de polyn\^omes~! La propri\'et\'e qui dit
 que ``dans $\bbR^3$, deux plans ont toujours une droite en commun''
 deviendra ainsi ``dans tout espace vectoriel de dimension~3, deux
 sous-espaces vectoriel de dimension~2 ont toujours un sous-espaces de
 dimension~1 en commun'' et sera vraie quelle que soit la nature des
 \'el\'ements de l'espace vectoriel (fonctions, polyn\^omes, suites, carr\'es
 magiques ou autres~; et on pourra d'ailleurs la g\'en\'eraliser \`a des
 dimensions sup\'erieures).

 Ce point de vue donne \'egalement un support g\'eom\'etrique, et permet
de visualiser les objets~: dans l'exercice, l'ensemble des carr\'es
magiques s'av\`ere \^etre un espace vectoriel de dimension 3, ce qui
permettra d'y faire exactement les m\^emes op\'erations et les m\^eme
raisonnements que dans l'espace vectoriel $\bbR^3$, que l'on ``voit''
beaucoup mieux que l'espace des carr\'es magiques.

M\^eme si le DEUG n'en donne qu'un tout petit aperçu, la quantit\'e de
situations qui peuvent \^etre mod\'elis\'ees par l'alg\`ebre lin\'eaire est
immense, et va de questions purement math\'ematiques jusqu'\`a des probl\`emes
tr\`es concrets d'\'ecologie (dynamique des populations), de m\'et\'eorologie,
d'\'economie, de physique...

\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{groupes}
\nomficimprimable{groupes}
\FichierUnique\titrebookmark{Introduction \`a la notion d'axiome}
\Annee{2001}
\Auteur{Matthieu \textsc{Romagny}}
\Titre{Introduction \`a la notion d'axiome}

\Date{2001/09/26}

\Niveau{\DEUGi}

\AnglePedagogique{\Decouverte}

\AnglesSecondaires{\Historique,\Metamath,\Langage}

\Theme{\Groupes}
\ThemesSecondaires{\AlgLin}
\Objectif{Ce TD est plut\^ot con\c{c}u comme \'etant pr\'eparatoire \`a un cours,
de fa\c{c}on \`a amener le plus naturellement possible la notion d'axiome. Il
semble que le statut des axiomes d\'estabilise beaucoup les \'etudiants lorsqu'on
entame l'alg\`ebre lin\'eaire, d'autant plus qu'un espace vectoriel est une
superposition de plusieurs structures qu'on leur << parachute >> en une seule
d\'efinition... }

\begin{exo}
\partie{Exp\'eriences}
\newcommand{\ecart}[1]{\mathit{#1}}
\newcommand{\seconde}{\ecart{seconde}}
\newcommand{\tierce}{\ecart{tierce}}
\newcommand{\quarte}{\ecart{quarte}}
\newcommand{\quinte}{\ecart{quinte}}
\newcommand{\sixte}{\ecart{sixte}}
\newcommand{\septieme}{\ecart{septieme}}
\newcommand{\unisson}{\ecart{unisson}}

Les deux premi\`eres questions sont deux variantes du m\^eme probl\`eme math\'ematique.

\qst{Inspiration musicale} soit
${\cal G}=\{\,$do,r\'e,mi,fa,sol,la,si$\,\}$ la gamme musicale. On s'int\'eresse
aux intervalles (\'ecarts de notes): par exemple, la tierce --- en d\'epit de son
nom --- est un \'ecart de {\em deux} notes. Nous allons regarder la tierce comme
une application de ${\cal G}$ dans ${\cal G}$, qui << d\'ecale >> de deux notes,
et on la notera $\tierce$. Ainsi on a $\tierce(\mathrm{do})\,=\,\mathrm{mi}$.
Les autres intervalles de la gamme sont d\'esign\'es ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tabular}{l}
la $\seconde$~: \'ecart de 1 note \\
la $\tierce$~: \'ecart de 2 notes \\
la $\quarte$~: \'ecart de 3 notes \\
la $\quinte$~: \'ecart de 4 notes \\
la $\sixte$~:  \'ecart de 5 notes \\
la $\septieme$~: \'ecart de 6 notes \\
la $\unisson$~: un \'ecart de 0 note est parfois appel\'e {\em unisson}.
\end{tabular}
\end{center}

On ne tient pas compte de l'{\em octave}, \'ecart de 7 notes, c'est-à-dire qu'on consid\`ere
comme \'egales une note, et elle-m\^eme plus une octave.
On a obtenu un ensemble $G=\{\unisson,\seconde,\tierce,\quarte,\quinte,\sixte,\septieme\}$,
sous-ensemble de ${\cal F}({\cal G},{\cal G})$. On peut donc composer les \'el\'ements de $G$,
en tant qu'applications.

\sq Calculez $\tierce \circ \quarte$, $\quarte \circ \tierce$,
$\seconde \circ \septieme$, $\sixte \circ \quinte$.

\sq Montrez que quand on compose deux \'el\'ements de $G$, le r\'esultat est encore
un \'el\'ement de $G$. On dit que $G$ est {\em stable} pour l'op\'eration $\circ$.

\sq Si $x\in G$, on note $x^2$ pour $x\circ x$, $x^3$ pour $x\circ x\circ x$, etc.
Montrez que pour tout $x\in G$, on a $x^7\,=\,\unisson$.

\qst{Inspiration complexe} soit $H=\{\,e^{2ik\pi/7}\,|\,k\in {\bf Z}\,\}$.

\sq Montrez que ${\rm card}(H)=7$, et que $H$ est stable pour la multiplication.

\sq Montrez que $\forall z \in H,\quad z^7=1$.

\qst{Sym\'etries du pentagone r\'egulier}

Trouvez toutes les isom\'etries du plan qui laissent le pentagone r\'egulier invariant
(on admettra qu'il n'y en a que 10). Leur ensemble est not\'e $G$.

\sq Montrez que si on prend $s$ et $t$ deux telles isom\'etries, alors $s\circ t$
en est encore une.

\sq Montrez que $\forall s \in G, \quad s^{10}={\rm id}$.

\partie{<< Axiomatisation >>}

{\it
On remarque que les r\'esultats des exercices 1 et 2 se ressemblent. C'est là le
d\'ebut de la d\'emarche axiomatique: lors de d\'emonstrations (sur des cas particuliers)
mettant en jeu certains objets (dans nos exemples, les ensembles $G$ ou $H$), on essaie
d'identifier pr\'ecis\'ement quelles sont les propri\'et\'es essentielles qui << font que ça
marche >> . On formule ensuite une d\'efinition abstraite qui englobe le cas de nos
objets $G$ ou $H$, dans laquelle les propri\'et\'es n\'ecessaires sont appel\'ees {\em axiomes}.

Cette d\'emarche est au coeur des maths modernes - depuis le 19\`eme si\`ecle. Elle est
difficile car il n'est pas ais\'e d'identifier les propri\'et\'es en question, celles qui
seront << les bonnes >> pour le math\'ematicien. Par exemple, la notion de {\em groupe}
que nous pr\'esentons maintenant est n\'ee en presque un si\`ecle. Galois, dans les ann\'ees
1820, l'a pressentie via des ensembles de permutations (bijections d'un ensemble fini);
puis Cayley et d'autres ont \'etudi\'e des groupes vers 1880, sous l'aspect
d'automorphismes d'espaces lin\'eaires. Mais ce n'est qu'au d\'ebut du vingti\`eme si\`ecle
que la d\'efinition a \'et\'e formul\'ee une fois pour toutes, et fix\'ee telle que nous la
connaissons aujourd'hui.
}

\vspace{5mm}

En regardant les exercices pr\'ec\'edents on arrive à \'enoncer une d\'efinition:

\vspace{2mm}

\noindent {\bf D\'efinition:} {\it Un {\em groupe} est un ensemble $G$ avec une application
appel\'ee {\em loi de composition} et not\'ee
$$
\begin{array}{rccc}
*: & G\times G & \to & G \\
   & (g,h) & \mapsto & g*h
\end{array}
$$
tels que
\vspace{1mm}
\begin{flushleft}
\begin{tabular}[t]{ll}
(N) & il existe un \'el\'ement $e$ appel\'e {\em neutre} v\'erifiant
$\forall x \in G,\;e*x=x*e=x$. \\
& \\
(A) & la loi $*$ est {\em associative}, c'est-à-dire
$\forall (x,y,z)\in G^3,\;(x*y)*z=x*(y*z)$. \\
& \\
(I) & tout \'el\'ement de $G$ a un (unique) {\em inverse}:
$\forall x \in G,\;\exists y\in G,\;x*y=y*x=e$.
\end{tabular}
\end{flushleft}
}
\vspace{5mm}

\begin{center} ------------------------------  \end{center}

\vspace{2mm}

Presque tout le temps, l'inverse de $x$ est not\'e $x^{-1}$. De m\^eme on \'ecrit $x^2$
pour $x*x$, et $x^0$ d\'esigne le neutre $e$. On peut donc d\'efinir $x^i$ pour n'importe
quel entier $i\in {\bf Z}$.

\qst{Exemples}

Montrez que les ensembles des exercices 1 et 2, munis de leurs lois, sont des groupes.

\vspace{5mm}

D'autres exemples sont l'ensemble des r\'eels, muni de l'addition, ou l'ensemble ${\bf Z}$ des
entiers relatifs. Attention: ${\bf N}$ muni de l'addition n'est pas un groupe ! On voit sur
ces exemples qu'un groupe peut \^etre de cardinal fini, ou non.
On va maintenant, pour cet objet g\'en\'eral qu'est le {\em groupe}, d\'emontrer un r\'esultat
semblable à celui des exercices de d\'epart:

\vspace{4mm}
\fbox{ \begin{tabular}{c}
Soit $G$ un groupe fini à $n$ \'el\'ements ($n\ge 1$). Alors, pour tout $x\in G$, on a $x^n=e$.
\end{tabular}
}

\partie{D\'emonstrations}

\qst{un cas simple}

Dans cet exercice on suppose de plus que le groupe est {\em commutatif}, c'est-à-dire que l'on suppose
$$
\forall (x,y)\in G,\;x*y=y*x\;.
$$

\vspace{2mm}

\sq Soit $x\in G$ fix\'e. Montrez que l'application $f_x:G\to G$ telle que
$f_x(g)=g*x$, est une bijection. Donnez sa bijection r\'eciproque.

\sq Expliquez pourquoi cela a un sens de parler du << produit >> $g_1*\dots*g_n$
de tous les \'el\'ements de $G$, dans n'importe quel ordre.

\sq Montrez que $g_1*\dots*g_n=(g_1x)*\dots*(g_nx)$. D\'eduisez-en que $x^n=e$.


\qst{cas g\'en\'eral}

Dans cet exercice on ne suppose plus que $G$ est commutatif (cf question pr\'ec\'edente).
Par ailleurs, pour all\'eger la notation, on d\'esormais $xy$ au lieu de $x*y$.

\sq En consid\'erant la suite $1,x,x^2,\dots$, montrez qu'il existe un entier
$l\ge 1$ tel que $x^l=e$.

\sq D\'esormais on choisit pour $l$ le plus petit de ces entiers.
Pour un \'el\'ement $g\in G$, on note
$$
C(g)=\,\{\,x^ig\,\}_{i\in {\bf Z}}\;.
$$

\vspace{2mm}

\sq Montrez que ${\rm card}(C(g))=l$ (utilisez la bijection
$f_g$ de l'exercice pr\'ec\'edent).

\sq Soit $g_1$ et $g_2$ dans $G$. Montrez qu'on a soit $C(g_1)\cap C(g_2)=\emptyset$,
soit $C(g_1)=C(g_2)$.

\sq Montrez qu'il existe un nombre fini $r$ d'\'el\'ements $g_1,\dots,g_r$
tels que
$$
G=C(g_1)\sqcup\dots\sqcup C(g_r)\qquad \mbox{($\sqcup$ est l'union disjointe)}.
$$

\sq En calculant les cardinaux des 2 ensembles de l'\'egalit\'e pr\'ec\'edente,
conclure que $x^n=e$.



\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{introduction-suites}
\nomficimprimable{introduction-suites}
\titrebookmark{Introduction \`a l'\'etude des suites de nombres}
\Annee{2002}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Titre{Introduction \`a l'\'etude des suites de nombres}

\Date{2004/05/01}
\Niveau{\DEUGi}
\NiveauxSecondaires{\DEUGii}
\AnglePedagogique{\Decouverte} 
\AnglesSecondaires{\Experimental,\Technique}

\Theme{\Suites} 

\ThemesSecondaires{Limites}

\Objectif{
La premi\`ere partie, sous forme de quizz, a pour but de faire prendre
conscience aux \'etudiants de la na\"{\i}vet\'e de leur repr\'esentation
des suites. Dans le m\^eme temps, elle permet de constituer un petit
r\'eservoir d'exemples de suites un peu plus compliqu\'ees que les suites
monotones du Lyc\'ee. On esp\`ere qu'apr\`es cette \'etude, les \'etudiants sont
``psychologiquement pr\'epar\'es'' \`a accepter la n\'ecessit\'e d'une d\'efinition formelle
de la limite. On leur demande alors de retrouver quelques d\'efinitions
(ce texte s'adressait \`a des \'etudiants ayant d\'ej\`a eu un cours sur les
limites de fonctions, AVANT le cours sur les suites). Apr\`es quoi, 
on leur demande de d\'emontrer quelques r\'esultats tr\`es simples \`a partir
de la d\'efinition de la limite. On propose ensuite des exercices
plus d\'elicats.

Dans le bilan qui suit, on a essay\'e de leur expliquer quelques aspects
des preuves avec ``$\epsilon$''. En particulier, on d\'emonte la partie
purement m\'ecanique, afin d'isoler les endroits o\`u il y a besoin d'une
vraie r\'eflexion. Et on tente de leur expliquer bri\`evement quelques-uns
des pi\`eges concernant les variables de la d\'emonstration. Les preuves
propos\'ees par les \'etudiants sont souvent incorrectes, par manque de
ma\^{\i}trise du langage math\'ematique~; et il est en g\'en\'eral tr\`es difficile
de leur expliquer ``en direct'' o\`u se situe leurs erreurs de raisonnement.
 On esp\`ere pouvoir utiliser ce texte comme une r\'ef\'erence pour ce genre
de situation. Bien entendu, le texte est tr\`es incomplet et
n\'ecessiterait de nombreuses am\'eliorations...

Il faut compter une s\'eance de deux heures pour le Quizz, une autre
pour les premier exemples simples. On peut ensuite faire le bilan,
puis leur proposer \'eventuellement de s'attaquer aux exercices plus compliqu\'es.}

\begin{exo}

\bigskip

\emph{Dans tout le texte, les suites consid\'er\'ees sont toutes  \`a valeurs r\'eelles.}

\partie{Testez votre intuition}\label{par:intuition-suite}

\qst{Dessins}
Dessiner l'allure des suites $\left(\frac{1}{n}\right)$, $\left(\frac{1}{2^n}\right)$, $\left(-\frac{1}{n}\right)$,
$\left((-1)^n\right)$, $\left(\frac{(-1)^n}{n}\right)$,
$\left((-1)^n.n\right)$, $\left(n\sin^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right)$.  

%\qst{Exemples}
%Donner...
%\begin{enumerate}
%\item ...un exemple de  suite \`a valeurs strictement positives qui
%tend vers $0$ ;
%\item ...un exemple de  suite \`a valeurs strictement n\'egatives qui
%tend vers $0$ ;
%\item ...un exemple de  suite  qui
%tend vers $0$ et qui prend une infinit\'e de valeurs n\'egatives ET une
%infinit\'e de valeurs positives.
%\end{enumerate}

\qst{Quizz}\label{qst:quizz-suites}
R\'epondre par VRAI ou FAUX (essayez de justifier vos r\'eponses par une preuve ou un contre-exemple\footnote{Pour 
les contre-exemples, on peut commencer par faire un dessin, avant d'essayer de trouver une formule explicite ou une
d\'efinition par r\'ecurrence.})~:

\sq\label{sq:suite-bornee} Si une suite est  born\'ee, alors elle admet une limite.

\sq  Si $(u_n)$ est une suite strictement positive et convergente,
alors $\lim(u_n) >0$.

\sq  Soit $(u_n)$ une suite qui tend vers $+\infty$. Alors cette suite
est croissante.
\sq\label{sq:suite-croissante}  Soit $(u_n)$ une suite qui
 tend vers $+\infty$. Alors cette suite
est croissante \`a partir d'un certain rang.
\sq Soit $(u_n)$ une suite \`a valeurs strictement positives et qui
tend vers $0$. Alors cette suite est d\'ecroissante \`a partir d'un
certain rang.

\sq Toute suite positive non born\'ee tend vers $+\infty$.

\sq Toute suite positive croissante tend vers $+\infty$.

\sq Toute suite positive croissante non born\'ee tend vers $+\infty$.

%\sq Tout nombre r\'eel est limite d'une suite de nombres rationnels.

\bigskip

\emph{Le but du ``quizz" ci-dessus \'etait de vous faire prendre consience du fait suivant : l'image mentale qu'on a d'une
``suite qui tend vers une limite $l$ (finie ou infinie)" est g\'en\'eralement trop simpliste. Dans de nombreux cas (suite qui
n'est pas monotone \`a partir d'un certain rang, par exemple), notre intuition devient trompeuse. C'est pour cette raison
qu'a \'et\'e introduite la d\'efinition  ``en $\varepsilon$"...}


\vspace{0.15cm}\centerline{\rule{4cm}{.4pt}}
%%%%%%%%%%%%
\partie{\`A propos des d\'efinitions ``en $\varepsilon$psilon''}

\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.8\textwidth}{
Pendant longtemps (jusqu'au XIX\`eme si\`ecle),
 les math\'ematiciens ont manipul\'e des suites et des
fonctions en se contentant de la d\'efinition intuitive de la
limite, sans rencontrer de probl\`eme particulier.
Puis, ils sont tomb\'es sur des propri\'et\'es  plus subtiles, o\`u l'intuition
  les a conduits \`a des contradictions. Ils ont
 alors commenc\'e \`a critiquer le manque de rigueur en Analyse (en
 comparant par exemple \`a d'autres domaines des math\'ematiques comme l'arithm\'etique),
 et ils ont ressenti le besoin de se donner des \textbf{d\'efinitions pr\'ecises}.

 Ceci n'a pas \'et\'e sans mal. En 1821, Cauchy (voir courte biographie \`a la fin de ce texte) propose  la d\'efinition
suivante~: ``\emph{Si les valeurs successivement attribu\'ees  \`a une variable s'approchent ind\'efiniment d'une valeur fixe, de
      mani\`ere \`a finir par en diff\'erer aussi peu que l'on voudra,
 alors cette derni\`ere est appel\'ee la limite de toutes les autres}''~;
 en 1835, De Morgan \'ecrit~:
 ``\emph{Laissez-moi rendre $x$ aussi petit que je veux, et je pourrai
 rendre $7+x$ aussi proche de $7$ que \emph{vous} voulez}''~;
 enfin, Weierstrass \'ecrit la d\'efinition moderne de la limite, avec les $\epsilon$s et les $\delta$s, entre 1840 et 1860. Une
des difficult\'es \'etait que les notions de variables et de fonctions n'\'etaient pas non plus clairement d\'efinies.

Ces d\'efinitions ont repr\'esent\'e \textbf{un progr\`es \'enorme}, puisqu'elles permettent de
savoir exactement de quoi on parle, et de distinguer avec certitude
 les propri\'et\'es vraies des propri\'et\'es fausses.

Mais il ne faut pas cacher que ces d\'efinitions ont aussi \textbf{un gros
d\'esavantage}~: elles sont difficiles \`a
comprendre, et surtout tr\`es difficiles \`a manipuler. Atteindre la
certitude a un prix~: il faut pour cela accepter de passer un certain
temps \`a se familiariser, progressivement, avec ces notions.

En particulier, les premiers exercices peuvent \^etre un peu
frustrants, puisqu'on a l'impression de se fatiguer beaucoup pour
d\'emontrer des  \'evidences. Il ne faut pas oublier que ce ne sont que
``des gammes'', et qu'il faut commencer par faire des gammes avant de
pouvoir jouer de la vraie musique...
}}
\end{center}

\textbf{Dans tous les exercices qui suivent, la r\`egle
du jeu est d'obtenir une r\'edaction la plus convainquante possible, en
utilisant chaque fois qu'il le faut la d\'efinition ``en $\epsilon$'' de
la limite.}

\vspace{0.15cm}\centerline{\rule{4cm}{.4pt}}

%%%%%%%%%%%%
\partie{Exercices simples avec le  formalisme en ``$\epsilon$''}

\qst{Pr\'eliminaires}
Donner la d\'efinition... 
\sq d'une suite~;
\sq de sa limite \'eventuelle\footnote{Si le cours n'a pas encore eu
lieu, inspirez-vous de la d\'efinition de la limite pour une fonction.}~;
\sq  d'une suite born\'ee~; d'une suite non born\'ee~;
\sq d'une suite croissante~;
\sq d'une suite croissante \`a partir d'un
certain rang.

\qst{Applications directes de la d\'efinition}
Montrer les propri\'et\'es suivantes~:
\sq La suite $(\sqrt n)$ tend vers $+\infty$.
\sq  Soit $(u_n)$ une suite qui tend vers $1$ ; alors cette suite est
strictement positive \`a partir d'un certain rang (traduire d'abord cette
phrase avec des quantificateurs).
\sq Si une suite admet une limite finie, alors elle est born\'ee.
\sq  Soit  $(u_n)$ une suite qui tend vers $0$. Alors
la suite $(u_{n+100})$ tend aussi vers $0$.
M\^eme chose pour  la suite $(u_{2n})$. {\textbf{Aide} pour
comprendre ce qu'est la suite $(u_{n+100})$~: prenez $u_n=1/n$,
\'ecrivez les premiers termes des suites $(u_{n+100})$, $(u_{2n})$, $(u_{n^2})$.}


\vspace{0.15cm}\centerline{\rule{4cm}{.4pt}}

%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Exercices plus difficiles}

\qst{Suites de rang pair et impair}
Soit  $(u_n)$ une suite telle que les deux suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ tendent vers $0$. Montrer que la suite  
$(u_n)$ tend aussi vers $0$. 

\medskip

\noindent \emph{Remarque.} Si ce r\'esultat vous para\^{\i}t \'evident, alors vous trouverez s\^urement \'egalement
\'evident l'\'enonc\'e suivant : Soit $(u_n)$ une suite telle que les sous-suites $(u_{2n})$, $(u_{3n})$, $(u_{4n})$,
$(u_{5n})$, ... tendent toutes  vers $0$ ; alors la suite $(u_n)$ tend vers $0$.  Pourtant ce dernier \'enonc\'e est FAUX !
(pensez \`a la suite $(u_n)$ qui vaut $1$ si $n$ est un nombre premier, et $0$ sinon). Comme quoi, les
$\epsilon$ et les $\eta$ sont parfois utiles... 

\qst{Crit\`ere s\'equentiel de la continuit\'e}
Soit $f$ une fonction de $\bbR$ dans $\bbR$. Montrer que $f$ est
continue en $0$ si et seulement si elle v\'erifie le \emph{crit\`ere
s\'equentiel de la continuit\'e~: pour toute suite $(u_n)$ convergeant
vers $0$, la suite $f(u_n)$ converge vers $f(0)$.} 

\qst{}
 Soit $f$ une fonction continue de $\bbR$ dans $\bbR$ qui admet une
limite finie $l$ en $+\infty$. Quel est le comportement (en $+\infty$)
de  la suite $(v_n)$ d\'efinie par :
$$v_n=\int_n^{n+5}f(t)dt \ \ \ \ \   ?  $$ 

\noindent \emph{Indication :} essayer de deviner la valeur de cette int\'egrale quand $n$ est tr\`es grand
(\`a l'aide d'un dessin), puis r\'ediger une preuve. 

\medskip

\noindent \emph{Remarque.} 
Si le r\'esultat ci-dessus ne vous parait pas n\'ecessiter de preuve, alors la convergence de la suite 
$$w_n=\int_n^{2n} f(t) dt$$ devrait \'egalement vous para\^{\i}tre \'evidente. Pourtant, essayez avec
$f(t)=\frac{1}{t}$ ; bien que $f(t)$ tende vers $0$ quand $t$ tend vers $+\infty$, vous verrez que la 
suite $w_n$ ne tend pas vers $0$, mais vers $\ln(2)$. Mieux : si on prend $f(t)=\frac{\sin(\ln(t))}{t}$ (qui tend
\'egalement vers $0$ quand $t$ tend $+\infty$), on peut v\'erifier que la suite $w_n$ ne converge pas (il existe une
sous-suite de $w_n$ qui tend vers $-\ln(2)$, et une sous-suite qui tend vers $\ln(2)$) ! Encore un cas o\`u les 
$\epsilon$ et les $\eta$ \'evitent de dire des b\^etises !

\qst{Suites d'entiers}
Donner la d\'efinition d'une suite stationnaire. Montrer qu'une suite d'entiers qui tend vers une limite finie est 
stationnaire.

%%%%%%%
\qst{Extraction}
On appelle \emph{suite extraite de la suite $(u_n)$} (ou
\emph{sous-suite de $(u_n)$}) ``n'importe quelle suite obtenue \`a partir
de $(u_n)$ en oubliant certains termes''.

\sq Transformez cette d\'efinition vague en une vraie d\'efinition.

\sq Choisissez une suite $(u_n)$ born\'ee non convergente (voir le
quizz, question~\ref{par:intuition-suite}.\ref{qst:quizz-suites}.\ref{sq:suite-bornee}). Trouvez une
suite extraite de $(u_n)$ qui est convergente. Trouvez une autre
 suite extraite de $(u_n)$ qui  converge vers une autre limite.

\sq Soit $(u_n)$ une suite qui tend vers $+\infty$. Montrer qu'il
existe une suite extraite de $(u_n)$ qui est
croissante. (\textbf{Indication :} commencez par relire le
quizz, question~\ref{par:intuition-suite}.\ref{qst:quizz-suites}.\ref{sq:suite-croissante}~; 
faites un dessin  d'un
contre-exemple \`a cette affirmation du quizz~; sur le dessin, comment
extraire une suite croissante~? Puis construire la suite extraite, par
r\'ecurrence, dans le cas g\'en\'eral.) 


%%%%%%
\qst{Vers l'id\'ee de ``valeurs d'adh\'erence''...}
\sq Existe-t-il une suite qui prend une infinit\'e de fois les valeurs $1$
et $2$ ?

\sq Existe-t-il une suite qui prend une infinit\'e de fois les valeurs $1$
et $2$ et $3$ ?

\sq Existe-t-il une suite qui prend une infinit\'e de fois 
la valeur $1$, ET une infinit\'e de fois la valeur $2$, ... ET ainsi de suite
pour CHAQUE entier positif $k$ ?

\sq Existe-t-il une suite $(u_n)$ \`a valeurs dans l'intervalle $[0,1]$ telle que
: pour tout r\'eel $x$ entre $0$ et $1$, la  suite $(u_n)$ s'approche
arbitrairement pr\`es de $x$, et \`a un rang arbitrairement grand~?
 (Commencer par traduire cette propri\'et\'e avec des ``$\epsilon$'').

%%%%%
%\qst{}
%A-t-on $0,999...=1$~?





\partie{Bilan~: d\'eboulonnage des preuves en `` $\epsilon$''}

\emph{Pendant la premi\`ere s\'eance sur les suites, vous avez r\'epondu au
``Quizz''. Le but \'etait de voir que l'\'etude des suites est pleine de
pi\`eges, certaines suites ayant un comportement compliqu\'e. Cette
complexit\'e a conduit les math\'ematiciens \`a adopter la d\'efinition de la
limite d'une suite ``en
$\epsilon$''. Pendant la deuxi\`eme s\'eance, vous avez \'ecrit certaines
d\'efinitions, puis essay\'e de d\'emontrer quelques propri\'et\'es simples \`a
l'aide de ces d\'efinitions.
Ce bilan contient les preuves des propri\'et\'es de la question 2 (a, b et
d). Mais surtout, on a tent\'e d'expliquer en d\'etail comment ces preuves
sont construites, de les ``d\'eboulonner''...}




Nous allons essayer de  comprendre quelques aspects des ``preuves avec
epsilons'' sur des exemples de propri\'et\'es simples. Au lieu de nous
contenter de donner des preuves de ces propri\'et\'es, nous allons 
  plut\^ot tenter \emph{une explication
de la mani\`ere dont on parvient \`a \'ecrire ces preuves}.
Avant de commencer, rappelons la r\`egle du jeu~:
\emph{toutes les propri\'et\'es doivent \^etre d\'emontr\'ees en revenant \`a la
d\'efinition ``en $\epsilon$'', rien ne doit \^etre consid\'er\'e comme \'evident}.

\subsection*{Premier exemple}
Montrons que la suite $(\sqrt{n})$ tend vers $+\infty$.

Y a-t-il vraiment quelquechose \`a montrer~?! Et bien oui, puisque on
a convenu de ne rien consid\'erer comme \'evident en ce qui concerne
les suites. Pour savoir ce qu'il y a \`a montrer, on r\'e\'ecrit la
question en utilisant la d\'efinition de la limite~:

\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.8\textwidth}{
\`A montrer~: la suite $(\sqrt{n})$ tend vers $+\infty$, c'est-\`a-dire
$$
\forall M \in \bbR, \exists n_0 \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a } \sqrt{n} \geq M.
$$
}}
\end{center}

Le fait d'avoir \'ecrit cette phrase nous donne des renseignements sur
ce que l'on doit faire. Puisque cette phrase commence par 
``$\forall M \in \bbR$...'', la d\'emonstration devrait commencer par 
la phrase ``Soit $M$ un r\'eel quelconque.''
La suite de la phrase est ``$\exists n_0 \in \bbN \mbox{ tel que
}$...'',
ce qui signifie qu'on va devoir \emph{fournir} un entier $n_0$, qui
devra v\'erifier la fin de la phrase~: ``$\forall n
\geq n_0,\mbox{ on a } \sqrt{n} \geq M$''.
On a ainsi un squelette de r\'edaction~:

\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.8\textwidth}{
Soit $M$ un r\'eel quelconque. 

D\'efinissons un entier $n_0$ de la mani\`ere suivante~: 
$$???$$

V\'erifions que $\forall n \geq n_0, \mbox{ on a }\sqrt{n} \geq M$~:
$$???$$
}}
\end{center}

Il reste \`a remplir les trous, c'est-\`a-dire surtout \`a trouver
comment d\'efinir $n_0$.
En regardant la fin, et en cherchant un peu, on voit que \c{c}a
devrait marcher si $n_0^2 \geq M$. On v\'erifie, ce qui revient \`a
\'ecrire la fin de la preuve~:

\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{\textwidth}{
\`A montrer~: la suite $(\sqrt{n})$ tend vers $+\infty$, c'est-\`a-dire 
$$
\forall M \in \bbR, \exists n_0 \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a } \sqrt{n} \geq M.
$$
%\vspace{0.15cm}
\centerline{\rule{4cm}{.2pt}}

\underline{Soit $M$ un r\'eel quelconque}. 

\underline{D\'efinissons un entier $n_0$} de la mani\`ere suivante~:

On choisit un entier $n_0$ plus grand que $M^2$ (par exemple le
premier entier sup\'erieur \`a $M^2$).

\underline{V\'erifions que $\forall n \geq n_0, \mbox{ on a }\sqrt{n} \geq
M$}~:

Soit $n \geq n_0$. Puisque $n_0 \geq M^2$, on a $n \geq n_0 \geq M^2$.
Donc $\sqrt{n} \geq M$.
%
%On a donc montr\'e ce que l'on voulait~:
%$$
%\forall M \in \bbR, \exists n_0 \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
%\geq n_0, \mbox{ on a } \sqrt{n} \geq M.
%$$
%Autrement dit, la suite $\sqrt{n}$ tend vers $+\infty$.
}}
\end{center}

\paragraph{Commentaires}~
%On a commenc\'e par ``Soit $M$ un r\'eel quelconque''~; 
%on aurait aussi pu \'ecrire~:
%
%Fixons... Donnons-nous... Choisissons... Consid\'erons
%un r\'eel $M$ quelconque.

1) On a d\'ecoup\'e la phrase \`a montrer en trois morceaux :
$$
\underbrace{\forall M \in \bbR}, \underbrace{\exists n_0 \in \bbN} \mbox{ tel que } \underbrace{\forall n
\geq n_0, \mbox{ on a } \sqrt{n} \geq M}.
$$
Chaque morceau correspond \`a une phrase du ``squelette de preuve'',
soulign\'ee dans la d\'emonstration. 

2) On doit montrer qu'une propri\'et\'e est valable pour tout $M$, c'est
   pourquoi, dans la d\'emonstration, on commence par se donner un r\'eel
   $M$ \emph{quelconque}~: le mot ``quelconque'' sert \`a rappeler qu'on
   n'a pas le droit de supposer quoi que ce soit qui restreigne la
   valeur de $M$. Par exemple, la preuve ne peut pas commencer par
   ``Soit $M=100$'', ni par ``Soit $M$ un r\'eel n\'egatif'' (bien s\^ur, par
   la suite, on pourrait s\'eparer l'\'etude en diff\'erents cas, \`a condition
   que l'ensemble des cas \'etudi\'es couvre bien toutes les valeurs
   possibles de $M$).



%2)  Dans la phrase ``Soit $M$ un r\'eel quelconque'', le mot
% ``quelconque'' sert \`a rappeler 
% qu'\emph{on n'a pas le choix du r\'eel $M$}~: la preuve ne
%peut pas commencer par  ``Soit $M=100$'', ou toute autre formulation
%qui restreint les valeurs de $M$ consid\'er\'ees. Et le proc\'ed\'e qui fournit
% l'entier $n_0$ doit marcher pour toutes les valeurs possibles de
%$M$
%(il n'y a pas de valeur de $n_0$ qui marche pour tout $M$, mais la
%fa\c{c}on de choisir $n_0$ en fonction de $M$ marche pour tout $M$).



 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Deuxi\`eme exemple}
Montrons que si  $(u_n)$ est une suite qui tend vers $1$, alors cette suite est
strictement positive \`a partir d'un certain rang.

L\`a encore, on traduit l'hypoth\`ese et le but avec des quantificateurs~:

\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.8\textwidth}{
Hypoth\`ese~: $(u_n)$ est une suite qui tend vers $1$, c'est-\`a-dire
$$
\forall \epsilon>0, \exists n_0  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a } 1-\epsilon < u_n < 1+\epsilon.
$$
\`A montrer~: $(u_n)$ est
strictement positive \`a partir d'un certain rang, c'est-\`a-dire
$$
 \exists n_0 \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a } u_n > 0.
$$
}}
\end{center}

 Cette fois-ci, la phrase \`a montrer commence par le quantificateur
 d'existence ($\exists n_0$); il va donc falloir fournir un entier $n_0$
 qui v\'erifie la propri\'et\'e voulue ($\forall n
\geq n_0, \mbox{ on a } u_n > 0$). Le squelette de la preuve devrait
 donc \^etre~:
\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.8\textwidth}{
D\'efinissons un entier $n_0$ de la mani\`ere suivante~: 
$$???$$
V\'erifions que $\forall n \geq n_0, \mbox{ on a } u_n>0$~:
$$???$$
}}
\end{center}
 D'autre part, l'hypoth\`ese commence par ``$\forall \epsilon>0, \exists
 n_0$''. Elle va donc nous fournir un entier $n_0$, \emph{\`a condition
 qu'on dise pour quelle valeur de $\epsilon$} on veut appliquer cette propri\'et\'e.

Il faut donc r\'efl\'echir un peu pour trouver une valeur int\'eressante de
$\epsilon$. La propri\'et\'e que l'hypoth\`ese va nous donner
est $ 1-\epsilon < u_n < 1+\epsilon$, celle que l'on voudrait obtenir
est $ u_n > 0$~: on voit que \c{c}a devrait marcher avec $\epsilon=1$.
 En effet, pour $\epsilon=1$, l'hypoth\`ese donne  $0 < u_n <2$, donc notamment $u_n
>0$ (l'autre in\'egalit\'e ne sert pas). On peut maintenant r\'ediger une
preuve.

\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{\textwidth}{
Hypoth\`ese~: $(u_n)$ est une suite qui tend vers $1$, c'est-\`a-dire
$$
\forall \epsilon>0, \exists n_0  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a } 1-\epsilon < u_n < 1+\epsilon.
$$
\`A montrer~: $(u_n)$ est
strictement positive \`a partir d'un certain rang, c'est-\`a-dire 
$$
 \exists n_0 \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a } u_n > 0.
$$
%\vspace{0.15cm}
\centerline{\rule{4cm}{.2pt}}


\underline{D\'efinissons un entier $n_0$} de la mani\`ere suivante.
On applique l'hypoth\`ese avec  $\epsilon=1$. L'hypoth\`ese nous fournit
alors un entier $n_0$ tel que  $\forall n \geq n_0, \mbox{ on a } 0 < u_n < 2$.

\underline{V\'erifions que $\forall n \geq n_0, \mbox{ on a }
u_n>0$}~:
c'est clair~!
}}
\end{center}


\paragraph{Commentaires}~

1) La premi\`ere phase de la d\'emarche consiste \`a \'ecrire le ``squelette de
preuve'', en fonction de la propri\'et\'e \`a montrer.
Avec un peu d'habitude, cette premi\`ere phase devient (en partie)
m\'ecanique, automatique. Apr\`es quoi, on peut commencer \`a r\'eflechir
(on sait maintenant ce qu'on cherche)~: dans le premier exemple, il
fallait penser \`a choisir $n_0$ plus grand que $M^2$~; dans le
deuxi\`eme, il fallait penser \`a choisir $\epsilon=1$. Enfin, on peut
r\'ediger la preuve, et v\'erifier en m\^eme temps que le choix (de $n_0$)
convient. Si ça ne marche pas, on essaie de voir ce qui coince, et on
essaie un autre choix... Dans la r\'edaction finale, l'endroit o\`u l'on a
vraiment fait preuve de r\'eflexion se r\'eduit \`a une petite phrase~!
Mais il s'agit de l'endroit le plus difficile de la preuve, l\`a o\`u il
faut un peu d'imagination (quand on lit une preuve, ce sont les
endroits o\`u l'on se dit~: << Mais pourquoi fait-il \c{c}a~? Pourquoi
choisit-il $n_0$ plus grand que $M^2$ ? Pourquoi prendre $\epsilon=1$
et pas $\epsilon=1997$ ? >> Une r\'eponse est~: << L\`a, il a
r\'efl\'echi ! On devrait voir plus loin pourquoi ça marche.>>).
 Personne n'a trouv\'e de m\'ethode pour arriver \`a faire des
maths sans avoir \`a r\'efl\'echir...


2) Dans chacun des deux exemples, on a \'ecrit une d\'efinition de
   limite. Dans le premier cas,  c'\'etait une
   propri\'et\'e \emph{\`a montrer}. On a vu que ceci conduisait \`a
   consid\'erer un r\'eel $M$ quelconque, sur lequel on n'avait aucun
   choix. Au contraire, dans le second cas, une d\'efinition de limite 
   apparaissait dans l'hypoth\`ese, autrement dit  il s'agissait d'une propri\'et\'e \emph{\`a
   utiliser}. On l'a alors utilis\'ee en  choisissant une valeur de
   $\epsilon$ (ici $\epsilon=1$).
Retenons cette diff\'erence~: pour \emph{montrer} une phrase commençant
   par $\forall a...$, on se donne un $a$ \emph{quelconque}~; tandis
   que pour l'utiliser,  \emph{on peut choisir} le r\'eel $a$.


%\pagebreak

\subsection*{Troisi\`eme exemple}
Montrons la propri\'et\'e suivante~:
Soit  $(u_n)$ une suite telle que les deux suites $(u_{2n})$ et
$(u_{2n+1})$ tendent vers $0$~; alors la suite   
$(u_n)$ tend aussi vers $0$. 

%(Les \'etoiles (*) renvoient aux commentaires qui suivent la preuve).

\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{\textwidth}{
Hypoth\`eses~: les suites
$(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$  tendent vers $0$, c'est-\`a-dire
$$
\forall \epsilon>0, \exists n_0  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a }   |u_{2n}| < \epsilon
$$
$$
\forall \epsilon>0, \exists n_0  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a }   |u_{2n+1}| < \epsilon.
$$
\`A montrer~: la suite $(u_n)$ tend vers $0$, c'est-\`a-dire
$$
\forall \epsilon>0, \exists n_0  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a }   |u_n| < \epsilon.
$$
\centerline{\rule{4cm}{.4pt}}
\underline{Soit $\epsilon$ un r\'eel strictement positif quelconque}.
On applique la premi\`ere hypoth\`ese avec ce m\^eme $\epsilon$~; ceci
nous fournit un entier que l'on note $n_1$, tel que $\forall n
\geq n_1, \mbox{ on a }   |u_{2n}| < \epsilon$ (appelons ceci la
propri\'et\'e P1). De m\^eme, en appliquant la 
deuxi\`eme hypoth\`ese, on obtient un entier $n_2$ tel que 
 $\forall n
\geq n_2, \mbox{ on a }   |u_{2n+1}| < \epsilon$ (propri\'et\'e P2).


\underline{D\'efinissons alors un entier $n_0$ de la mani\`ere
 suivante}~:
On choisit un entier $n_0$ plus grand que $2 n_1$ et $2 n_2+1$ (par
exemple, $n_0=\max(2n_1, 2n_2+1)$.


\underline{V\'erifions que $\forall n \geq n_0, \mbox{ on a } |u_n|
\leq \epsilon$}.

Soit $n \geq n_0$. On consid\`ere deux cas.

-- Ou bien $n$ est pair, et on \'ecrit $n=2n'$ (et donc $u_n=u_{2n'}$).
Alors $n=2n' \geq n_0 \geq 2n_1$, donc $n' \geq n_1$.
D'apr\`es la propri\'et\'e P1, on a alors
$$|u_n|=|u_{2n'}| < \epsilon.$$

-- Ou  bien $n$ est impair, et on \'ecrit $n=2n'+1$. On a $2n'+1 \geq
   n_0 \geq 2n_2+1$, donc $n' \geq n_2$.
   On voit gr\^ace \`a la propri\'et\'e P2 que
$$
|u_n| < \epsilon.
$$

Dans tous les cas, on a $|u_n| < \epsilon$, ce que l'on voulait.
}}
\end{center}


\paragraph{Commentaires}~

1)  Les entiers ``$n_0$''  fournis par les deux hypoth\`eses n'ont
    aucune raison d'\^etre \'egaux~: un entier $n_0$ qui marche pour
    la premi\`ere peut tr\`es bien ne pas marcher pour la deuxi\`eme.
 C'est pourquoi, dans la d\'emontration, on doit choisir deux
    notations diff\'erentes (ici, on a choisi $n_1$ et $n_2$).
Dans la preuve, on \emph{ne peut pas} \'ecrire~:
\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.8\textwidth}{
On applique les deux hypoth\`eses~; ceci
nous fournit un entier $n_0$ tel que  $\forall n
\geq n_0, \mbox{ on a }   |u_{2n}| < \epsilon \mbox{ et }|u_{2n+1}| < \epsilon$.
}}\end{center}

De m\^eme, l'entier $n_0$ qui appara\^{\i}t dans la phrase \`a montrer (celui
    que l'on cherche) est encore diff\'erent. Pour \^etre s\^ur de ne pas
    avoir de probl\`eme, on aurait pu choisir des notations diff\'erentes
    d\`es l'\'ecriture des hypoth\`eses et de la conclusion~:
\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.8\textwidth}{
Hypoth\`eses~: les suites
$(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$  tendent vers $0$, c'est-\`a-dire
$$
\forall \epsilon>0, \exists n_1  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_1, \mbox{ on a }   |u_{2n}| < \epsilon
$$
$$
\forall \epsilon >0, \exists n_2  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_2,  \mbox{ on a }   |u_{2n+1}| < \epsilon.
$$
\`A montrer~: la suite $(u_n)$ tend vers $0$, c'est-\`a-dire
$$
\forall \epsilon>0, \exists n_0  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a }   |u_n| < \epsilon.
$$
}}
\end{center}
On aurait aussi pu changer les notations des ``$\epsilon$''~: apr\`es
tout, on ne sait pas \textit{a priori} qu'on va choisir les m\^emes
valeurs dans les deux hypoth\`eses. Nous reviendrons sur ces probl\`eme
dans l'annexe~1.

%On a utilis\'e des notations diff\'erentes dans les deux hypoth\`eses~:
% $\epsilon_0, \epsilon_1$ et
%   $n_0, n_1$. En effet, on ne sait pas \textit{a priori} si on va
% appliquer les deux hypoth\`eses avec le m\^eme choix de $\epsilon$. Et
% surtout, les entiers $n_0$ et $n_1$ qui nous sont donn\'es par ces
% hypoth\`eses n'ont aucune raison d'\^etre \'egaux~: dans la suite de la
% preuve, on doit vraiment les distinguer, on ne peut pas les appeler
% tous les deux $n_0$.

2) Comme dans les deux premiers exemples, il y a un passage difficile,
   l\`a o\`u on d\'efinit $n_0$. Comment a-t-on trouv\'e qu'il fallait d\'efinir
   $n_0$ de cette façon ``bizarre''~? \`A vrai dire, quand j'ai \'ecrit
   cette preuve au brouillon, je n'ai pas
   trouv\'e la bonne d\'efinition de $n_0$ du premier coup~!
   On sent bien qu'il faut
   fabriquer $n_0$ \`a l'aide de $n_1$ et $n_2$~; alors j'ai commenc\'e par
   essayer de choisir simplement
   $n_0$ plus grand que $n_1$ et $n_2$. Et puis  j'ai regard\'e si
   j'arrivais \`a \'ecrire la
   fin de la preuve, ça a coinc\'e, et j'ai vu ce qu'il fallait faire
   pour que ça ne coince plus  (en r\'ealit\'e, mon deuxi\`eme essai n'\'etait
   pas bon non plus, le cas o\`u $n$ est impair ne marchait pas; mais la troisi\`eme
   fois \'etait la bonne)...

3) La v\'erification finale est une petite d\'emonstration \`a l'int\'erieur
de la grande
(``V\'erifions que $\forall n \geq n_0, \mbox{ on a } |u_n|
\leq \epsilon$''). On lui applique les m\^emes principes~: en
particulier, ce qu'on doit d\'emontrer commence par ``$\forall n \geq
n_0$''; par quelle phrase commence la petite d\'emonstration~?...
Pour une preuve plus longue, on peut avoir de cette
mani\`ere plusieurs morceaux de d\'emonstrations imbriqu\'es les uns dans
les autres, comme des poup\'ees Russes.








\subsection*{Avant de conclure, quelques mots sur les variables}
Dans les phrases \`a montrer, on \'ecrit~:
$$\forall M \in \bbR $$ 
Dans la d\'emonstration, on \'ecrit~:

\centerline{Soit $M$ un r\'eel quelconque.}
\noindent  Y a-t-il une diff\'erence profonde entre ces deux \'ecritures~? Apr\`es
tout, elles semblent dire exactement la m\^eme chose...

Il y a bien une diff\'erence, et elle concerne ce qu'on pourrait appeler
la ``dur\'ee de vie d'une variable''. Revenons sur le premier exemple.
Apr\`es qu'on ait \'ecrit ``Soit $M$
un r\'eel quelconque'', on va utiliser la variable $M$ pendant toute la
d\'emonstration~: le ``$M$'' que l'on d\'efinit est le m\^eme que celui qui
appara\^{\i}t \`a la derni\`ere ligne de la preuve.
Par contre, quand on a \'ecrit la d\'efinition de la
limite,
$$
\forall M \in \bbR, \exists n_0 \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a } \sqrt{n} \geq M
$$
la variable $M$ a une dur\'ee de vie tr\`es courte, elle n'existe que dans
cette petite phrase. De m\^eme, regardons les hypoth\`eses du
troisi\`eme exemple~:
\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.8\textwidth}{
$$
\forall \epsilon>0, \exists n_0  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a }   |u_{2n}| < \epsilon
$$
$$
\forall \epsilon>0, \exists n_0  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a }   |u_{2n+1}| < \epsilon.
$$
}}
\end{center}
Ces deux phrases sont ind\'ependantes, et chacune des variables n'existe
que dans sa propre phrase. En particulier, le ``$n_0$'' dans la
premi\`ere \emph{n'a rien \`a voir} avec celui de la deuxi\`eme (voir \`a ce
sujet le commentaire suivant ce troisi\`eme exemple).
On dit que les variables $\epsilon$, $n_0$ et $n$ de chaque phrase  sont
``li\'ees'' \`a la phrase (on dit aussi que ce sont des variables
``muettes'').

Revenons sur le troisi\`eme exemple. La variable $\epsilon$ existe \`a partir
de l'endroit o\`u elle est d\'efinie (au tout d\'ebut, ``Soit
$\epsilon$...''). La variable $n_0$ appara\^{\i}t un peu plus loin
(``D\'efinissons alors un entier $n_0$...''). Ces deux variables existent jusqu'\`a la fin de la
preuve. Le cas de la variable $n$ est plus int\'eressant. En effet,
elle appara\^{\i}t une premi\`ere fois \`a la deuxi\`eme ligne, et elle
``meurt'' presque imm\'ediatement (c'est la propri\'et\'e P1~: ``$\forall n
\geq n_1, \mbox{ on a }   |u_{2n}| < \epsilon$''). Elle fait \`a nouveau
une courte apparition \`a la ligne suivante (propri\'et\'e P2~: ``$\forall n
\geq n_2, \mbox{ on a }   |u_{2n+1}| < \epsilon$''). Enfin, elle renait une
derni\`ere fois pour la fin de la preuve (\`a partir de ``Soit $n \geq
n_2$''). Il est tr\`es important de comprendre que ces trois ``$n$''
sont compl\`etement ind\'ependants. Bien qu'on ait utilis\'e la m\^eme
notation, \emph{il faut consid\'erer que ce sont trois variables
distinctes}. On aurait d'ailleurs pu choisir trois notations
diff\'erentes, comme $n$, $n'$ et $n''$
(mais la lecture aurait \'et\'e moins agr\'eable, surtout que la notation
$n'$ est encore utilis\'ee plus bas \`a  deux endroits, qu'on aurait
d\^u transformer  en $n'''$ et $n''''$~!).

%la  variable $n$ encore plus tard (``Soit $n
%\geq n_2$...''). Toutes  Le cas de la variable $n'$ est plus int\'eressant~: en effet, le
%``$n'$'' qui appara\^{\i}t dans l'\'etude du cas o\`u $n$ est pair n'est
%pas le m\^eme que celui du cas impair. Autrement dit, cette variable
%nait et meurt deux fois au cours de la preuve. Attention, les
%``morts'' des variables ne sont jamais signal\'ees~: on aurait pu
%utiliser $n''$ dans le cas impair, pour bien montrer que cette
%variable n'est pas la m\^eme que dans le cas pair...

Pour ne pas s'embrouiller, il est fortement
recommand\'e d'annoncer la naissance de toutes les variables par une
expression du type
``Soit $M$ un r\'eel quelconque'', ``Consid\'erons un entier $n \geq
n_2$'',
``On se donne une droite $D$ du plan''... 
La seule exception concerne les phrases avec quantificateurs, dans
lesquelles les variables meurent toutes \`a la fin de la phrase.

Le statut des variables dans le langage math\'ematiques est compliqu\'e,
il faudrait plus de place pour aborder tous ses pi\`eges. Je vous
recommande fortement la lecture d'un texte de Fr\'ed\'eric Pham, \emph{``\c{C}a
d\'epend''}. Ce texte est disponible sur le Web~:

http://math1.unice.fr/~fpham/dep.pdf

Il fait aussi partie du livre \emph{Fonctions d'une ou deux
variables}, aux \'editions Dunod.




%plus variables locales et globales. Analogie informatique. cf $n$ est presque partout locale
%(muette), sauf \`a la fin des preuves. Diff\'erence ``$\forall n$'' ($n$ reste
%muette, elle n'a pas d'existence en dehors du petit morceau de phrase
%qui suit),
%et ``Soit $n \in \bbN$'' (on a d\'efini un $n$ valable globalement, $n$
%va exister dans tout un paragraphe, voir dans toute la fin de la
%preuve; la ``mort'' de la variable $n$ est en g\'en\'eral implicite~: cf
%la variable $n'$ \`a la fin de la preuve pcdte, qui vit et meurt deux fois.).
%
%cf on applique (P1) \`a $n'$ et non pas $n$; ...
%
%Conclusion~: soyez de bons citoyens, d\'eclarez vos variables~!



\subsection*{Conclusion}
Les d\'emonstrations concernant les limites sont pleines de
pi\`eges. Certain de ces pi\`eges peuvent \^etre \'evit\'es en suivant la
m\'ethode propos\'ee, notamment~:
\textbf{
\begin{itemize}
\item \'ecrire les phrases avec quantificateurs correspondant aux
hypoth\`eses et \`a la conclusion~;
\item \'ecrire toutes les phrases (en français) correspondant au
``squelette'' de la d\'emonstration~;
\item \`a chaque fois qu'une variable appara\^{\i}t dans la preuve, 
\begin{itemize}
\item ou bien  elle a \'et\'e introduite par l'un des deux quantificateurs
``$\forall$'' et ``$\exists$'', et dans ce cas la variable est
``muette'', elle dispara\^{\i}t \`a la fin de la phrase~;
\item ou bien elle a \'et\'e introduite par une expression du type
``Soit $M$...'', ``Consid\'erons un r\'eel $M$...''.
\end{itemize}
\end{itemize}
}
Bien s\^ur, cette m\'ethode est assez lourde. Vous remarquerez qu'elle
est rarement totalement appliqu\'ee, m\^eme dans les livres.
De plus, il ne suffit pas de savoir utiliser la m\'ethode pour r\'esoudre
un exercice~: comme on l'a remarqu\'e, rien ne peut remplacer la
r\'eflexion. Mais la m\'ethode permet de cerner clairement ce qu'il y a \`a
trouver. 

\textbf{Conseil~:} tant que vous n'\^etes pas absolument s\^ur de ne
pas faire d'erreurs, appliquez la m\'ethode au pied de la lettre.
 Le principe
est toujours~: on peut se permettre de ne pas \'ecrire certains d\'etails,
\`a condition d'\^etre capable de les \'ecrire.

Quelle est la port\'ee de cette m\'ethode~?
 La m\'ethode ne s'applique pas \`a toutes les preuves. Par exemple,
   montrons que la suite $(\frac{1}{\sqrt{n}})$ tend vers $0$. On a
   d\'ej\`a montr\'e que la suite $(\sqrt{n})$ tend vers $+\infty$. On
   peut appliquer  le
   th\'eor\`eme du cours qui dit que si une suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$,
   alors la suite $\frac{1}{u_n}$ tend vers $0$, et c'est fini.
Autrement dit, la m\'ethode n'est pas tr\`es pertinente quand la preuve
 consiste principalement \`a appliquer un th\'eor\`eme. Avant de revenir \`a
 la d\'efinition ``en $\epsilon$'' (et d'appliquer la m\'ethode), il faut
 se demander si  il n'y a pas un argument plus simple.





\small
\paragraph{Exercice d'assimilation}
Pour bien assimiler les m\'ecanismes que nous venons de voir, il faut
les d\'emonter en \'etudiant le plus possible d'exemples.

Prendre un cours sur les limites des suites ou des fonctions.
Choisir une propri\'et\'e d\'emontr\'ee dans le cours,
o\`u on utilise une d\'efinition de la limite (par exemple, 
la propri\'et\'e de somme des limites~: si deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$
convergent respectivement vers $x$ et $y$, alors la suite $(x_n+y_n)$
converge vers $x+y$). 
Le but de l'exercice est de r\'e\'ecrire la preuve en faisant
appara\^{\i}tre sa structure, son squelette.

%\setcounter{sq}{0}
\sq L'hypoth\`ese et la conclusion ne sont peut-\^etre pas \'ecrites avec des
quantificateurs~: dans ce cas,  \'ecrivez-les.

\sq Rep\'erer le squelette de la preuve, par
exemple en soulignant les phrases-cl\'es comme dans les r\'edactions des
deux exemples que l'on vient de voir. Comme plus haut, chaque morceau de la phrase \`a
d\'emontrer doit avoir une contrepartie dans la preuve~: le ``$\forall
\epsilon >0$'' doit correspondre \`a quelquechose comme ``Soit $\epsilon >0$'';
si un morceau dit ``$\exists n_0$'', on doit retrouver dans la preuve
un endroit o\`u on d\'efinit un $n_0$...
Les phrases-cl\'es sont parfois absentes. Elles sont alors implicites~:
rep\'erer l'endroit o\`u il faudrait les rajouter.

\sq Rep\'erer aussi les endroits o\`u il
a fallu r\'efl\'echir. 

\sq D\'etecter les propri\'et\'es utilis\'ees, par exemple les
hypoth\`eses. Si on a utilis\'e une hypoth\`ese qui commence par ``$\forall
\epsilon...$'', \`a   quelle(s) valeur(s) de $\epsilon$ l'a-t-on appliqu\'ee~?  

\sq Rep\'erer enfin les endroits o\`u les variables ``naissent et
meurent'' (pour chaque variable, on peut faire un trait dans la marge
qui va de l'endroit o\`u elle appara\^{\i}t jusqu'\`a l'endroit o\`u elle
dispara\^{\i}t). Y a-t-il des variables distinctes qui sont not\'ees de
la m\^eme façon~?

\bigskip

 Refaire l'exercice avec d'autres exemples, des plus simples aux
plus compliqu\'es.

\normalsize

\partie{Quelques rep\`eres historiques pour finir.}



 \textbf{Augustin-Louis Cauchy} (Paris 1789 - Sceaux 1857)
est un  des math\'ematiciens dont les 
contributions ont le plus fait progresser les math\'ematiques. Son
``Cours d'Analyse" est un des textes fondateurs de l'analyse
moderne. Cauchy y propose les premi\`eres \'ebauches des d\'efinitions
modernes des notions de
\emph{fonction}, de \emph{limite}, de \emph{continuit\'e}, etc. Cauchy
est aussi consid\'er\'e comme le fondateur de l'\emph{analyse
complexe}. Il contribua
\'egalement de mani\`ere fondamentale \`a l'\'etude d'objets aussi
divers que les \emph{\'equations diff\'erentielles}, les 
\emph{permutations d'ensembles finis}, les \emph{poly\`edres},
etc. Il fut professeur au Coll\`ege de 
France, \`a la Sorbonne et \`a l'\'Ecole polytechnique, mais les
\'ev\`enements politiques (r\'evolution de Juillet en 1830, coup
d'\'Etat de Napol\'eon III en 1852) l'oblig\`erent n\'eanmoins \`a
s'exiler \`a plusieurs reprises, pendant de
longues p\'eriode (en Italie notamment).
 Avant de se consacrer aux math\'ematiques, Cauchy
fut ing\'enieur des Ponts et Chauss\'es et dirigea la construction du
port de Cherbourg (\`a 21 ans...).

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{Cauchy_4.ps}
\end{center}

\medskip

\noindent \textbf{Augustus De Morgan} (Madras 1806 - Londres 1871) est
surtout connu pour avoir formalis\'e et 
clarifi\'e la notion de \emph{raisonnement par r\'ecurrence}.

\medskip

\noindent \textbf{Karl Theodor Wilhelm Weierstrass} (Ostenfelde 1815 -
Berlin 1897) commen\c ca sa 
carri\`ere comme instituteur, avant de devenir un des tr\`es grand
math\'ematiciens du XIXeme si\`ecle. Ses travaux poursuivent l'effort
de rigueur initi\'e par Cauchy.
. Ainsi, c'est Weierstrass qui
(s'appuyant sur les travaux de Cauchy) propose ce qui constitue les
d\'efinitions modernes de \emph{limite d'un suite}, ou de
\emph{continuit\'e d'une fonction}. Ce sont \'egalement les travaux de
Weierstrass qui pr\'eciseront aussi le statut des nombres
irrationnels, notion encore vague depuis la d\'ecouverte de ces
derniers par les Pythagoriciens (disciples de Pythagore). Enfin, l'\oe
uvre majeure de Weierstrass est certainement le d\'eveloppement de la
th\'eorie des \emph{fonctions analytiques} ou
\emph{fonctions d\'eveloppables en s\'eries enti\`eres} : une fonction
est d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere si elle est limite 
(en un sens \`a pr\'eciser)  de ses
d\'eveloppements de Taylor \`a l'ordre $n$.

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{Weierstrass.ps}
\end{center}

\end{exo}



















%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{courbes-parametrees}
\nomficimprimable{courbes-parametrees}
\FichierUnique\titrebookmark{Introduction aux courbes param\'etr\'ees du plan}
%\duree{3h}
\Annee{2002}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2002/04/10}
\Titre{Introduction aux courbes param\'etr\'ees du plan}
\Niveau{\DEUGii} 
\AnglePedagogique{\Decouverte}

\Theme{\GeometrieDiff}
\ThemesSecondaires{Courbes param\'etr\'ees}

\Objectif{Cet exercice propose une introduction aux propri\'et\'es
g\'eom\'etriques des courbes param\'etr\'ees du plan. On suppose ici que les
\'etudiants n'ont eu aucun cours sur le sujet.

En g\'en\'eral, un cours de maths commence par la donn\'ee des d\'efinitions
des objets que l'on va \'etudier. Cette mani\`ere de faire est \'evidemment
tr\`es \'economique, mais elle est aussi dangereuse, parce que d'un point
de vue historique, 
ces d\'efinitions sont en g\'en\'eral l'aboutissement d'un long processus de
pens\'ee (et certainement pas son commencement).

Pour que les \'etudiants aient une chance de comprendre le r\^ole des
d\'efinitions,
il faut, de temps en temps, prendre le temps d'inverser le proc\'ed\'e, en
les laissant d\'ecouvrir le plus possible par eux-m\^eme quelques
d\'efinitions.

Les notions de vitesse, longueur, acc\'el\'eration me semblent
particuli\`erement propices \`a ce travail, puisqu'il s'agit de notions
directement issues du monde physique, sur lesquelles chacun a une id\'ee
intuitive.

De plus, il y a un v\'eritable \emph{raisonnement} pour aboutir \`a la
d\'efinition de la longueur d'une courbe. Bien s\^ur, il ne s'agit pas
d'un raisonnement dans le langage habituel des maths (celui-ci ne peut arriver qu'apr\`es
que les objets aient \'et\'e formalis\'es), mais il s'agit bien d'un
type de raisonnement qui fait partie de l'activit\'e math\'ematique au
sens large. Le manque d'habitude de ce type de d\'emarche est d'ailleurs l'une des
difficult\'es rencontr\'ees par les \'etudiants :

``M'sieur, comment on peut justifier \emph{math\'ematiquement}
 que c'est ça la d\'efinition~??''

La r\'eponse est qu'on ne peut pas. Par contre, on peut le justifier
empiriquement, et aussi en confrontant la version math\'ematique de la
longueur \`a sa version intuitive, en v\'erifiant qu'on a bien les
propri\'et\'es attendues
(questions~\ref{qst:longueur}.\ref{sq:longueur-segment} et 
\ref{qst:longueur}.\ref{sq:plus-court}).

Bien s\^ur, ``inventer'' la d\'efinition de la longueur n'est pas un
exercice facile, la r\'esolution de la question~\ref{qst:longueur} peut
prendre une heure...}

\begin{exo}
On mod\'elise g\'en\'eralement la trajectoire d'un mobile par la notion de
\emph{courbe param\'etr\'ee}~: il s'agit simplement d'une application
(continue...) d'un intervalle de $\bbR$ (``le temps'') dans le plan
$\bbR^2$ ou l'espace $\bbR^3$.
Le but de cet exercice est de d\'efinir math\'ematiquement certaines
notions g\'eom\'etriques associ\'ees (vitesse, longueur, courbure), et de v\'erifier
que les d\'efinitions formelles se comportent de mani\`ere conforme \`a l'intuition.




\qst{Vitesse}
Soit $I$ un intervalle et $c : I \mapsto \bbR^2$ une courbe
param\'etr\'ee du plan.  On note, pour tout $t$ dans $I$, $c(t)=(x(t),y(t))$.
Comment d\'efiniriez-vous la \emph{vitesse} du mobile au temps
$t$~?

\qst{Longueur}\label{qst:longueur}
\sq
 Comment d\'efiniriez-vous la \emph{longueur} de la trajectoire du mobile~?

\sq\label{sq:longueur-segment}
Testez votre d\'efinition en calculant la longueur d'un segment, d'un
cercle de rayon $r$. Montrez en particulier que la longueur du
segment ne d\'epend pas de la vitesse \`a laquelle on le parcourt (et
qu'on trouve bien la m\^eme longueur, m\^eme si on le parcourt \`a une
vitesse qui n'est pas constante).

\sq[(optionnel) Le plus court chemin d'un point \`a un autre...]\label{sq:plus-court}
Montrer  formellement que toute courbe param\'etr\'ee, dans le plan, 
 reliant un point $A$ \`a un point $B$, est plus longue que le segment $[AB]$.

\textbf{Aides~:} pour simplifier, on peut supposer que $A=(0,0)$ et
 $B=(1,0)$. Comparez la longueur d'une courbe $c$ \`a celle de la courbe
 $c_0$ obtenue en projetant $c$ orthogonalement sur l'axe des $x$.

%\sq{Plus difficile} On peut aussi montrer qu'une courbe qui ne d\'ecrit
% pas le segment $[AB]$ est strictement plus longue que la longueur du segment.

\sq[(optionnel) Longueur d'une portion de graphe]
Soit $f:I \mapsto \bbR$ une fonction~; trouvez la formule donnant la
longueur du graphe de $f$. V\'erifiez la formule pour un arc de cercle.

\qst{Acc\'el\'eration}
\sq
 Comment d\'efiniriez-vous l'\emph{acc\'el\'eration} du mobile au temps
$t$~?
\sq Montrer le r\'esultat suivant~: si le mobile se d\'eplace \`a vitesse
constante, alors le vecteur acc\'el\'eration est perpendiculaire \`a la
courbe.

\qst{Courbure}
Soit $c$ une courbe param\'etr\'ee, de vitesse constante \'egale \`a $1$.
On d\'efinit la \emph{courbure} comme la longueur du vecteur
acc\'el\'eration. 

(Pour une courbe dont la vitesse n'est pas constante, on commence par
reparam\'etriser la courbe pour avoir une vitesse constante).

\sq Calculer la courbure d'un segment, puis d'un cercle de rayon
$r$. Intuitivement, quel lien y a-t-il entre la courbure et l'aspect de la courbe
en un point~?


\sq On voudrait montrer qu'en un point $c(t_0)$ o\`u la courbure n'est pas
nulle, ``la courbe est vraiment courbe'', au sens suivant~: 
\emph{pour tous temps $t_1$ et $t_2$ assez proches de $t_0$, les points
$c(t_0)$, $c(t_1)$, $c(t_2)$ ne sont pas align\'es.}

\textbf{Aides~:} On peut simplifier le probl\`eme en faisant un
changement de variable adapt\'e (= en choisissant un bon rep\`ere).
Trouver un \'equivalent (quand $t$ tend vers $t_0$)
 de la pente de la droite reliant un point $c(t)$
au point $c(t_0)$.

\vspace{0.15cm}\centerline{\rule{4cm}{.2pt}}

\begin{enonce2*}{Autre interpr\'etation g\'eom\'etrique}
Voyons une autre mani\`ere d'interpr\'eter g\'eom\'etriquement la courbure.

Commençons par nous souvenir de la tangente.
Soit $c$ une courbe param\'etr\'ee (parcourue \`a vitesse constante), $c(t_0)$ un point de la courbe. Notons
$\vec{v}(t_0)$ le vecteur vitesse au point $t_0$~; la tangente au
point $c(t_0)$ est la droite passant par ce point et dirig\'ee par le
vecteur $\vec{v}(t_0)$. On peut montrer que c'est aussi la droite
 ``qui approxime le mieux
la courbe au point $c(t_0)$''~: plus pr\'ecis\'ement, c'est la seule
droite du plan qui poss\`ede un param\'etrage $t \mapsto d(t)$ tel que
$$
d(d(t),c(t))=o(t).
$$
(la distance entre la droite et la courbe est n\'egligeable devant $t$).

Revenons maintenant \`a la courbure. Supposons que la courbure n'est pas nulle,
et notons $R(t_0)$ son inverse, qu'on appelle le \emph{rayon de
courbure}. Soit  ${\cal C}_{t_0}$ l'unique cercle 
tangent \`a la courbe $c$ au point $c(t_0)$,
 et de rayon  $R(t_0)$~; on l'appelle \emph{cercle osculateur}.
 On peut alors montrer que ce cercle est le cercle
qui ``approxime le mieux la courbe au point $c(t_0)$ parmi tous les
cercles tangents \`a la courbe en $c(t_0)$''~: c'est le seul
cercle du plan qui poss\`ede un param\'etrage $t \mapsto {\cal C}(t)$ tel que
$$
d({\cal C}(t),c(t))=o(t^2).
$$
On dit aussi que ce cercle est ``tangent \`a la courbe $c$ \`a l'ordre $2$''.
\end{enonce2*}

\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{applications-continues-non-derivables}
\nomficimprimable{applications-continues-non-derivables}
\titrebookmark{Une fonction continue mais d\'erivable nulle part}
\Annee{2002}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Titre{Une fonction continue mais d\'erivable nulle part}
\Date{2002/01/15}
\Niveau{\DEUGii}
\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\Decouverte} 
\Theme{\Series} 
\ThemesSecondaires{\Fonctions,Convergence uniforme,S\'eries de fonctions}

\Objectif{R\'efl\'echir sur les notions de continuit\'e et de
  d\'erivabilit\'e, et sur leur interpr\'etation g\'eom\'etrique~;
  construire une nouvelle fonction \`a l'aide d'une s\'erie de
  fonctions, visualiser cette s\'erie, \'etudier ses propri\'et\'es.

L'exercice est long, mais on peut n'en faire que la
partie~\ref{par:weierstrass}
(construction de la fonction de Weierstrass et preuve de la
continuit\'e, sans preuve de la non-d\'erivabilit\'e). Par contre, il me
semble que pour faire la partie~\ref{par:weierstrass-geometrique}, il
vaut mieux avoir fait les rappels de d\'erivabilit\'e de la
partie~\ref{par:pentes}.

Montrer que la fonction de Weierstrass n'est pas d\'erivable est assez
difficile, et n\'ecessite des estim\'ees pr\'ecises. Apr\`es avoir pr\'esent\'e
cette fonction, on en donne ici une variante, en remplaçant
le sinus par une fonction affine par morceaux. La preuve de la
non-d\'erivabilit\'e de cette nouvelle fonction repose alors sur des
consid\'erations plus g\'eom\'etriques~: la remarque cl\'e est
qu'on a choisi la s\'erie pour que les pentes de la somme partielle
$S_n$  (qui est affine par morceaux) sont minor\'ees, en valeurs
absolues, par un nombre $C_n$ qui tend vers l'infini (propri\'et\'e P1
ci-dessous). D'autre part, la
fonction limite $F$ co\"{\i}ncide avec $S_n$ sur tous les multiples de
$1/n$. Ceci permet d'encadrer tout nombre $x$ par deux nombres
$y_n$ et $y'_n$ en lesquels $F$ et $S_n$ co\"{\i}ncident, de mani\`ere \`a
ce que quand $n$ tend vers $+\infty$, ces points tendent vers
$x$. D'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, la pente entre $y_n$ et $y'_n$ doit
tendre vers $+\infty$, ce qui permet de conclure avec un petit
argument sur les pentes des droites
(voir~\ref{par:pentes}.\ref{qst:pentes}.\ref{sq:trois-pentes}).

La figure~\ref{fig:weiegeo2}\footnote{\`A ne montrer aux \'etudiants
 qu'apr\`es la question~\ref{qst:dessin}.} montre
 l'allure de quelques sommes partielles de la fonction $F$
 (partie~\ref{par:weierstrass-geometrique}). 
\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[height=6cm,angle=-90]{figures-weierstrass11.eps}
\caption{\label{fig:weiegeo2}
La fonction $F$.}
\end{center}
\end{figure}
} 

\begin{exo}
Le but de cet exercice est de construire une fonction  d\'efinie
sur l'intervalle $[0,1]$, \`a valeur dans $\bbR$, qui est continue, mais
qui n'est d\'erivable en
aucun point de l'intervalle.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Rappels pr\'eliminaires}\label{par:pentes}
\qst{Pentes des droites} \label{qst:pentes}
\sq Sur la route, avant une pente importante, on trouve un panneau indiquant
la valeur de la pente (par exemple~:$10\%$). Que signifie ce nombre~?
\sq \label{sq:pentes} Soit $f : x \mapsto ax+b$ une fonction dont le graphe est une droite
du plan $\bbR^2$~; le nombre $a$ s'appelle le \emph{coefficient
  directeur} (ou pente) de la droite. Soient $x_1$ et $x_2$ deux r\'eels,
et $M_1$ et $M_2$ les deux points du graphe correspondant.
Le \emph{taux d'accroissement} entre $x_1$ et $x_2$ est le rapport entre
la distance verticale et la distance horizontale de $M_1$ \`a
$M_2$. Donner la formule du taux d'accroissement. Quel est le lien avec
la pente de la droite~? Quel est le lien avec l'angle entre la droite et
la direction horizontale~?
\sq Estimer graphiquement les pentes des droites de la
figure~\ref{fig:droites}. Que se passe-t-il quand on fait varier la
pente entre $-\infty$ et $+\infty$~?
\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm,angle=-90]{figures-weierstrass01.eps}
\caption{\label{fig:droites}
Pentes des droites}
\end{center}
\end{figure}

\sq[Une propri\'et\'e des pentes des droites]\label{sq:trois-pentes}
Soient $M_1$, $M_2$, $M_3$ trois points du plan d'abscisses respectives
$x_1<x_2<x_3$. Soient $\Delta_1$, $\Delta_2$, $\Delta_3$ les droites
passant respectivement par les points $M_2$ et $M_3$, $M_1$ et $M_2$, et
$M_1$ et $M_2$. Expliquer par un dessin (ou deux !) pourquoi \emph{la pente de
  $\Delta_2$ est toujours plus petite que l'une des deux autres pentes
  (en valeurs absolues)}.

%%%%%%%
\qst{D\'eriv\'ee d'une fonction}
\sq Estimer graphiquement  la d\'eriv\'ee de la fonction de la figure~\ref{fig:fonction}
en quelques points. Dessiner l'allure de la fonction d\'eriv\'ee.
\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[height=6cm,angle=-90]{figures-weierstrass02.eps}
\caption{\label{fig:fonction} Estimation graphique de la d\'eriv\'ee}
\end{center}
\end{figure}

\sq Donner la d\'efinition g\'eom\'etrique (intuitive) de la continuit\'e, puis
celle de la d\'erivabilit\'e.
\sq Donner les d\'efinitions formelles.
\sq Dessiner l'allure du graphe d'une fonction non continue en $0$~;
d'une fonction continue non d\'erivable en $0$.
\sq La fonction de la figure~\ref{fig:fonction} est-elle d\'erivable en $0$~?

On utilisera par la suite le lemme suivant (qui est une cons\'equence
imm\'ediate de la d\'efinition de la d\'erivabilit\'e)~:
\begin{enonce1}{Lemme}{}\label{lem:derivabilite}
Si une fonction $f$ est d\'erivable en un point $x_0$, et si $(y_n)_{n
\geq 0}$ est une suite tendant vers $x_0$, alors la suite des taux
d'accroissements
$$
\frac{f(y_n)-f(x_0)}{y_n-x_0}
$$
tend vers le nombre r\'eel $f'(x_0)$.
\end{enonce1}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{La fonction de Weierstrass}\label{par:weierstrass}
La premi\`ere fonction continue partout mais d\'erivable nulle part a \'et\'e
construite par Weierstrass (math\'ematicien allemand, 1815-1897). Cette
fonction a aid\'e \`a clarifier les notions de continuit\'e et de
d\'erivabilit\'e, et a oblig\'e les math\'ematiciens a en donner des d\'efinitions
pr\'ecises~: auparavant, ceux-ci se contentaient des ``d\'efinitions''
intuitives, et pensaient qu'une fonction continue \'etait
toujours d\'erivable sauf \'eventuellement en quelques points~: la
construction de Weierstrass est venue contredire cette id\'ee intuitive.

\subsubsection*{Id\'ee de la construction}
L'id\'ee de Weierstrass est de partir d'une fonction $f_0$ qui est parfaitement
d\'erivable, puisqu'il s'agit de la fonction $\mathrm{sinus}$
(figure~\ref{fig:weie}). Puis on perturbe cette premi\`ere fonction en lui
ajoutant une autre sinuso\"{\i}de, de p\'eriode $5$ fois plus petite, et
d'amplitude $2$ fois moins grande~; cette deuxi\`eme fonction, not\'ee
$f_1$, est repr\'esent\'ee sur la figure~\ref{fig:weie2}, \`a gauche.
 Quand on ajoute $f_1$ \`a
$f_0$, on obtient une courbe qui zig-zague autour du graphe de $f_0$
(voir le  dessin de droite~; en
effet, $f_1$ est alternativement positive et n\'egative~; quand $f_1$ est
positive, le graphe de $f_0+f_1$ est situ\'e au-dessus de celui de $f_0$,
et il est situ\'e au-dessous lorsque $f_1$ est n\'egative~; quand $f_1$
s'annule, les deux graphes se rencontrent).
\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm,angle=-90]{figures-weierstrass03.eps}
\caption{\label{fig:weie}
Id\'ee de la construction de la fonction de Weierstrass (1)}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm,angle=-90]{figures-weierstrass04.eps}
\hspace{3cm}
\includegraphics[width=7cm,angle=-90]{figures-weierstrass05.eps}
\caption{\label{fig:weie2}
Id\'ee de la construction de la fonction de Weierstrass (2)}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm,angle=-90]{figures-weierstrass06.eps}
\hspace{3cm}
\includegraphics[width=7cm,angle=-90]{figures-weierstrass07.eps}
\caption{\label{fig:weie3}
Id\'ee de la construction de la fonction de Weierstrass (3)}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm,angle=-90]{figures-weierstrass08.eps}
\caption{\label{fig:weie4}
Id\'ee de la construction de la fonction de Weierstrass ($\infty$)}
\end{center}
\end{figure}


Et on recommence~: on prend la fonction $f_2$ qui est une sinuso\"{\i}de
de p\'eriode $5$ fois plus petite et
d'amplitude $2$ fois moins grande que $f_1$, et on l'ajoute encore \`a la
fonction $f_0+f_1$ (voir la figure~\ref{fig:weie3}).
 On recommence le processus \`a l'infini (figure~\ref{fig:weie4}).

\qst{D\'efinition formelle}
D\'efinir pr\'ecis\'ement $f_0$, $f_1$, $f_2$, $\dots$, et $F$, la fonction limite.

\qst{Continuit\'e}
Montrer que $F$ est continue.


\qst{D\'erivabilit\'e}
Quelle serait la proc\'edure standard pour montrer que $F$ est d\'erivable
? Essayez ! Qu'est-ce qui ne marche pas ? Pourquoi ne peut-on pas en conclure que
$F$ n'est pas d\'erivable ?


\emph{En fait, la fonction $F$ n'est pas d\'erivable, mais c'est assez difficile
\`a montrer\footnote{L'id\'ee est que les graphes des fonctions successives
  $f_0$, $f_0+f_1$, $f_0+f_1+f_2$, \textit{etc.}, pr\'esentent de plus en
  plus d'oscillations~: quand on prom\`ene une tangente le long du graphe
  de $f_0+f_1+f_2$, par exemple, la pente oscille \'enorm\'ement. \`A la
  limite, il n'y a plus de tangentes au graphes. Pour transformer cette
  id\'ee en une preuve rigoureuse, il faut faire des estimations pr\'ecises
  des pentes des fonctions successives. Notamment, le nombre ``$5$''qui
  apparait dans la construction n'est pas choisi au hasard, un nombre
  plus petit peut produire une fonction parfaitement d\'erivable...
 }.
 On va plut\^ot examiner une variante de cette premi\`ere
construction, pour laquelle la preuve sera plus facile.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Une version g\'eom\'etrique de la fonction de Weierstrass}\label{par:weierstrass-geometrique}
\subsubsection*{Id\'ee de la construction}
Cette fois-ci, on part de la fonction $f_0$ repr\'esent\'ee \`a la
figure~\ref{fig:weiegeo}, dont le graphe a la forme d'une dent de
hauteur $1/2$ et qui est p\'eriodique de p\'eriode~$1$. 
La fonction $f_1$ est alors similaire \`a $f_0$,
avec huit fois plus de ``dents'', chaque dent \'etant deux fois moins
\'elev\'ee que la dent de $f_0$. Et on recommence~: la fonction $f_2$ a huit
fois plus de dents que $f_1$, de hauteur encore deux fois moins grande~;
\textit{etc.}.
\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[height=6cm,angle=-90]{figures-weierstrass10.eps}
\caption{\label{fig:weiegeo}
Les nouvelles fonctions $f_0$, $f_1$ et $f_2$.}
\end{center}
\end{figure}


\qst{Dessin et d\'efinition formelle}\label{qst:dessin}
Dessiner (le plus pr\'ecis\'ement possible) $f_0+f_1$, et (vaguement) $f_0+f_1+f_2$.
D\'efinir pr\'ecis\'ement $f_1$, $f_2$, $\dots$, et $F$, la fonction limite,
\textbf{en fonction de $f_0$}.

\qst{Continuit\'e}
Montrer que $F$ est continue.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\qst{D\'erivabilit\'e}
\emph{On veut montrer que $F$ n'est d\'erivable en aucun point de $\bbR$.}

Soient $S_0=f_0$, $S_1=f_0+f_1$, $S_2=f_0+f_1+f_2$, $\dots$ les sommes partielles
de la fonction $F$.
\emph{L'id\'ee de la preuve est d'\'etudier les pentes des fonctions
$S_n$, et leur lien avec les taux d'accroissements de
la fonction limite $F$.}

%%%%%%%
\sq[Pentes de $S_n$]~

\begin{enonce2*}{D\'efinition}{}
On dit qu'une fonction est \emph{affine par morceaux} sur
l'intervalle $[0,1]$ si cet intervalle est d\'ecoup\'e en sous-intervalles,
sur chacun desquels la fonction est affine (c'est-\`a-dire que son
graphe est un segment).
\end{enonce2*}
 Dans ce cas, la d\'eriv\'ee est bien s\^ur constante sur
chaque morceau, et est \'egale \`a la pente du segment (voir la
section~\ref{par:pentes}.\ref{qst:pentes}.\ref{sq:pentes}).

Soit $n>0$. La fonction $S_n$ est affine par morceaux. Donner les valeurs de la plus
grande pente et de la plus petite pente (en valeur absolue).
Montrer la propri\'et\'e \textbf{P1} (voir aussi l'aide ci-dessous)~:

\begin{enonce1*}{Propri\'et\'e P1}{}
Il existe une suite $(C_n)_{n>0}$, tendant vers $+\infty$,  telle que
(pour tout $n>0$), les valeurs absolues des pentes de tous les morceaux de la fonction
$S_n$ sont sup\'erieures ou \'egales \`a $C_n$.
\footnote{C'est pour obtenir cette propri\'et\'e qu'on a choisit ``huit
fois plus de pics'' quand on passe de $f_n$ \`a $f_{n+1}$.}
\end{enonce1*}


\paragraph{$\bullet$ Aides pour la preuve de P1}
\begin{itemize}
\item Soit $f$ une fonction, et $g$ la fonction d\'efinie par
  $g(x)=f(8x)/2$. Quel lien y a-t-il entre la d\'eriv\'ee de $g$ et celle de
  $f$~?
\item D\'eterminer les pentes des fonctions $f_0$, $f_1$, $f_2$,
  \textit{etc.}.
\item  Donner la valeur de la pente sur chacun des morceaux de
  $S_1$. Quel est (en valeur absolue) la plus grande pente, la plus
  petite~?
\item D\'eterminer de m\^eme la plus petite pente de la fonction $S_n$. 
\end{itemize}

%%%%%
\sq[Lien entre  $F$ et $S_n$]

Soit $n$ un entier.
Trouver tous les endroits o\`u les fonctions $F$ et $S_n$ sont \'egales~;
autrement dit, 
montrer la propri\'et\'e \textbf{P2} (en compl\'etant les pointill\'es, voir
l'aide ci-dessous)~:
\begin{enonce1*}{Propri\'et\'e P2}{}
Soit $x \in [0,1]$~; alors
$$F(x)=S_n(x) \Leftrightarrow x \in \{\dots\}.$$
\end{enonce1*}


\paragraph{$\bullet$ Aides pour la preuve de P2}
Quels sont les points de l'intervalle $[0,1]$ o\`u $F$ s'annule~?
Trouver  les points $x$ o\`u $F(x)=f_0(x)$~; puis, pour chaque entier
$n \geq 1$,  ceux o\`u
$F(x)=S_n(x)$.

%%%%%
\sq[D\'erivabilit\'e en $0$]\footnote{Cette question n'est pas
  indispensable, mais elle aide \`a comprendre la fin de la preuve.}
\emph{On peut maintenant montrer que $F$ n'est pas d\'erivable en $0$.}
Aides : utiliser le lemme~\ref{lem:derivabilite} et les propri\'et\'es
\textbf{P1} et \textbf{P2}. 

%%%%%
\sq[Lien entre les taux d'accroissement de $F$ et des pentes de $S_n$]

\`A partir de maintenant, on se donne un nombre $x_0 \in ]0,1[$.
Montrer la propri\'et\'e \textbf{P3}~:
\begin{enonce1*}{Propri\'et\'e P3}{}
Pour tout entier $n>0$, il existe deux r\'eels $y_n$ et $y'_n$ tels que~:
\begin{enumerate}
\item $y_n$ et $y'_n$ sont de part et d'autre de $x_0$ (c'est-\`a-dire que
$x_0 \in [y_n,y'_n]$)~;
\item la longueur de l'intervalle $[y_n,y'_n]$ est inf\'erieure \`a
$1/8^n$~;
\item le taux d'accroissement de $F$ entre $y_n$ et $y'_n$ est
sup\'erieur (en valeur absolue) \`a $C_n$ (o\`u $(C_n)$ est la suite d\'efinie
dans la propri\'et\'e \textbf{P1}).
\end{enumerate}
\end{enonce1*}

\paragraph{$\bullet$ Aides pour la preuve de P3}
Que peut-on dire du taux d'accroissement de $F$ entre deux points
successifs o\`u $F=S_n$~?


\sq     
On reprend les notations de la question pr\'ec\'edente.
Soit, pour chaque entier $n>0$, $t_n$ le taux d'accroissement, pour $F$, entre
$x_0$ et $y_n$ et $t'_n$ celui entre $x_0$ et $y'_n$.
Montrer que l'un des deux taux d'accroissement
$t_n$ et $t'_n$ est sup\'erieur (en valeur absolue) \`a $C_n$ (aide~:
utiliser la
question~\ref{par:pentes}.\ref{qst:pentes}.\ref{sq:trois-pentes}). 

\sq
Montrer enfin que $F$ n'est pas d\'erivable en $x_0$ (utiliser le
lemme~\ref{lem:derivabilite}, partie~\ref{par:pentes}). 

\sq Conclure.



\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\separation


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{convergence-commutative}
\nomficimprimable{convergence-commutative}
\FichierUnique\titrebookmark{Changement de l'ordre des termes d'une s\'erie}
\Annee{2001}
\Date{2001/10/30}
\Titre{Changement de l'ordre des termes d'une s\'erie}
\Niveau{\DEUGii}
\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\Experimental} 
\AnglesSecondaires{\MAO,\Visualisation}
\Theme{\Series} 
\ThemesSecondaires{Semi-convergence}
\Auteur{Sylvain \textsc{Crovisier}}
\AutresAuteurs{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}


\Objectif{
Sensibiliser les \'el\`eves au d\'elicat probl\`eme de la permutation des
termes d'une s\'erie semi-convergente. Au passage, on utilise une
version simple du ``regroupement par paquets'', et une comparaison série-intégrale.

Les s\'eries non-commutatives sont sans doute un sujet trop abstrait
pour \^etre abord\'e directement par les étudiants de DEUG~;
 c'est pourquoi nous leur proposons une phase
exp\'erimentale sous MAPLE (partie~\ref{serie_experimentation}).
Dans un deuxi\`eme temps (partie~\ref{serie_premiere}), on leur demande
de d\'emontrer ce qu'il ont observ\'e en prenant garde \`a rester dans un
cadre suffisamment concret.
Dans la partie \ref{serie_papier}, on traite d'abord le cas des séries
à termes positifs. Maintenant qu'on a fait remarquer aux étudiants
qu'il peut arriver des choses bizarres quand on permutte l'ordre des
termes de certaines séries, on peut essayer d'obtenir d'eux une preuve
de la convergence commutative dans le cas positif (alors que sans les parties
précédentes, on peut parier que la question para\^{\i}trait sans intér\^et
aux étudiants : <<~évidemment, ça change rien, l'addition est commutative...>>.
On revient ensuite à la série harmonique alternée, pour essayer  de
faire sentir aux étudiants la possibilité d'atteindre n'importe quelle
valeur en changeant l'ordre des termes.
Enfin, l'appendice exploite la non-commutativité pour obtenir un
calcul de cette série (sans les séries entières).

L'exercice est assez long et peut \^etre trait\'e
partiellement (par exemple, les parties~\ref{serie_experimentation} et
\ref{serie_premiere} peuvent \^etre traitées en TP sur logiciel de
calcul, puis la partie \ref{serie_papier} en TD, ou en ateliers en
travail en groupe)~;
 mais nous recommandons de conserver l'ordre propos\'e (et surtout de
ne pas proposer la partie~\ref{serie_papier} sans la
partie~\ref{serie_experimentation}). 

\paragraph{Remarque~:} la question 1 de la partie~\ref{serie_papier} est
volontairement vague, les étudiants ressentiront peut-\^etre le besoin
de formaliser ce que signifie ``changer l'ordre des termes''. On peut
les aider en leur suggérant de penser aux suites extraites
$(u_{\phi(n)})$ : ici, que doit vérifier l'application $\phi$ ?...
} 


\begin{exo}
Les questions qui n\'ecessitent une preuve et qui n'utilisent pas
MAPLE sont not\'ees ($\clubsuit$). Il est conseill\'e d'utiliser MAPLE au
maximum dans les calculs. Les questions sont logiquement ind\'ependantes.

\partie{Exp\'erimentation}
\label{serie_experimentation}
\qst{}
Notre s\'erie semi-convergente pr\'ef\'er\'ee est la s\'erie
harmonique altern\'ee de terme g\'en\'eral
$$u_n=-\frac{(-1)^n}n,\; \text{ avec }n\geq 1.$$
Ses termes sont successivement positifs et n\'egatifs~:

$$\sum u_n=\quad{}^{\displaystyle \frac{1}{1}}\;\;\;
{}_{\displaystyle -\frac{1}{2}}\;\;\;
{}^{\displaystyle +\frac{1}{3}}\;\;\; 
{}_{\displaystyle -\frac{1}{4}}\;\;\; 
{}^{\displaystyle +\frac{1}{5}}\;\;\;
{}_{\displaystyle -\frac{1}{6}}\;\;\;
{}^{\displaystyle +\frac{1}{7}}\;\;\;
{}_{\displaystyle -\frac{1}{8}}\;\;\;
{}^{\displaystyle +\frac{1}{9}}\quad+\cdots$$

V\'erifier (\`a l'aide de MAPLE) qu'elle est semi-convergente
(\textit{i.e.}~convergente mais non absolument convergente).
Quelle est sa somme~?

\qst{}
Nous construisons une nouvelle s\'erie $\sum v_n$ \`a partir
de $\sum u_n$ en modifiant l'ordre d'apparition de ses termes~:
cette fois, un terme positif sera suivi
de \textit{deux} termes n\'egatifs. La s\'erie $\sum v_n$
s'\'ecrit donc~:
$$\sum v_n=\quad{}^{\displaystyle \frac{1}{1}}\;\;\;
{}_{\displaystyle -\frac{1}{2}}\;\;\;
{}_{\displaystyle -\frac{1}{4}}\;\;\; 
{}^{\displaystyle +\frac{1}{3}}\quad
{}_{\displaystyle -\frac{1}{6}}\;\;\;
{}_{\displaystyle -\frac{1}{8}}\;\;\;
{}^{\displaystyle +\frac{1}{5}}\quad
{}_{\displaystyle -\frac{1}{10}}\;\;\;
{}_{\displaystyle -\frac{1}{12}}\quad+\cdots$$

Calculer les sommes partielles de $\sum v_n$ d'ordre $30$, $90$, $300$
et les comparer \`a la somme de $\sum u_n$.

\partie{Premi\`ere d\'emonstration}
\label{serie_premiere}
Alors que nous avons simplement modifi\'e l'ordre des termes,
les s\'eries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ semblent avoir
des sommes diff\'erentes !

La question 1 d\'emontre ce ``paradoxe'' en supposant que la s\'erie
$\sum v_n$ converge. La question 2 prouve cette convergence.
(Les questions sont ind\'ependantes.)

\qst{Les s\'eries ont des sommes diff\'erentes}
\sq ($\clubsuit$)
\'Ecrire la forme du terme g\'en\'eral $v_n$.
(On pourra distinguer pour $m\geq 1$, les termes
$v_{3m-2}$, $v_{3m-1}$ et $v_{3m}$.)

\sq
Nous notons $U_n$ et $V_n$ les sommes partielles de $\sum u_n$ et
$\sum v_n$~:
$$U_n=\sum_{k=1}^n u_k,\quad V_n=\sum_{k=1}^n v_k.$$
Montrer que la suite $(U_{2l})_{l\geq 1}$ est strictement croissante, et
que la suite $(V_{3m+1})_{m\geq 1}$ est strictement d\'ecroissante.
Trouver des entiers $l$ et $m$ plus grands que $1$ tels que
$U_{2l}\geq V_{3m+1}$. 

\sq ($\clubsuit$)
En admettant que $\sum v_n$ converge,
conclure que la somme de la s\'erie $\sum u_n$ est strictement sup\'erieure
\`a la somme de sa s\'erie modifi\'ee $\sum v_n$.

\qst{Preuve de la convergence}
Nous voulons montrer que $\sum v_n$ converge et
faire calculer par MAPLE la somme exacte de $\sum v_n$.
Nous aurons besoin du ``\textit{principe de regroupement par paquets}''~:
\vspace{0.5 cm}

{\bf Proposition : Principe de regroupement par paquets.}
\vspace{0.3 cm}\newline
\begin{tabular}{c c c}

 & & \parbox{13 cm}{\it Soit $\sum_{n\geq 1} a_n$ une s\'erie dont le terme g\'en\'eral $a_n$ tend
vers $0$. Nous d\'efinissons une nouvelle s\'erie $\sum_{m\geq 1} b_m$ en regroupant les
termes par paquets de trois~:
\begin{align*}
b_1&=a_1+a_2+a_3,\\
b_2&=a_4+a_5+a_6,\\
&\cdots\\
b_m&=a_{3m-2}+a_{3m-1}+a_{3m},\\
&\cdots
\end{align*}
Alors, les s\'eries $\sum a_n$ et $\sum b_m$ sont de m\^eme nature
(convergentes ou divergentes). Si elles
convergent, leurs sommes sont égales.}\\
\\
\end{tabular}
\newline
Ainsi pour \'etudier la convergence de $\sum v_n$ il est plus simple
de grouper les termes par paquets de trois et
d'introduire la s\'erie $\sum w_m$~:
\begin{align*}
w_1&=v_1+v_2+v_3,\\
w_2&=v_4+v_5+v_6,\\
&\cdots\\
w_m&=v_{3m-2}+v_{3m-1}+v_{3m},\\
&\cdots
\end{align*}
Calculer explicitement le terme g\'en\'eral $w_m$. En d\'eduire
que la s\'erie  $\sum v_n$ converge (utiliser le regroupement par
paquets). 
Demander \`a MAPLE sa somme,
et comparer \`a $\sum u_n$.
%changement

\partie{D\'emonstration sur papier ($\clubsuit$)}
\label{serie_papier}
Dans les deux premi\`eres parties, on a constat\'e exp\'erimentalement
que changer l'ordre des termes de la s\'erie harmonique altern\'ee
pouvait modifier la valeur de la somme, puis on a donn\'e une preuve de
ce r\'esultat. On propose maintenant d'explorer d'autres aspects du
changement d'ordre des termes d'une s\'erie.

\qst{Cas des s\'eries \`a termes positifs}

Soit $\sum u_n$ une s\'erie \`a termes positifs, et $\sum v_n$ une
s\'erie obtenue \`a partir de la pr\'ec\'edente en changeant l'ordre
des termes. 

\sq Si  $\sum u_n$ converge, est-ce que  $\sum v_n$ converge
n\'ecessairement ?

\sq Si les deux s\'eries convergent, ont-elles la m\^eme somme ?


\qst{Changement d'ordre qui fait diverger la s\'erie harmonique altern\'ee}

\sq Montrer qu'il est possible de changer l'ordre des termes de la s\'erie
harmonique altern\'ee pour obtenir une s\'erie divergente~!
(\textbf{Aide~:} la s\'erie \`a termes positifs $\sum u_{2n+1}$
est divergente).

\sq Montrer  qu'il est possible de changer l'ordre des termes de la s\'erie
harmonique altern\'ee pour obtenir une s\'erie dont la somme vaut
$100$ (ou bien tout autre nombre qui vous plaira).


\qst{Pour aller plus loin...}
Proposer une conjecture qui généraliserait à d'autres séries les résultats obtenus sur
la série harmonique alternée. Prouver la conjecture.





\partie{Appendice~: un calcul de la somme de la s\'erie harmonique altern\'ee}
\label{serie_appendice}
Nous souhaitons retrouver maintenant les sommes $S$ et $S'$
que donne MAPLE pour $\sum u_n$ et $\sum v_n$.

\qst{Une premi\`ere relation entre $S$ et $S'$}
On regroupe les termes de $\sum u_n$ par paquets de deux en d\'efinissant
la s\'erie $\sum t_m$ de terme g\'en\'eral
$$t_m=u_{2m-1}+u_{2m},\; \text{ avec }m\geq 1.$$
Calculer $t_m$ et
trouver une relation simple entre $t_m$ et $w_m$
(miracle~!). En d\'eduire une relation 
simple entre les sommes $S$ et $S'$.

\qst{Une seconde relation ($\clubsuit$)}
Ind\'ependamment de la question pr\'ec\'edente, montrer
que pour $m\geq 1$,
$$V_{3m}=U_{2m}+\sum_{k=m+1}^{2m}u_{2k}.$$
Pour \'etudier ensuite $\sum_{k=m+1}^{2m}u_{2k}$, comparer $u_n$ \`a
une int\'egrale et prouver,
$$\int_m^{2m}\frac{1}{2x}d x\geq \sum_{k=m+1}^{2m}u_{2k}
\geq \int_{m+1}^{2m+1}\frac{1}{2x}d x.$$
En d\'eduire la limite de $\sum_{k=m+1}^{2m}u_{2k}$ lorsque $m$
tend vers $+\infty$ puis une nouvelle relation entre les sommes $S$ et $S'$.

\qst{Conclusion ($\clubsuit$)}
Conclure en donnant les valeurs de $S$ et $S'$.

\qst{Question subsidiaire ($\clubsuit$)}
Prouver le ``principe de regroupement par paquets''.

\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{Euler-Poincare}
\nomficimprimable{Euler-Poincare}
\titrebookmark{Introduction \`a la topologie \deuxpoints  la caract\'eristique d'Euler-Poincar\'e}
\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2002/02/18}

\Niveau{\DEUGii} 
                
\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\Experimental} 
\AnglesSecondaires{\Ludique,\Decouverte} 
\Theme{\Topologie} 
\ThemesSecondaires{Polyh\`edres} 
\Titre{Introduction \`a la topologie : la caract\'eristique d'Euler-Poincar\'e}
%Topologie des surfaces ?
\Objectif{La topologie est, parmi les mati\`eres enseign\'ees en DEUG, l'une
  de celles o\`u la d\'emarche scolaire est la plus \'eloign\'ee de l'intuition.
 Paradoxalement,
  c'est aussi l'une des branches des maths les plus vulgaris\'ees. On
  essaie ici de faire en sorte que ``les deux bouts se rejoignent''~:
  \`a l'issue d'une exploration informelle dont le but est d'amener les
  \'etudier \`a ``penser topologiquement'', on introduit formellement la notion
  d'hom\'eomorphisme, qui est l'un des concepts centraux de la topologie.
C'est aussi un pr\'etexte pour faire d\'ecouvrir la caract\'eristique
  d'Euler-Poincar\'e, et un tr\`es beau r\'esultat math\'ematique, sans attendre
  un cours d'homologie en DEA~!

Notons que \textbf{la partie~\ref{par:surfaces} ne doit pas \^etre lue avant d'avoir
r\'esolu la partie~\ref{par:polypoly}}, puisqu'elle contient la formule d'Euler que
l'\'etudiant doit d\'ecouvrir dans la partie~\ref{par:polypoly}.

Ce texte s'inspire par endroits du texte
\href{http://www.geom.uiuc.edu/docs/education/institute91/}{Geometry and
  the imagination}.
}


\begin{exo}
\section*{Introduction}
La topologie est \`a la fois une branche des math\'ematiques (o\`u la
recherche est encore tr\`es active), et une ``boite \`a outils'' utilis\'ee dans
toutes les autres branches des maths.  Si l'on veut d\'efinir les concepts
topologiques formellement, on s'appuie sur la th\'eorie des ensembles~;
apr\`es un chemin assez long (allant du DEUG \`a la Ma\^{\i}trise), on arrive \`a
d\'efinir et \`a \'etudier math\'ematiquement des objets comme les surfaces et
leur g\'en\'eralisation en dimensions sup\'erieures.

Ici, on va faire le choix inverse : pour une fois, nous allons raisonner
sur des \emph{objets non formalis\'es}, c'est-\`a-dire sans donner de
d\'efinition pr\'ecise, en se contenant d'id\'ees intuitives.  L'inconv\'enient
est que ce flou sur les d\'efinitions se retrouve dans les d\'emonstrations
: on aura un peu moins de certitude que d'habitude sur les r\'esultats
obtenus.  L'avantage est qu'on n'est pas oblig\'e d'attendre la Ma\^{\i}trise
de maths pour \'etudier les surfaces...

A la fin, on essaiera de faire le lien entre les objets informels vus ici
et le point de vue formel des cours de maths habituels.



%******************************************************
\partie{Poly\`edres et polyg\^ones}\label{par:polypoly}
 \qst{Comptabilit\'e} Comptez le nombre
de sommets, d'ar\^etes et de faces pour les poly\`edres des
 figures~\ref{fig:polyedres1}, \ref{fig:polyedres2},
\ref{fig:polyedres3} et~\ref{fig:polyedres4}.
  Remplissez le tableau suivant.

\vspace{0.5cm}
\noindent
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}
\hline &  $n^0$ 1&    $n^0$ 2&    $n^0$ 3&   $n^0$ 4&
  $n^0$ 5&   $n^0$ 6&   $n^0$ 7 \\ \hline sommets &&&&&&&\\
&&&&&&&\\ \hline ar\^etes &&&&&&&\\ &&&&&&&\\ \hline faces &&&&&&&\\ &&&&&&&\\ \hline
\end{tabular}

%?
\begin{figure}[h!t]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{POLY01dots.eps}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{POLY02dots.eps}
\caption{Exemples de poly\`edres (1)}
\label{fig:polyedres1}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[h!t]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{POLY03dots.eps}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{POLY06dots.eps}
\caption{Exemples de poly\`edres (2)}
\label{fig:polyedres2}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[h!t]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{POLY04dots.eps}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{chapiteau-complet.eps}
\caption{Exemples de poly\`edres (3)}
\label{fig:polyedres3}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[h!t]
\begin{center}
\includegraphics[height=7cm,angle=-90]{echidnahedre-col.eps}
\caption{Et un dernier polyh\`edre ??...}
\label{fig:polyedres4}
\end{center}
\end{figure}




%\hbox{
%\epsfbox{chapiteau-fdf1.eps}
%\epsfbox{chapiteau-cac3.eps}
%}


\qst{La relation d'Euler}
Le math\'ematicien Euler a trouv\'e une formule tr\`es simple
 reliant le nombre de sommets, d'ar\^etes et de faces, 
et \emph{valable dans tous les poly\`edres}. A l'aide des exemples de la question pr\'ec\'edente,
 pouvez-vous retrouver cette relation ?



\qst{Cas des polyg\^ones du plan}
\label{qst:poly}
Dessinez un polyg\^one (triangle, carr\'e, \textit{etc.}), et d\'ecoupez-le
en un certain nombre de polyg\^ones plus petits. Ici encore, comptez le
nombre de sommets, d'ar\^etes et de petits polyg\^ones. Quel relation y
a-t-il entre ces trois nombres ? Essayez d'autres exemples.

\qst{Preuves informelles} Pouvez-vous justifier cette derni\`ere relation
par un raisonnement ?

Pouvez-vous justifier la formule d'Euler ?
%ici, il est probable qu'on va commencer \`a d\'eformer contin\^ument...

\'Enoncez les deux r\'esultats prouv\'es dans un th\'eor\`eme.


%\pagebreak
%******************************************************
\partie{Les surfaces, objets topologiques}\label{par:surfaces}
Dor\'enavant, on notera toujours $S$ le nombre de sommets, $A$ le nombre
d'ar\^etes et $F$ le nombre de faces.  On a donc obtenu les r\'esultats
suivants~:
%? a distribuer apres la premiere partie !
\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}{(poly\`edres)}
Pour tout poly\`edre, le nombre $S-A+F$ vaut $2$.
\end{enonce1*}

\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}{(d\'ecoupages des polyg\^ones)}
Pour tout d\'ecoupage d'un polyg\^one du plan, le nombre $S-A+F$ vaut $1$.
\end{enonce1*}

Ces deux th\'eor\`emes concernent les poly\`edres et les polyg\^ones, qui
sont des objets g\'eom\'etriques. Nous allons maintenant examiner ces
th\'eor\`emes sous l'angle de la topologie.
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{topologie.eps}
\caption{\label{fig:topologie}
Un carr\'e se d\'eformant en cercle, et un tore se changeant en
  tasse \`a caf\'e}
\end{center}
\end{figure}

Sur la plan intuitif, on peut dire que la topologie est une g\'eom\'etrie
``molle'', qui aurait oubli\'e comment \'evaluer les notions g\'eom\'etriques de
distance et d'angle~; c'est la th\'eorie math\'ematique o\`u l'on s'autorise \`a
\'etirer, comprimer, tordre une forme, mais sans la d\'echirer ou la
coller, et sans l'\'ecraser. Quand on peut passer d'une forme \`a une autre par ce type de
d\'eformations, on dit qu'elles sont \emph{topologiquement
\'equivalentes}. Ainsi, un carr\'e est topologiquement \'equivalent \`a un
cercle, puisqu'on peut d\'eformer contin\^ument un carr\'e en un cercle
(voir figure~\ref{fig:topologie}). Un
autre exemple est donn\'e par la surface d'un tore (comme les bou\'ees en
caoutchouc)  et celle d'une tasse \`a caf\'e
 (avec une anse).\footnote{On peut bien sur d\'efinir de mani\`ere pr\'ecise (en termes de
th\'eorie des ensembles) l'\'equivalence topologique (voir la fin du
texte)~; mais nous allons nous contenter de raisonner avec cette
d\'efinition intuitive.}
%?


\qst{Les lettres}
%optionnel
Comme premier exercice de topologie informelle, regardons les lettres de
l'alphabet (en capitales, et sans enluminures) comme des dessins dans
le plan.
  Parmi ces lettres, lesquelles sont topologiquement
\'equivalentes, lesquelles sont topologiquement diff\'erentes~? Combien y
a-t-il de lettres dans l'alphabet d'un topologue~?
%r\'eponse : une dizaine, quand m\^eme !

\qst{Construction de quelques surfaces} \label{qst:surfaces}

\begin{figure}[h!t]
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{cube.eps}
\caption{\label{fig:cube}
Un cube, et trois petits morceaux que l'on peut d\'eformer en un
disque. Par contre, le dessin de droite n'est pas topologiquement
\'equivalent \`a un disque.}
\end{center}
\end{figure}

Une \emph{surface}\footnote{En
termes savants, on dit aussi \emph{vari\'et\'e de dimension 2.}} est une
forme dont \emph{tous les morceaux assez petits sont topologiquement
\'equivalents \`a un petit disque du plan}. Par exemple, la surface d'un cube
est une surface, qui est topologiquement \'equivalente \`a la surface d'une
sph\`ere\footnote{Attention \`a ne pas confondre la \emph{surface} de la
  sph\`ere avec le volume qu'elle renferme (ce volume est une vari\'et\'e de
  dimension~3, ce n'est bien s\^ur pas une surface).}.
 Par contre, si vous rajoutez un mur dans le cube (vous changez
le studio en un deux-pi\`eces~!), la r\'eunion des murs n'est plus une
surface, parce qu'il y a des points en lesquels trois cloisons se
rencontrent, et que cette forme n'est pas topologiquement \'equivalente \`a
un disque du plan. Ceci est illustr\'e sur la figure~\ref{fig:cube}.



\sq[(question optionnelle)] Citez des surfaces topologiquement \'equivalentes \`a la sph\`ere. Citez
des surfaces qui ne sont pas topologiquement \'equivalentes \`a la
sph\`ere. Combien de sortes topologiques de surfaces connaissez-vous ?
%ici, on devrait voir que les polyedres sont topologiquement des sph\`eres, (ce qui nous donnera ensuite plein de triangulations de la sph\`ere).

\sq[Papier et ciseaux] \label{sq:ciseaux} D\'ecoupez des bandes de papier, et recollez les
extr\'emit\'es de diff\'erentes mani\`eres : sans demi-tour (on obtient un
\emph{anneau})~; avec un demi-tour (on obtient un \emph{ruban de
M\"obius})~; avec deux demi-tours~; avec trois demi-tours.

\sq D\'ecoupez chacune des surfaces selon le milieu de la bande d'origine
(le m\'eridien). Que se passe-t-il ?




%******************************************************
\partie{Triangulations des surfaces, et caract\'eristique
d'Euler-Poincar\'e}
\begin{figure}[ht]
 \begin{center}
\includegraphics[height=3.5cm]{triangulation.eps}
\end{center}
\caption{\label{fig:triangulation} Deux triangulations topologiquement \'equivalentes}
\end{figure}
 Une \emph{triangulation} d'un polyg\^one du plan est
un dessin comme ceux de la figure \ref{fig:triangulation}, constitu\'e
d'un certain nombre de \emph{sommets} et d'\emph{ar\^etes}
(\'eventuellement courb\'ees) reliant les sommets, de mani\`ere \`a ce que si
vous d\'ecoupez selon les ar\^etes, le plan se retrouve d\'ecompos\'e en
``polyg\^ones tordus'', c'est-\`a-dire en morceaux topologiquement
\'equivalent \`a des polyg\^ones\footnote{Sauf la partie non born\'ee.}. Ces
polyg\^ones topologiques sont appel\'es \emph{faces} de la
triangulation.\footnote{On devrait peut-\^etre dire
  \emph{polygonulation} plut\^ot que triangulation...}

Ainsi, les d\'ecoupages de polyg\^ones (question \ref{qst:poly} de la
partie pr\'ec\'edente) \'etaient des cas particuliers de triangulations du
plan (avec des ar\^etes non courb\'ees).


Deux triangulations sont consid\'er\'ees comme identiques si on peut passer
de l'une \`a l'autre en d\'eformant contin\^ument le plan. Ainsi, les deux
triangulations de la figure \ref{fig:triangulation} sont consid\'er\'ees
comme \'etant les m\^emes.

On d\'efinit de la m\^eme mani\`ere une triangulation sur la sph\`ere, ou sur
une autre surface.  Chacun des poly\`edres de la premi\`ere partie d\'efinit
une triangulation de la sph\`ere, voyez-vous pourquoi~?




Faisons la remarque suivante : \emph{les raisonnements \`a la fin de la
premi\`ere partie n'utilisaient pas le fait que les ar\^etes des
triangulations n'\'etaient pas courb\'ees. Par cons\'equent, le th\'eor\`eme sur
les d\'ecoupages de polyg\^ones se g\'en\'eralise aux triangulations du plan :}

%a distribuer apres la premi\`ere partie !! %?
\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}{(triangulation des polyg\^ones)}
Pour toute triangulation d'un polyg\^one du plan, le nombre $S-A+F$ vaut
$1$.
\end{enonce1*}




\qst{} Le but de cette question est de savoir ce que deviennent les
r\'esultats de la premi\`ere partie (concernant le nombre $S-A+F$ pour les
poly\`edres et les polyg\^ones du plan) pour les autres surfaces.

Pour quelques-unes des surfaces suivantes (au choix), dessiner une
triangulation (ou plusieurs), et calculez le nombre $S-A+F$~:
\begin{itemize}
\item un disque (Remarque : \emph{on l'a d\'ej\`a fait...}).
\item une sph\`ere (Remarque : ça aussi on l'a d\'ej\`a fait !!)
\item un cylindre ou un anneau\footnote{C'est-\`a-dire la forme du rouleau de carton
    autour duquel on enroule du sopalin, que l'on a d\'ej\`a vue \`a la
    question~\ref{par:surfaces}.\ref{qst:surfaces}.\ref{sq:ciseaux}.}
 (Aide : comment le dessiner de mani\`ere agr\'eable dans le
plan ? Pensez \`a ce qu'un topologue a le droit de faire...).
\item un ruban de M\"obius (Aide : c'est plus facile de dessiner sur la
bande de d\'epart qu'apr\`es le recollement, en \emph{imaginant} qu'on va
recoller la bande ensuite...).
\item un tore (Aide~: comment le dessiner dans le plan ? Pensez \`a ce qu'on a
fait pour le ruban de M\"obius, et aussi aux jeux vid\'eos du style ``PacMan''...)
\item un disque avec deux trous\footnote{Cette surface s'appelle un
    \emph{pantalon}~; voyez-vous pourquoi~?}.
\item une bouteille de Klein, un tore avec un trou...
\end{itemize}
\qst{} \'Enoncez les g\'en\'eralisations du th\'eor\`eme de triangulation des
polyg\^ones aux surfaces que vous avez \'etudi\'ees.

\qst{Application} 
\sq Dire sans calcul ce que vaut le nombre $S-A+F$ pour le
poly\`edre de la figure~\ref{fig:polyedres4}, puis pour celui de la
figure~\ref{fig:tore}.

\begin{figure}[ht]
\centerline{\includegraphics[height=4cm,width=10cm]{tore-dots.eps}}
\caption{\label{fig:tore} Quelle est cette surface~?}
\end{figure}
\sq Imaginez que vous \^etes un \^etre \`a deux
dimensions, et que vous vivez dans une surface,
\emph{sans conscience du monde en trois dimensions dans lequel est
  plong\'e la surface}. Dans
quelle mesure pouvez-vous dire quelle est la forme de cette surface~?
\footnote{Si vous n'aimez pas l'id\'ee de vivre en deux dimensions,
 voici une autre mani\`ere de pr\'esenter la question. Vous habitez sur une
 plan\`ete, et vous voulez en conna\^{\i}tre la forme (est-ce une sph\`ere, un
 disque, un tore, l'une des quatre surfaces de la
 question~\ref{par:surfaces}.\ref{qst:surfaces}.\ref{sq:ciseaux},
 \textit{etc.}~?)~; mais vous
 ne pouvez pas d\'ecoller de la plan\`ete, et vous ne voyez rien de l'espace
 autour (il y a des nuages partout). Comment faire~?}


%******************************************************
\qst{Conclusion}
%distribuer plus tard %?
On peut \'enoncer le th\'eor\`eme suivant (que l'on admettra)~:
\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}{}
Soit $S$ une surface, et $T$ une triangulation de $S$. Alors le nombre
(S-A+F) ne d\'epend pas de la triangulation $T$,
il ne d\'epend que du type topologique de la surface $S$.
\end{enonce1*}
Ce nombre est donc un \emph{invariant topologique} associ\'e \`a la surface
$S$~; on l'appelle \emph{caract\'eristique d'Euler-Poincar\'e} de la
surface.

Donner la caract\'eristique d'Euler-Poincar\'e des surfaces que vous avez
\'etudi\'ees.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Un lien avec le point de vue du cours : comment d\'efinir
formellement l'\'equivalence topologique ?}
%? a ecrire
Reprenons le dessin d'un  carr\'e dans le plan  qui se d\'eforme en cercle
(figure~\ref{fig:topologie2}).
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{topologie2.eps}
\caption{\label{fig:topologie2}
Construction de l'application $h$.}
\end{center}
\end{figure}
 \'Etant donn\'e un point $x$ du carr\'e, on peut
suivre son d\'eplacement durant la d\'eformation~; quand la d\'eformation est
finie, on obtient ainsi un point $h(x)$ dans le cercle final. En faisant
ceci pour chaque point $x$ du carr\'e, on obtient une application $h$ du
carr\'e dans le cercle. 
\qst{}
Essayez de traduire formellement, \emph{sur l'application $h$},
 les id\'ees intuitives de la d\'efinition
d'\'equivalence topologique donn\'ee plus haut~:
\begin{itemize}
\item comment rendre compte de l'id\'ee qu'il n'y a pas de d\'echirure~?
\item comment rendre compte de l'id\'ee qu'il n'y a pas d'\'ecrasement~?
\item coment  rendre compte de l'id\'ee qu'il n'y a pas de recollement~?
\end{itemize}

Sur le plan formel, l'id\'ee de d\'eformation continue est assez lourde \`a
d\'efinir~; en r\'ealit\'e, on d\'efinit l'\'equivalence topologique en conservant
uniquement les propri\'et\'es de la fonction finale $h$~: si $E$ et
$F$ sont deux parties du plan (comme le carr\'e et le cercle), elles sont
dites topologiquement \'equivalentes (ou \emph{hom\'eomorphes}) s'il existe une
application $h$ de $E$ dans $F$ qui est une bijection, continue, dont la
r\'eciproque est continue. Une telle application s'appelle un \emph{hom\'eomorphisme}.

Formellement, la topologie est donc l'\'etude de toutes les propri\'et\'es qui
sont conserv\'ees par les hom\'eomorphismes. Par exemple, les notions de
ferm\'es, d'ouverts, la compacit\'e, la connexit\'e par arcs,
sont des notions topologiques (pourquoi ?...).

La topologie ne concerne pas uniquement les parties de $\bbR^n$~: il existe
beaucoup d'ensembles sur lesquels on peut
mettre des structures topologiques, c'est-\`a-dire d\'efinir des notions
d'ouverts et de ferm\'es, et donc de continuit\'e. C'est le cas par exemple
des espaces vectoriels de fonctions, ou encore de l'ensemble des courbes
du plan~; ceci permet de donner un sens \`a l'id\'ee de deux  fonctions (ou
de deux courbes)
``proches'' l'une de l'autre.
 Ces diff\'erentes structures topologiques
jouent un r\^ole tr\`es important en Analyse, par exemple dans la
transformation de Fourier, ou dans la th\'eorie des
distributions. Explications dans un cours de Licence...
\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{racines-90}
\nomficimprimable{racines-90}
\FichierUnique\titrebookmark{Puissances des racines 90\`emes de l'unit\'e}
\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Puissances des racines 90\`emes de l'unit\'e}
\Niveau{\DEUGi} 
\AnglePedagogique{\Experimental}
\Theme{\Complexes}


\Objectif{Savoir exp\'erimenter pour d\'ecouvrir une formule ; un peu de
th\'eorie des groupes sans le dire...

Exp\'erience : un \'etudiant motiv\'e peut trouver la formule ; la preuve est
beaucoup plus d\'elicate.}


\begin{exo}
Soit $z$ un nombre complexe qui est une racine 90\`eme de l'unit\'e. On
consid\`ere toutes les puissances positives de $z$ :
$$
z^0, z^1, z^2, z^3, \dots
$$
Combien obtient-on ainsi de nombres complexes distincts~?

Autrement dit, quel est le cardinal de l'ensemble
$$
G_z=\{z^k  | k \in \bbN\} \ \ \ ?
$$

\paragraph{Suggestion} Exp\'erimentez !


\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{polynome-lagrange}
\nomficimprimable{polynome-lagrange}
\titrebookmark{Quelqu'un aurait-il vu passer un polyn\^ome \pointinterrogation }
\Annee{2004}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{Fran\c{c}ois \textsc{B\'eguin}}
\Date{2004/05/01}
\Titre{Quelqu'un aurait-il vu passer un polyn\^ome ?}
\Niveau{\DEUGi} 
                
\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\Experimental} 
\AnglesSecondaires{} 
\Theme{\Polynomes} 
\ThemesSecondaires{} 

\Objectif{
Cet exercice a \'et\'e propos\'e en travail en groupe de quatre.
La plupart des \'etudiants, avec un peu de temps, arrivent \`a trouver
un \'enonc\'e satisfaisant (existence et unicit\'e avec la condition
de degr\'e). Le plaisir d'avoir fabriquer un th\'eor\`eme les a marqu\'e. 

Il est assez rejouissant de voir des \'etudiants trouver \'egalement eux-m\^eme
la formule d'interpolation, alors qu'il y a souvent un blocage quand on la leur donne
d'embl\'ee. Notons que la preuve de l'unicit\'e est tr\`es difficile
\`a trouver pour eux (bien que tr\`es courte).
}

\begin{exo}
%%%%%%%%%%%%
\partie{Introduction}

Tous les  logiciels de dessin assist\'e par  ordinateur, poss\`ede une
fonction de trac\'e de courbe passant par des points sp\'ecifi\'es~:
avec la souris,  on marque un certain nombre  de points sur l'\'ecran,
et  l'ordinateur se charge  de trouver  une courbe  qui passe  par ces
points.  Quitte \`a utiliser assez de points, on peut ainsi
tracer n'importe quel contour. 

Comment l'ordinateur fait-il pour trouver une courbe qui passe par des
points  donn\'es~?   En  fait,  en  g\'en\'eral,  il  cherche  un
polyn\^ome  dont le  graphe  passe par  ces  points (une  fois un  tel
polyn\^ome  trouv\'e,  l'ordinateur  n'a  aucun  mal  \`a  tracer  son
graphe). Mais un tel polyn\^ome existe-t-il toujours~? Si oui, comment
l'ordinateur fait-il pour le trouver~? 

%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{\'Enonc\'e}

On  est  donc  confront\'e  au  probl\`eme  math\'ematique  suivant  :
\emph{si  on  se  donne un  certain  nombre  de  points dans  le  plan
  $\bbR^2$, existe-t-il  des polyn\^omes dont le graphe  passe par ces
  points~?  en existe-t-il un  seul~?  sinon,  en existe-t-il  un plus
  simple que les  autres~? quand il en existe  un, peut-on trouver une
  formule le donnant~? }  


On  vous   demande  d'essayer   de  ``fabriquer''  un   \'enonc\'e  de
th\'eor\`eme qui r\'eponde \`a  toutes ces question.  Bien s\^ur, pour
cerner l'\'enonc\'e le plus pr\'ecis et le plus ``joli'' possible, il
faut  commencer  par  ``exp\'erimenter''.   Voici quelques  pistes  de
recherche  (avec l'id\'ee :  quand un  probl\`eme est  trop difficile,
\emph{il faut essayer de le simplifier}, par exemple en commen\c cant 
par des cas  particuliers...)~: 
\begin{itemize}
\item Avez-vous une id\'ee intuitive de la r\'eponse ?

\item Essayer  avec 2 points.  Comment peut-on formuler  le r\'esultat
  dans ce cas-l\`a ? Essayer de donner le ``meilleur'' \'enonc\'e possible.

\item Que dire si tous les points sont situ\'es sur l'axe des abscisses
  (par exemple avec trois ou quatre points)~? 

\item Que dire si tous les points \emph{sauf un} sont sur l'axe des
  abscisses~? Si tous les points \emph{sauf deux} sont sur l'axe des
  abscisses~?...
\end{itemize}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Bilan}

%\setlength{\leftmargini}{12pt}

Rappelons qu'\'etant donn\'e un nombre fini de points dans le
plan, on  cherche  \`a r\'epondre  aux questions  suivantes~:
existe-t-il  toujours  un polyn\^ome  dont  le  graphe  passe par  ces
points~?   ce polyn\^ome est-il  unique~? en  existe-t-il un  qui soit
``plus  simple  que  les   autres''~?   peut-on  trouver  une  formule
d\'efinissant ce polyn\^ome~? 

La  r\'eponse  \`a  toutes   ces  questions  est  r\'esum\'ee  par  le
th\'eor\`eme suivant. 
\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}
Soient $M_1,\dots,M_n$ des points deux \`a deux distincts dans 
$\bbR^2$. Notons $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$ les coordonn\'ees de ces
points, et  supposons que les abscisses $x_1,\dots,x_n$  sont deux \`a
deux distinctes. Alors  il existe un unique polyn\^ome  $P$ de degr\'e
inf\'erieur ou \'egal \`a 
$n-1$  dont  le  graphe  passe  par les  points  $M_1,\dots,M_n$~;  ce
polyn\^ome est donn\'e par la formule suivante~:
$$P(x)=\mathop{\sum}_{k=1}^{n}y_k\mathop{\prod}_{i\neq
  k}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}.$$ 
\end{enonce1*}

La formule ci-dessus a \'et\'e d\'ecouverte par le math\'ematicien
Joseph Louis Lagrange (voir sa biographie \`a la fin du texte)~; on parle du ``polyn\^ome
de  Lagrange associ\'e  aux  points $M_1,\dots,M_n$''.  Notons que  le
th\'eor\`eme~1 est un r\'esultat tr\`es satisfaisant~: c'est un r\'esultat
d'existence et d'unicit\'e, 
le  degr\'e du  polyn\^ome ne  croit pas  tr\`es vite  en  fonction du
nombre de points, et on a une formule tr\`es facile \`a rentrer dans un
ordinateur si  on souhaite  faire des calculs  explicites.  Remarquons
par ailleurs que ce r\'esultat est optimal, au sens o\`u~: 
\begin{itemize}
\item[--] l'hypoth\`ese sur les abscisses des points $M_1,\dots,M_n$
est n\'ecessaire~; en effet, si ces abscisses ne sont pas deux \`a deux
distinctes, alors il ne passe aucun graphe de fonction par les points
$M_1,\dots,M_n$~;  en  particulier,  il   ne  passe  aucun  graphe  de
polyn\^ome~;
\item[--] le polyn\^ome exhib\'e dans l'\'enonc\'e ci-dessus est de
degr\'e minimal~; en effet, sauf si les points $M_1,\dots,M_n$ sont dispos\'es
de  fa\c{c}on  sp\'eciale, il  n'existe  aucun  polyn\^ome de  degr\'e
strictement inf\'erieur \`a $n-1$ dont le graphe passe par les points 
$M_1,\dots,M_n$~;
\item[--] d\`es que $d$ est sup\'erieur ou \'egal \`a $n$, il
existe une infinit\'e  de polyn\^omes de degr\'e $d$  dont les graphes
passent par les points $M_1,\dots,M_n$.  
\end{itemize}

Revenons maintenant  \`a la  question du trac\'e  de courbes  dans les
logiciels de DAO (dessin assist\'e par ordinateur).  Rappelons de quoi
il s'agit~:  pour dessiner  un objet, les  logiciels de  DAO proposent
habituellement \`a  l'utilisateur de placer avec la  souris un certain
nombre de  points par lesquels doit  passer le contour  de l'objet \`a
dessiner~; l'ordinateur se charge alors de trouver une courbe qui passe
par  ces points.
Math\'ematiquement, une courbe est une application de l'intervalle
$[0,1]$ dans le plan $\bbR^2$. On peut chercher une courbe
polyn\^omiale, c'est-\`a-dire sous la forme 
$$
t \longmapsto (P(t),Q(t))
$$
o\`u $P$ et $Q$ sont des polyn\^omes.

 Les polyn\^omes 
de Lagrange fournissent en th\'eorie une solution \`a ce
probl\`eme.  N\'eanmoins, ces  polyn\^omes ne  sont  jamais utilis\'es
tels quels par les logiciels de dessin. Ceci est d\^u au ph\'enom\`ene
d\'ecrit ci-dessous.

Supposons qu'on veuille tracer un contour ayant la forme suivante~: 
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm,angle=-90]{lagrange01.eps}
\end{center}
  On  place  7  points r\'eguli\`erement  r\'epartis  sur  ce
contour,  et on  trace le  polyn\^ome de  Lagrange associ\'es  \`a ces
points. On obtient ceci~:
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm,angle=-90]{lagrange02.eps}
\end{center}
Le graphe  du polyn\^ome de Lagrange approche  assez bien le
contour  souhait\'e  dans  la  zone  situ\'e  vers  le  milieu  de  la
fen\^etre, mais pas  tr\`es bien sur les c\^ot\'es.  Il devrait suffir
de rajouter des points... Avec 10 points~; on obtient ceci~:
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm,angle=-90]{lagrange03.eps}
\end{center}
 H\'elas, ca ne s'arrange pas~! En fait, \c ca a m\^eme tendance \`a
empirer~:  sur les  c\^ot\'es,  le graphe  du  polyn\^ome de  Lagrange
s'\'eloigne   du   contour   souhait\'e.   Ce   ph\'enom\`ene   s'appelle
\emph{ph\'enom\`ene de Runge}. On  peut v\'erifier  qu'augmenter le
nombre de  points ne  fait qu'accentuer le  ph\'enom\`ene.  On  est en
fait confront\'e  au probl\`eme suivant~: \emph{m\^eme  si deux courbes
ont beaucoup de points en commun, ces courbes ne sont pas n\'ecessairement
proches  (entre deux  points communs  successifs, les  courbes peuvent
s'\'eloigner  beaucoup l'une  de l'autre)}.  Les  solutions trouv\'ees
dans les logiciels de dessins sont de deux types~:
\begin{itemize}
\item faire des ``polyn\^omes de Lagrange'' par morceaux~: si on
cherche   une  fonction   dont  le   graphe  passe   par   les  points
$M_1,\dots,M_n$, on peut consid\'erer  le polyn\^ome de Lagrange $P_1$
associ\'e  aux points  $M_1,M_2,M_3$, le  polyn\^ome de  Lagrange $P_2$
associ\'e aux  points $M_2,M_3,M_4$,  le polyn\^ome de  Lagrange $P_3$
associ\'e  aux points  $M_3,M_4,M_5$, etc.,  puis faire  une  sorte de
combinaison  de ces  polyn\^omes  pour trouver  une  fonction dont  le
graphe  passe par tous  les points  $M_1,\dots,M_n$. Ceci  diminue les
effets de bords~; 
\item utiliser des polyn\^omes dont le graphe ne passe pas
exactement par les points  sp\'ecifi\'es, mais seulement pr\`es de ces
points, et qui approche mieux le contour qu'on veut dessiner (en fait,
qui   approche   mieux  la   ligne   bris\'ee   joignant  les   points
successifs).    On peut alors utiliser une autre famille de
polyn\^omes, appel\'es \emph{polyn\^omes de Tchebychev}. 
\end{itemize}

Bien  entendu, Lagrange,  qui  est  mort en  1813,  n'a pas  invent\'e
les polyn\^omes  qui portent son nom pour  r\'esoudre des probl\`emes
de dessin sur ordinateur.  Le  but de  Lagrange  \'etait  de  montrer qu'on  peut
approcher  n'importe quelle  fonction par  une fonction  tr\`es simple
(ici une fonction polynomiale). Cette d\'emarche est \`a rapprocher de
celle du math\'ematicien et physicien Joseph Fourier (1768-1830) qui a
expliqu\'e comment approcher toute  fonction par une somme de fonctions
sinus et de cosinus. Terminons avec quelques indications sur la
vie et l'oeuvre de Lagrange.

\partie{Bibliographie}
 \textbf{Joseph Louis Lagrange (1736-1813)} est n\'e \`a Turin,
alors capitale  du royaume de Sardaigne, dans  une famille bourgeoise,
mais   relativement   peu  fortun\'ee.   Son   int\'er\^et  pour   les
math\'ematiques  na\^{\i}t  de  la   lecture  des  travaux  de  Halley  sur
l'utilisation  de   l'alg\`ebre  en  optique.   Ses  premiers  travaux
math\'ematiques,  portant sur l'application  du calcul  des variations
\`a la m\'ecanique, lui valent d'\^etre \'elu membre de l'Acad\'emie
de  Berlin d\`es  l'\^age  de  vingt ans.  Il  continue cependant  \`a
enseigner  \`a Turin  jusqu'en 1766,  date \`a  laquelle il  finit par
accepter un  poste prestigieux  \`a Berlin. Il  passera vingt  ans \`a
Berlin, avant de rejoindre Paris o\`u il terminera sa carri\`ere comme
Membre  de  l'Acad\'emie  des  Sciences et  professeur  d'Analyse  \`a
l'\'Ecole Polytechnique (cr\'e\'ee en 1794). 

Lagrange est l'un des plus grands math\'ematiciens de son \'epoque. Il a
apport\'e une contribution essentielle \`a des domaines aussi divers que~:
\begin{itemize}
\item[--] la m\'ecanique (il d\'eveloppe par exemple une
th\'eorie perturbative des orbites  des plan\`etes qu'il applique pour
expliquer certaines caract\'eristiques de l'orbite de la Lune),
\item[--] l'analyse des fonctions (c'est lui qui clarifie les notions de
d\'eriv\'ee,  et  l'\'enonc\'e   du  th\'eor\`eme  des  accroissements
finis), 
\item[--] l'approximation de fonctions (il introduit \`a ce propos les 
``polyn\^omes de Lagrange''), 
\item[--] la  r\'esolution des \'equations  polynomiales (par exemple,
  il  montre que  si $P$  est un  polyn\^ome \`a  coefficients r\'eels
  $a_1,\dots,a_n$, alors la valeur absolue de chaque racine r\'eelle de
  $P$ est inf\'erieure \`a $1+\max(|a_1|,\dots,|a_n|)$),
\item[--] la th\'eorie des nombres (recherche des
solutions enti\`eres de certaines \'equations),... 
\end{itemize}

\noindent\textbf{Note.}   Vous   pouvez    trouver   des   biographies   des
math\'ematiciens  les plus  importants,  avec un  r\'esum\'e de  leurs
contributions math\'ematiques, sur le site suivant~:

\noindent
\textit{http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/accueil.htm} 





\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{skieur}
\nomficimprimable{skieur}
\titrebookmark{Ski de fond et fonctions de plusieurs variables}
\Annee{2001}
\nocopyleft
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Pham}}
\AutresAuteurs{Matthieu \textsc{Romagny}}
\Titre{Ski de fond et fonctions de plusieurs variables}
\Date{2001/09/26}

\Niveau{\DEUGi}

\AnglePedagogique{\Experimental}

\AnglesSecondaires{\Visualisation}

\Theme{\FonctionsPlusieursVars}

\Objectif{Cet exercice a \'et\'e cr\'e\'e par Fr\'ed\'eric Pham dans sa presque totalit\'e
(sauf derni\`ere question: calcul du plan tangent due \`a Matthieu Romagny). Il est extrait de son ouvrage 
\emph{"Fonctions d'une ou deux variables"}
 \`a para{\^\i}tre aux \'editions \href{http\deuxpoints//www.dunod.com}{Dunod}. 

\emph{Commentaires de Matthieu Romagny.}
Le but de l'exercice est d'amener les \'etudiants \`a apprivoiser les fonctions
de plusieurs variables, tout d'abord en utilisant des dessins et l'intuition, puis en
menant les calculs correspondants. Le support --- lignes de niveau d'une carte IGN ---
a l'avantage d'\^etre certainement d\'ej\`a bien connu de beaucoup ! Remarque: lorsque
j'ai propos\'e cet exercice en TD, en début de DEUG1, il fallait compter plus d'une s\'eance
pour le mener \`a bout (environ 3 heures).}


\begin{exo}

La figure ci-dessous est une carte du relief d'une presqu'île: le contour extérieur
est la ligne de niveau 0 (bord de mer). L'équidistance des lignes de niveau est de 25 mètres.

\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{skieur.eps}
\end{center}

\qst{Partie exp\'erimentale}\label{experim}

\sq \label{pos1} Un skieur de fond perdu dans le brouillard s'arrête, les skis bien horizontaux
pour ne pas glisser, et cherche à se repérer à l'aide de son altimètre et de sa boussole.
Il voit qu'il se trouve à 100 mètres d'altitude, avec ses skis orientés droit vers l'est.
La pente est descendante vers sa gauche. Quelles est sa position sur la carte ?\footnote{Deux positions possibles}


\sq\label{pos2} Le skieur décide de continuer son chemin à la boussole, droit
vers l'est, jusqu'à atteindre la mer. Dessinez le profil du relief le long de l'itinéraire
qui l'attend, en évaluant les dénivelés successifs.

\sq Regardant mieux son altimètre avant de se mettre en route, le skieur s'aperçoit avec effroi
que celui-ci est cassé, de sorte qu'il ne peut connaître son altitude et que ce qu'il avait
déduit en (\ref{pos1}) est erroné. Tracez sur la carte l'ensemble de ses positions possibles.


Un plaisancier mouillant dans la baie située au sud de la presqu'île voudrait franchir la
presqu'île à skis pour rejoindre la côte nord, en se dirigeant toujours droit vers le nord.

\sq \label{pos4} Dessinez le profil du relief le long de divers itinéraires sud-nord, en évaluant pour chacun
de ces itinéraires l'altitude du point culminant. En quel point de la baie le plaisancier
doit-il aborder pour que son dénivelé soit le plus petit possible ? Marquez sur la carte
le point culminant de son itinéraire, et évaluez-en l'altitude.

\sq La presqu'île est soumise à un fort vent du nord. Coloriez sur la carte la zone de la
presqu'île abritée du vent, en essayant de délimiter avec précision le bord de cette zone.

\sq \label{pos6}En quel(s) point(s) de la carte un skieur, perdu dans un épais
brouillard, aura-t-il l'impression d'être sur un plateau ?

\qst{Partie << calculs >>}

En fait la fonction de la figure a pour expression
$$
f(x,y)=-\frac{x^3}{3}-xy-y^2+x+\frac{3}{2}
$$
(les valeurs des niveaux étant exprimées en centaines de mètres).

\sq Discutez, en fonction du paramètre $v$, l'allure du graphe de la fonction
$f_{|y=v}$ (restriction de $f$ à la droite ouest-est de latitude $v$).

\sq Précisez par le calcul votre résultat de la question \ref{experim}.\ref{pos2}.

\sq Discutez, ne fonction du paramètre $u$, l'allure du graphe de la fonction $f_{|x=u}$
(restriction de $f$ à la droite sud-nord de longitude $u$), et précisez par le calcul
vos résultats de la question \ref{experim}.\ref{pos4}.

\sq Retrouvez et précisez par le calcul votre résultat de la question \ref{experim}.\ref{pos6}.

\qst{Calcul d'un plan tangent}

Le skieur de \ref{experim}.\ref{pos1} est en fait à l'altitude de 216,66 mètres 
(mais il ne le sait pas !).
Cela correspond à $z=13/6$ centaines de mètres. \'Etant dans les conditions de \ref{experim}.\ref{pos1},
on peut alors calculer ses coordonnées $x=1$, $y=0$: vérifier que ces coordonnées sont cohérentes
avec l'équation donnée ci-dessus pour $z=f(x,y)$.

On veut trouver l'équation du plan tangent ${\bf P}$ à l'endroit où est le skieur.

\sq On veut trouver la << ligne de plus grande pente >> à l'endroit où est le skieur. Quelle
est sa direction ? (raisonnez dans le plan ${\bf P}$ en faisant un dessin).

\sq Donnez l'équation du profil du relief de la presqu'île passant par le skieur $(1,0,13/6)$,
et dirigé vers le nord.

\sq Donnez un vecteur directeur de la ligne de plus grande pente, puis l'équation de ${\bf P}$.

\textbf{Remarque~:} on pourra trouver d'autres exercices sur le m\^eme th\`eme sur la page de F.~Pham~: \href{http\deuxpoints//www-math.unice.fr/membres/fpham.html}{www-math.unice.fr/membres/fpham.html}.

\end{exo}
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\nomfic{sommes_de_racines}
\nomficimprimable{sommes\_de\_racines}
\FichierUnique\titrebookmark{Sommes de racines cinqui\`emes de l'unit\'e}
\Annee{2002}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2002/02/10}
\Titre{Sommes de racines cinqui\`emes de l'unit\'e}
\Niveau{\DEUGi} 
\AnglePedagogique{\Experimental}
\AnglesSecondaires{\Visualisation} 

\Theme{\Complexes}

\Objectif{
Exp\'erimenter, visualiser des sommes de nombres complexes, utiliser les propri\'et\'es du
groupe des racines de l'unit\'e (somme nulle, invariance par rotation).}

\begin{exo}
On consid\`ere l'ensemble des racines cinqui\`emes de l'unit\'e. On en choisit
certaines (entre une et cinq !), on fait leur somme, et on prend le
module de cette somme.

Quel est le plus grand nombre que l'on peut obtenir de cette mani\`ere~?

Autrement dit, si $U_5$ d\'esigne l'ensemble des racines cinqui\`emes de
l'unit\'e, la question consiste \`a calculer le nombre suivant~:
$$
\mathrm{Max}\left\{\left| \sum_{w \in E}w \right| \mbox{ avec } E \subset U_5       \right\}.
$$

\paragraph{Suggestions}
\begin{itemize}
\item Rassemblez vos connaissances sur les racines $n$i\`emes de l'unit\'e~;
\item exp\'erimentez~: repr\'esentez quelques-unes des  sommes impliqu\'ees
  dans le probl\`eme~; pouvez-vous les calculer~? Faites une conjecture, prouvez la conjecture~! 
\end{itemize}

\paragraph{G\'en\'eralisation}
G\'en\'eralisez l'\'enonc\'e pr\'ec\'edent. Essayez de deviner la r\'eponse au
probl\`eme g\'en\'eralis\'e. Prouvez votre conjecture...

 

\end{exo}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% TeX-master: t
%%% End: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\nomfic{suites-complexes}
\nomficimprimable{suites-complexes}
\titrebookmark{Suite des puissances d'un nombre complexe}
\Annee{2004}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{Fran\c{c}ois \textsc{B\'eguin}}
\Date{2004/05/01}
\Titre{Suite des puissances d'un nombre complexe}
\Niveau{\DEUGi} 
                
\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\Experimental} 
\AnglesSecondaires{\Decouverte} 
\Theme{\Suites} 
\ThemesSecondaires{\Complexes} 

\Objectif{Le but principal de l'exercice est de voir une suite qui a
comportement ``compliqu\'e'' (ni convergente ni p\'eriodique), bien
qu'\'etant d\'efinie par une formule simple et ``naturelle''~; d'ailleurs,
cette suite joue un r\^ole dans de nombreux ph\'enom\`enes (voir le
commentaire \`a la fin de l'exercice).

Au passage, on r\'evise le comportement des suites g\'eom\'etriques dans les
cas d\'ej\`a connus, et on peut comprendre g\'eom\'etriquement la multiplication
complexe.

\emph{La deuxi\`eme partie est pr\'evue pour \^etre distribu\'ee apr\`es que
les \'etudiants aient  r\'esolu le cas facile.}

\paragraph{Proposition de piste \`a fournir aux \'etudiants}

L'\'etude devrait avoir deux grandes \'etapes :

1) les cas faciles, quand le module de $z$ est diff\'erent de $1$ ;

2) le cas $|z|=1$; ce deuxi\`eme cas se subdivise bien s\^ur en
   rationnel/irrationnel (voir ci-dessous).

\paragraph{Cas faciles}~

-- S'ils bloquent d\`es le d\'ebut, leur faire remarquer que le
   comportement d\'epend sans doute du choix du nombre $z$ (il y a une
   infinit\'e de questions cach\'ee dans la questions !), il va
   peut-\^etre falloir s\'eparer l'\'etude en diff\'erent cas: il faut
   commencer par ``classer les '$z$' dans des bo\^{\i}tes''; comment
   trouver le crit\`ere de r\'epartition (les \'etiquettes sur les bo\^{\i}tes !)
 ? Bien s\^ur, il faut prendre des
   exemple de valeurs de $z$. Une bonne id\'ee est de commencer par le
   cas r\'eel (ils connaissent d\'ej\`a, et ça va servir). 

-- Une remarque cl\'e est d'utiliser l'\'ecriture ``coordonn\'ees polaires'' en module/argument 
(savoir choisir  la repr\'esentation des complexes adapt\'ee au probl\`eme
est certainement un objectif p\'edagogique important !): en effet, elle
s'entend bien avec la multiplication.

-- Il faudra utiliser $|ab|=|a||b|$. Et le cas des suites g\'eom\'etriques r\'eelles.

-- Une fois termin\'ee l'\'etude des cas faciles, demander un dessin
(par exemple pour $z=1/2$, puis $z=1/2 \times \exp(i\pi/6)$, pour que
l'on voit bien que la suite ``tourne'').

\paragraph{Cas difficiles} 
Une fois les cas faciles r\'esolus et  les cas difficiles identifi\'es, on
peut leur distribuer la seconde partie de l'\'enonc\'e, 
qui d\'ecompose la d\'emarche pour les cas difficiles.
}

\begin{exo}
\partie{}
On se donne un nombre complexe $z$. \'Etudier, en fonction de $z$, le
comportement de la suite 
$$
(z^n)_{n \geq 0}.
$$

\textbf{Aide :} il y a des cas facile, et des cas difficiles. Essayer
de trouver rapidement les cas faciles !

\partie{}
On suppose que vous avez r\'esolu le cas facile, quand le module de $z$
est diff\'erent de $1$.
On s'int\'eresse maintenant aux cas difficiles.

\qst{Cas p\'eriodique}
 Essayer de trouver tous les $z$ tels que la suite $(z^n)_{n \geq 0}$
soit p\'eriodique. Autrement dit, compl\'eter l'\'enonc\'e suivant :
\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}
La suite $(\exp(2i\pi n\theta))_{n \geq 0}$ est p\'eriodique si et
seulement si ...
\end{enonce1*}


\qst{Cas non p\'eriodique}
\ssq Donner un exemple de nombre $z$ tel que la suite $(z^n)_{n \geq
0}$ ne soit pas p\'eriodique. 

\ssq On suppose que la suite $(z^n)_{n \geq 0}$ n'est pas
p\'eriodique. Montrer que dans ce 
cas, elle ne prend jamais deux fois la m\^eme valeur.

\ssq Traduire en symboles math\'ematiques la propri\'et\'e suivante (pour le
moment, on ne demande pas de la d\'emontrer !) :

\noindent \emph{On peut trouver des \'el\'ements de la suite aussi pr\`es qu'on veut de
$1$ dans $\bbC$.}

\ssq Compl\'eter l'\'enonc\'e suivant (on l'appelle ``principe des
tiroirs'') :

\noindent \emph{Si on a $1000$ points distincts sur le cercle unit\'e, alors il y en
a forc\'ement deux qui sont \`a distance plus petite que $\dots$.}

\`A l'aide de ce principe, d\'emontrer que l'on  peut effectivement trouver des
\'el\'ements de la suite aussi pr\`es qu'on veut de $1$ dans $\bbC$.

\ssq  En d\'eduire que tout arc de cercle de longueur plus grande que $\dots$
    contient (au moins) un  point de la suite.

\ssq En  d\'eduire que tout arc de cercle contient une infinit\'e de points de
   la suite...



\partie{Commentaires} 
Il  existe  de tr\`es  nombreux  probl\`emes  dans l'\'etude  desquels
appara\^{\i}t  la  suite  des   puissances  d'un  nombre  complexe  de
module~$1$.   En fait,  ce  genre de  suite  appara\^{\i}t d\`es  qu'on
\'etudie  une  situation   o\`u  se  superposent  deux  ph\'enom\`enes
p\'eriodiques de p\'eriodes diff\'erentes.  

Voici un premier  exemple simple. La terre tourne  autour du soleil en
environ  365,24 jours;  c'est pourquoi  l'ann\'ee de  notre calendrier
gr\'egorien 
(qui est un calendrier solaire)  comporte en moyenne 365,24 jours (365
ou 366 selon que l'ann\'ee  est bissextile ou pas).  Une lunaison dure
environ 29,53  jours; c'est pourquoi l'ann\'ee  du calendrier musulman
(qui est  un calendrier  lunaire) comporte en  moyenne 12*29,53=354,36
jours (354  ou 355 jours selon  que l'ann\'ee selon  que l'ann\'ee est
normale ou  \emph{abondante}).  C'est  pourquoi le d\'ebut  du ramadan
(le 237${}^{ieme}$ jour de l'ann\'ee musulmane) correspond chaque
ann\'ee     \`a     un      jour     diff\'erent     du     calendrier
gr\'egorien. Existera-t-il  une ann\'ee o\`u le  ramadan commencera le
1${}^{er}$ janvier  ?  En r\'efl\'echissant un  peu, vous devriez
comprendre pourquoi la r\'eponse \`a cette question est li\'ee au
comportement de la suite $(z^n)_{n\geq      0}$       avec
$z=e^{i2\pi\frac{354,36}{365,24}}$.  

Et  maintenant  un  exemple   nettement  plus   sophistiqu\'e.  On
consid\`ere une plan\`ete $\calp$ (par exemple, la Terre) soumise \`a
l'attraction gravitationnelle d'une \'etoile $\cale$ (le Soleil).  Si
la  plan\`ete $\calp$  n'est  pas  soumise \`a  d'autres  forces, on  sait
(depuis Newton) \'ecrire et r\'esoudre les \'equations du mouvement du
syst\`eme.  En particulier, on sait que, dans ce cas, la plan\`ete $\calp$
a un  mouvement p\'eriodique,  et que sa  trajectoire est  une ellipse
``autour'' de l'\'etoile $\cale$.  Notons $T$ la p\'eriode de ``rotation''
de la plan\`ete $\calp$  autour de l'\'etoile $\cale$.  Supposons maintenant
qu'il  existe une deuxi\`eme  pan\`ete $\calp'$  nettement plus  grosse que
$\calp$ (par  exemple, Jupiter) qui  gravite autour de $\cale$,  et notons
$T'$ la p\'eriode de rotation de $\calp'$ autour de l'\'etoile
$\cale$. La plan\`ete $\calp'$  exerce une force d'attraction gravitationnelle
sur la  plan\`ete $\calp$. Cette force  est tr\`es petite  par rapport \`a
l'attraction de l'\'etoile $\cale$;  n\'eanmoins, au bout d'un tr\`es long
temps, cette force pourrait  faire d\'evier beaucoup la plan\`ete $\calp$,
et  m\^eme  l'ejecter du  syst\`eme.   La  force  d'attraction que  la
plan\`ete $\calp'$ exerce sur la plan\`ete $\calp$ perturbe-t-elle beaucoup la
trajectoire  de  la plan\`ete  $\calp$~?   Un th\'eor\`eme  math\'ematique
(difficile et profond) affirme que la r\'eponse d\'epend en
particulier du comportement de la suite $(z^n)_{n\geq 0}$ o\`u
$z=e^{i2\pi\frac{T}{T'}}$~: si  les termes de cette suite  ne sont pas
``bien r\'epartis''  sur le cercle  unit\'e, alors l'attraction de la
plan\`ete  $\calp'$ risque de  perturber beacuoup  la trajectoire  de la
plan\`ete $\calp$.  


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Bilan}

Le but  \'etait d'\'etudier,  en fonction du nombre complexe  $z$, le
comportement de la suite 
$$(z^n)_{n\geq 0}$$
et  de   voir  que  cette  suite,  pourtant   d\'efinie  de  mani\`ere
extr\^emement  simple,   a  un  comportement   tr\`es  compliqu\'e  pour
certaines valeurs de $z$.  

\bigskip

\bigskip

M\^eme  si  les  cas int\'eressants  ne  sont  pas  ceux o\`u  la  suite
poss\`ede une limite, commen\c  cons par quelques rappels et remarques
sur la limite d'une suite de nombre complexes.

\begin{enonce2*}{D\'efinitions}
On dit qu'une  suite de nombres complexes $(u_n)_{n\geq  0}$ tend vers
un nombre complexe $c$ si le module de $u_n-c$ tend vers $0$ quand $n$
tend vers l'infini. \\
%De mani\`ere \'equivalente, la suite $(u_n)_{n\geq
%  0}$  tend vers  le  nombre complexe  $c$,  si la  suite des  parties
%r\'eelles des  $u_n$ tend  vers la  partie r\'eelle de  $c$, et  si la
%suite des parties imaginaires des $u_n$ tend vers la partie imaginaire
%de $c$.\\ 
On  dit  qu'une  suite   de  nombre  complexes
$(u_n)_{n\geq 0}$ tend  vers l'infini si le module  de $u_n$ tend vers
l'infini quand $n$ tend vers l'infini. 
\end{enonce2*}


\begin{enonce2*}{Remarque}
Dans $\bbR$, il y avait deux mani\`eres d'aller \`a l'infini : tendre vers
 $+\infty$ ou $-\infty$. Mais
 dans $\bbC$, tendre vers $+\infty$ ou $-\infty$ n'a aucun sens. C'est
 pourquoi la d\'efinition ci-dessus ne d\'efinit qu'une seule mani\`ere de tendre
 vers l'infini.
\end{enonce2*}


Passons maintenant  \`a l'\'etude de la suite  $(z^n)_{n\geq 0}$. Pour
ce faire,  on \'ecrit $z=\rho e^{i\theta}$  o\`u $\rho\in [0,+\infty[$
est le module de $z$ et $\theta\in\bbR$ est un argument de $z$. On voit
alors que 

\smallskip

\centerline{$\mbox{pour tout }n\geq 0,\mbox{ on a }z^n=\rho^n 
e^{in\theta}.$} 

\smallskip

\noindent Autrement dit, le module de $z^n$ est $\rho^n$, et
l'argument de $z^n$ est $n\theta$.

\medskip

\begin{enonce2*}{Remarque}
Si on \'ecrit  $z$ sous la forme $a+ib$ (avec $a$  et $b$ r\'eels), on
est  bien  en peine  pour  calculer $z^n$  (sauf  dans  les cas  tr\`es
particuliers o\`u $z$  est r\'eel ou imaginaire pur).  On peut essayer
d'utiliser  le   bin\^ome  de  Newton,  mais  ça   donne  une  formule
inutilisable.  Moralit\'e~: \emph{quand  on veut  calculer les puissances  d'un nombre
  complexe $z$, il faut \'ecrire $z$ sous la forme $\rho e^{i\theta}$,
  et surtout pas sous la forme $a+ib$.} \footnote{Plus g\'en\'eralement,
pour chaque probl\`eme concernant les nombres complexes, il faut se
demander laquelle des deux formes ($a+ib$ ou $\rho e^{i\theta}$) va
\^etre la plus adapt\'ee au probl\`eme.}
\end{enonce2*}



\subsection*{Cas o\`u le module de $z$ est diff\'erent de~$1$}
Si $\rho$ est strictement plus grand que~$1$,
alors $\rho^n$  tend vers l'infini  quand $n$ tend vers  l'infini. Par
cons\'equent, si le module de  $z$ est strictement plus grand que~$1$,
alors la suite  $(z^n)_{n\geq n}$ tend vers l'infini  dans $\bbC$ (voir
la d\'efinition ci-dessus). 

Si $\rho$ strictement  plus petit  que $1$,  alors $\rho^n$
tend vers  $0$ quand $n$ tend  vers l'infini. Par  cons\'equent, si le
module  de $z$  est strictement  plus  petit que~$1$,  alors la  suite
$(z^n)_{n\geq 0}$ tend vers $0$ dans $\bbC$.  



\subsection*{Cas o\`u le module de $z$ est \'egal \`a $1$}
Il reste \`a consid\'erer le cas o\`u le module de $z$ est \'egal \`a
$1$. On  commence par remarquer que,  dans ce cas, le  module de $z^n$
est \'egal \`a $1$ pour tout $n$; autrement dit, tous les termes de la
suite $(z^n)_{n\geq 0}$  sont sur le cercle unit\'e.  Ceci est loin de
d\'eterminer compl\`etement le  comportement de la suite $(z^n)_{n\geq
  0}$.

Pour essayer de visualiser le comportement de la suite $(z^n)_{n\geq
  0}$, on remarque que chaque terme  de la suite est obtenu \`a partir
  du pr\'ec\'edent par une rotation  de centre $0$ et d'angle $\theta$
  (o\`u  $\theta$ est  l'argument  de $z$).  Ceci  permet de  dessiner
  facilement  les premiers termes  de la  suite $(z^n)_{n\geq  0}$: on
  part  de $z^0=1$,  on ``tourne  de $\theta$''  pour obtenir  $z$, on
  ``tourne de $\theta$'' pour obtenir $z^2$, \textit{etc.}.

Il est alors naturel de se poser les questions suivantes : la suite
repasse-t-elle  plusieurs  fois  par  la  m\^eme  valeur  ?   Est-elle
p\'eriodique~?  Sinon, que dire de son comportement ? 
On d\'emontre d'abord le r\'esultat suivant: 

\medskip

\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}
La suite  $(z^n)_{n\geq 0}$ est p\'eriodique si  et seulement si
  le module de $z$ est \'egal \`a~$1$ et l'argument de $z$ est un nombre
rationnel multipli\'e par $2\pi$.
\end{enonce1*}
 Le th\'eor\`eme nous dit en particulier que si l'argument de $z$ n'est pas un
rationnel  multipli\'e par  $2\pi$, alors  la suite  $(z^n)_{n\geq 0}$
n'est pas p\'eriodique.  Pla\c cons-nous dans ce cas.  On montre alors
que  les termes  de  la suite  sont  tous distincts.  En utilisant  le
\emph{principe des tiroirs}, on  en d\'eduit qu'il existe ``des termes
de la suite situ\'es aussi pr\`es qu'on veut de $1$''. Puis, on en
d\'eduit que dans chaque arc  (m\^eme tr\`es petit) du cercle unit\'e,
il y a une infinit\'e de termes de la suite. Une autre fa\c con de le
dire est que la suite passe  (et repasse une infinit\'e de fois) aussi
pr\`es qu'on veut  de chaque point du cercle unit\'e...  On dit que la
suite est \emph{dense dans le cercle unit\'e}. 

\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}{}
Si  l'argument de $z$ n'est pas un
rationnel  multipli\'e par  $2\pi$, alors  la suite  $(z^n)_{n\geq 0}$
est dense dans le cercle unit\'e.
\end{enonce1*}


\begin{enonce2*}{Remarque}
Attention, m\^eme dans  ce dernier cas, la suite  $(z^n)_{n\geq 0}$ ne
passe pas  par chaque  point du cercle  unit\'e. Ce qu'on  a montr\'e,
c'est qu'elle  passe arbitrairement pr\`es  de chaque point  du cercle
unit\'e ; c'est tr\`es diff\'erent.
\end{enonce2*}


\subsection*{En r\'esum\'e} 

\noindent $\bullet$ Si $|z|>1$, alors la suite tend vers l'infini. 

\noindent $\bullet$ Si $|z|<1$, alors la suite $(z^n)_{n\geq 0}$ tend vers $0$. 

\noindent $\bullet$  Si $|z|=1$,  et que
l'argument de  $z$ est un  rationnel multipli\'e par $2\pi$,  alors la
suite est p\'eriodique. 

\noindent $\bullet$ Enfin,  si $|z|=1$, et
que l'argument de  $z$ n'est pas un rationnel  multipli\'e par $2\pi$,
alors la suite est dense dans le cercle unit\'e. 

\bigskip

\bigskip

\subsection*{Commentaires} 

\noindent  1 - 
% Il  ne faut  surtout  pas croire  que le  comportement
%compliqu\'e de la suite \'etudi\'ee ci-dessus  soit li\'e au fait que  ce soit une suite
%`a  valeurs  complexes.  Ainsi,  
Consid\'erons la  suite  de  nombres
r\'eels $(\cos  n)_{n\geq 0}$.  On  remarque que, quel que soit  $n$, le
r\'eel $\cos n$ n'est autre que la partie r\'eelle du nombre complexe
$z^n$ avec  $z=e^i=e^{i \times 1}$. Comme $1$  n'est pas de la  forme $2\pi\theta$
avec $\theta$ rationnel,  il r\'esulte de ce qui  pr\'ec\`ede que tout
arc du  cercle unit\'e contient une  infinit\'e de termes  de la suite
$(z^n)_{n\geq  0}$.  On peut en d\'eduire  que tout  intervalle
inclus dans  $[-1,1]$ contient  une infinit\'e de  termes de  la suite
$(\cos  n)_{n\geq 0}$. Autrement  dit :

\begin{enonce1*}{Corollaire}{}
La  suite $(\cos  n)_{n\geq 0}$
passe, et repasse  une infinit\'e de fois, aussi  pr\`es qu'on veut de
chaque point de $[-1,1]$. On dit que la suite $(\cos n)_{n\geq 0}$ est
\emph{dense dans $[-1,1]$}. 
\end{enonce1*}

\noindent  2  -  L'arithm\'etique  et l'\'etude  des  suites  semblent
\emph{a  priori}   \^etre  des  domaines   math\'ematiques  disjoints.
Pourtant,  on   a  vu  ci-dessus  un  lien   entre  une  propri\'et\'e
arithm\'etique  d'un nombre  (l'argument  de $z$)  et le  comportement
d'une  suite  (la suite  $(z^n)_{n\geq  0}$).  En  fait, il  existe  de
nombreux liens de ce type.  
 


\paragraph{Dessins}
Ci dessous, on a repr\'esent\'e la suite $z^n$ avec $z=e^{i}$ : les 10
premiers points (1) en les reliant, (2) sans les relier;

%\enlargethispage{2cm}
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm,angle=-90]{puissances01.eps} \hspace{1.5cm}
\includegraphics[height=5cm,angle=-90]{puissances02.eps}
\end{center}

 
Toujours pour la m\^eme suite, (3) les 100
premiers points, (4) les 500 premiers points.
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm,angle=-90]{puissances03.eps} \hspace{1.5cm}
\includegraphics[height=5cm,angle=-90]{puissances04.eps}
\end{center}

 De m\^eme, de bas en haut, les 10, 100,
500 premiers points de la suite $(\cos n)$ dans le segment $[-1,1]$. 
\begin{center}
\includegraphics[height=10cm,width=6cm,angle=-90]{puissances05.eps}
\end{center}


\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\separation


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{champignons}
\nomficimprimable{champignons}
\FichierUnique\titrebookmark{Cardinal d'une reunion d'ensembles}
\Annee{2002}
\Titre{Cardinal d'une reunion d'ensembles}
\Auteur{Pierrette \textsc{Santenac}}

\Date{2002/12/04} % Format AAAA/MM/JJ. pour le 5 mars 2001: \Date{2001/03/05}

\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...

\AnglePedagogique{\Langage} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\Theme{\Ensembles} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...


\Objectif{On peut inciter les \'el\`eves a
chercher une formule donnant le cardinal de l'union de 2 ensembles
(probablement juste avec des patates), puis d'essayer de g\'en\'eraliser
(peut-\^etre en devinant la formule avec des patates, puis/ou bien en
d\'eveloppant a l'aide de la formule pour l'union de 2).
} % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}

\sq 
On s'int\'eresse au nombres de v\'ehicules \`a quatre roues situ\'es sur un parking.
On a recuelli les informations suivantes:
\begin{quote}
il y a 100 v\'ehicules de la marque 'Renault', 85 v\'ehicules de couleur claire, et 36 v\'ehicules de marque Renault et de couleur fonc\'ee.  
\end{quote}

Peut-on d\'eterminer le nombre de v\'ehicules sur le parking ?

Quelle information suppl\'ementaire permettrait de connaitre le nombre exact 
de v\'ehicules ? 

\sq
Lors d'une cueillette , on a ramass\'e 42 champignons \`a chapeau convexe, 26 \`a lamelles, 15 \`a chair rose.
\begin{itemize}
\item Parmi les champignons \`a chapeau convexe, 17 avaient des lamelles et 8 une chair rose.
\item Parmi les champignons \`a lamelles 6 (dont 2 avec un chapeau convexe)
avaient une chair rose.
\item Combien a-t-on ramass\'e de champigons ? (on suppose implicitement une information suppl\'ementaire.)
\item Combien de champignons \`a chapeau convexe  n'avaient ni  la  chair rose  ni des lamelles ? 
\end{itemize}

\end{exo}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{manteaux}
\nomficimprimable{manteaux}
\FichierUnique\titrebookmark{Faire des manteaux avec des matrices.}
\Annee{2001}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}
\Titre{Faire des manteaux avec des matrices.}
\Date{2001/09/11}
\Niveau{\DEUGi} 
\AnglePedagogique{\Langage}
\AnglesSecondaires{\AQuoiCaSert} 
\Theme{\AlgLin} 
\ThemesSecondaires{} %Eventuellement, les themes secondaires separes par des virgules

\Objectif{Les tableaux de nombres qui ont donn\'e naissance aux matrices apparaissent
naturellement dans ce contexte de produits form\'es \`a partir des m\^emes ingr\'edients.
Le but de l'exercice est de mettre les matrices dans ce contexte o\`u
la composition des matrices est compl\`etement naturelle (on a deux tableaux, et on
cherche un autre tableau). L'exercice lui-m\^eme est \'el\'ementaire.} 


\begin{exo}
 Une entreprise fabrique des manteaux\footnote{Si un jour vous deviez r\'ealiser un manteau, 
il serait raisonnable de ne pas vous baser aveugl\'ement sur
les donn\'ees de l'exercice !}. 
Ces manteaux sont compos\'es
de tissu rouge, de tissu bleu, et d'une doublure noire.
Le tableau suivant r\'esume la quantit\'e de chaque tissu n\'ecessaire
\`a la confection du manteau en tailles S, M et L.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l||r|r|r|r|}
\hline
Taille      & S         & M        & L & XL\\
\hline
Tissu rouge & 0,4m$^2$  & 0,5m$^2$ & 0,6m$^2$ & 0,7m$^2$ \\
Tissu bleu  & 1m$^2$ & 1,1m$^2$ & 1,2m$^2$ & 1,3m$^2$\\
Doublure    & 1,5m$^2$ & 1,7m$^2$ & 1,9m$^2$ & 2,1m$^2$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Chaque tissu est tiss\'e \`a l'aide plusieurs types de fil:
coton, polyester, et polyamide.
Le tableau suivant r\'esume les longueurs de fil de chaque type n\'ecessaire 
par m\`etre carr\'e de tissu.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l||r|r|r|}
\hline
Tissu      & rouge         & bleu        & doublure \\
\hline
Coton      & 500m          & 400m        & 1000m  \\
Polyamide  & 1000m         & 900m        & 700m \\
Polyester  & 500m          & 600m        & 0    \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Questions: 

\sq L'entreprise veut produire $a$ manteaux taille $S$, $b$ manteaux taille $M$,
$c$ manteaux taille $L$ et $d$ manteaux taille $XL$. Quelle quantit\'e de fil de chaque
cat\'egorie doit-elle commander ? 
R\'epondre \`a cette question dans le langage des matrices.

\sq En fin d'ann\'ee, l'entreprise veut \'ecouler enti\`erement ses stocks de fils.
Il lui reste 100.000m de coton et de polyamide, et 20.000m de Polyester. 
Peut-elle transformer enti\`erement ses stocks de fils en manteaux ?


\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{derivation}
\nomficimprimable{derivation}
\FichierUnique\titrebookmark{La d\'erivation vue comme une application lin\'eaire}
\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2001/09/01}

\Titre{La d\'erivation vue comme une application lin\'eaire}
\Niveau{\DEUGi}
\NiveauxSecondaires{\DEUGii}
\AnglePedagogique{\Langage}
\AnglesSecondaires{} 
\Theme{\AlgLin} 
\ThemesSecondaires{}

\Objectif{L'alg\`ebre lin\'eaire dans les espaces
fonctionnels pose de redoutables probl\`emes aux \'etudiants. En
particulier, celui du type d'objets manipul\'e, parce que les objets
ont souvent un double statut (\`a la fois fonction ET vecteur par
exemple). Suggestion : ne pas faire comme si il n'y avait pas de
probl\`eme, et qu'il suffisait d'appliquer les d\'efinitions comme d'habitude...
} 
% Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}
 On consid\`ere la question suivante :

\begin{itemize}
\item[]
``Soit $E$ l'espace vectoriel de dimension 2 engendr\'e par les fonctions $\sin$ et $\cos$.
Calculer le d\'eterminant de l'application ``d\'erivation'' de $E$
dans $E$.''
\end{itemize}

\sq Pr\'eciser la question en relevant toutes les affirmations
implicites ou ambig\"ues\footnote{Par exemple, faudrait-il pr\'eciser
dans quelle base il faut faire le calcul ?}, et r\'ediger un
\'enonc\'e d'exercice d\'etaill\'e.

\sq Montrer les affirmations implicites.

\sq R\'epondre \`a la question.

\sq Donner l'inverse de cette application ``d\'erivation'' 
par deux m\'ethodes diff\'erentes.

\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{signe-somme}
\nomficimprimable{signe-somme}
\FichierUnique\titrebookmark{Manipulation du Signe Somme}
\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2001/09/01}
%Faire un fichier par exercice. 
\Titre{Manipulation du Signe Somme}
\Niveau{\DEUGii} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi, \DEUGii, \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{} %Les niveaux secondaires separes par des virgules
\AnglePedagogique{\Langage} %l'angle pedagogique principale. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Recherche, ...
\AnglesSecondaires{\DifficultesOubliees} %Les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules
\Theme{\Series} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...
\ThemesSecondaires{} %Themes secondaires separes par des virgules

\Objectif{D\'ecomplexer les \'etudiants face \`a ce signe nouveau. Les
faire r\'efl\'echir sur les variables locales (on dit parfois
``muettes'') et globales, et sur les changements d'indice. Ces
exercices semblent \^etre un pr\'eliminaire indispensable \`a l'\'etude des
s\'eries, d'autant plus qu'ils posent de r\'eels
probl\`emes aux \'etudiants.

Suggestion : l'id\'eal serait que les \'etudiants s'approprient
vraiment ce symbole. Pour \c{c}a, un moyen consiste \`a leur faire
inventer des formules l'utilisant... Exercice \`a compl\'eter !
} % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}
% mettre ici le texte de l'exercice.
% pour introduire une sous-question, utiliser la commande \sq
% Ne pas utiliser de macro exotique sans la definir.
% Conventions: les nombres reels, complexes, entiers etc: \bbR \bbC \bbN.
% Lettres caligraphiques: \cala \calb \calc \cald etc... donnent des A,B,C,D caligraphiques.
% les fichiers de figures doivent etre dans un repertoire nommé "figures".
\paragraph{Question 1 : \'ecriture avec ou sans  signe $\sum$.}\hspace{0cm}

\sq Ecrire sans $\sum$ :
$$
\sum_{n=0}^N (-1)^n ,\ \ \sum_{p=1}^{n}p ,\ \ \sum_{p=1}^{n}n ,\ \
\sum_{p=1}^{n}\frac{n}{p}
$$

\sq Ecrire avec $\sum$ :
$$
1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots
$$

\paragraph{Question 2 : variables de comptage.}
Les \'egalit\'es suivantes sont-elles vraies :
$$
\sum_{p=1}^{n}(p\times n) = \sum_{k=1}^{n}(k \times n) = n \times
\sum_{k=1}^{n} k = k \times \sum_{k=1}^{n}n
$$


\paragraph{Question 3 : substitution.}
Soit
$$
S_n=\sum_{p=1}^{2n^2}\frac{1}{\sqrt p} .
$$

\sq Combien y a-t-il de termes dans cette somme ?

\sq Ecrire la somme $S_{2n}$. Combien contient-elle de termes ?

\sq Soit $S_{2n}^{\mathrm{impair}}$ la somme des termes de $S_{2n}$
d'ordre impair (obtenus pour p=1, 3, 5, ...). On d\'efinit de m\^eme
$S_{2n}^{\mathrm{pair}}$ ; on a donc
$S_{2n}=S_{2n}^{\mathrm{impair}}+S_{2n}^{\mathrm{pair}}$. Ecrire les
sommes $S_{2n}^{\mathrm{pair}}$ et $S_{2n}^{\mathrm{impair}}$.

\paragraph{Question 4.} 
Calculez les sommes suivantes :
$$
\sum_{k=1}^{n} \sum_{p=0}^{k} p , \ \ \sum_{k=1}^{n} \sum_{p=0}^{k} k
,\ \ \sum_{k=1}^{n} \sum_{p=0}^{k} n .
$$

\paragraph{Question 5.}  Soit
$$
S_N=\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n+N}.
$$
 De quelle s\'erie est-ce la somme partielle ?

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{parties_et_procede_diagonal}
\nomficimprimable{parties\_et\_procede\_diagonal}
\FichierUnique\titrebookmark{Parties d'un ensemble et proc\'ed\'e diagonal}
\Annee{2002}
\Titre{Parties d'un ensemble et proc\'ed\'e diagonal}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}

\Date{2002/12/04} % Format AAAA/MM/JJ. pour le 5 mars 2001: \Date{2001/03/05}

\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...

\NiveauxSecondaires{} %Eventuellement, les niveaux secondaires separes par des virgules 

\AnglePedagogique{\Langage} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Ensembles} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{} %Eventuellement, les themes secondaires separes par des virgules

\Objectif{L'exercice commence par introduire le codage des parties d'un
ensemble par leur fonction caract\'eristique, 
puis leur montre le proc\'ed\'e diagonal de Cantor.
L'exercice fait manipuler aux \'etudiants les notions de bijections, injections, applications, compl\'ementaire.

C'est volontairement qu'on parle d'ensemble quelconque (sans preciser que cela signifie fini ou infini),
et c'est la derniere question qui doit leur faire realiser que la construction marche aussi pour un ensemble infini.
On peut alors les faire r\'efl\'echir sur l'existence d'infinis plus grand que d'autres...
} % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}

\qst{Codage des parties d'un ensemble fini}

Dans tout l'exercice, on notera $B = \{0,1\}$ (\emph{ensemble
des "bits"}). 

Soit $E = \{a_{1},\ldots,a_{n}\}$ un ensemble \`a $n$ \'el\'ements
($n \geq 1$). \`A toute partie $A$ de $E$, on associe son
\emph{application caract\'eristique}:
$$
\chi_{A} \;:\;
\begin{cases}
E \rightarrow B \\
x \mapsto 
\begin{cases} 
1 \text{~si~} x \in A \\ 0 \text{~si~} x \not\in A 
\end{cases}
\end{cases}
$$
On peut coder l'application $\chi_{A}$ par un \emph{vecteur de bits}
("bit vector") $V_{A} = (\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n})$, o\`u
$\epsilon_{i} = \chi_{A}(a_{i})$. Autrement dit, le $i$-\`eme bit
$\epsilon_{i}$ est mis \`a $1$ si $a_{i}$ est \'el\'ement de $A$,
sinon, il est mis \`a $0$
\footnote{C'est la m\'ethode utilis\'ee dans le langage \textsc{Pascal} (par exemple)
pour coder le type de donn\'ees \emph{ensemble}.}. 

\sq On prend ici $n = 3$ et $E = \{1,2,3\}$. Enum\'erer toutes les
parties de $E$. Pour chacune, expliciter son application 
caract\'eristique ainsi que le vecteur de bits associ\'e. 
On pr\'esentera les r\'esultats sous forme de tableau. 

\sq \ssq On se replace dans le cas g\'en\'eral ($n$ quelconque). 
Montrer que l'application de $\mathcal{P}(E)$ dans 
$\mathcal{F}(E,B)$ qui \`a une partie $A$ de $E$ associe
sa fonction caract\'eristique $\chi_{A}$ est bijective. 
Pour cela, on explicitera son application r\'eciproque. 

\ssq Montrer de m\^eme que l'application $\mathcal{P}(E)$ dans 
$B^{n}$  qui \`a une partie $A$ de $E$ associe son vecteur
de bits $V_{A}$ est bijective. 

La bijectivit'e de cette application a-t-elle un int\'er\^et, en termes du codage mentionn\'e au dessus ?

\ssq En d\'eduire le cardinal de $\mathcal{P}(E)$. 

\sq \ssq On note $\overline{0} = 1$ et $\overline{1} = 0$ 
(\emph{bit compl\'ementaire}); autrement dit,
$\forall \epsilon \in B \;,\; \overline{\epsilon} = 1 - \epsilon$.
Pour tout vecteur de bits 
$V =  (\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n}) \in B^{n}$,
on note 
$\overline{V} = (\overline{\epsilon_{1}},\ldots,\overline{\epsilon_{n}})$. 
A quelle partie de $E$ correspond le vecteur de bits $\overline{V_{A}}$ ? 

\ssq D\'ecrire de m\^eme le vecteur de bits associ\'e \`a $A \cup A'$,
\`a $A \cap A'$.


\qst{Le proc\'ed\'e diagonal de Cantor}

\sq Montrer que pour tout entier naturel $n$, 
$2^{n} > n$. En d\'eduire que, pour tout ensemble fini $E$, il
n'existe aucune application surjective de $E$ sur $\mathcal{P}(E)$. 

\sq On prend maintenant $E = \{1,\ldots,n\}$. On consid\`ere
$n$ parties de $E$, not\'ees $A_{1},\ldots,A_{n}$. Pour tout
$i \in \{1,\ldots,n\}$, on note 
$V_{A_{i}} = (\epsilon_{i,1},\ldots,\epsilon_{i,n})$ 
le vecteur de bits associ\'e. Puis, pour tout $i \in \{1,\ldots,n\}$, 
on note $\epsilon'_{i} = \overline{\epsilon_{i,i}}$.
On note enfin $V' = (\epsilon'_{1},\ldots,\epsilon'_{n})$
et $A'$ l'unique partie de $E$ dont le vecteur de bits associ\'e
est $V'$. 

\ssq Donner un exemple de ces constructions, sous forme de tableau,
lorsque $n = 10$. 

\ssq En g\'en\'eral, montrer que $A'$ n'est \'egal \`a aucune des
parties $A_{i}$. On raisonnera par l'absurde: si l'on avait
$A' = A_{i}$ pour un certain $i \in \{1,\ldots,n\}$, quelle serait
la valeur du $i$-\`eme bit du vecteur associ\'e \`a cette partie ? 

\ssq Retrouver ainsi le r\'esultat de la question a. Indication : si
$f$ est une application de $E$ dans $\mathcal{P}(E)$, on note 
$A_{1} = f(1),\ldots,A_{n} = f(n)$; on constate alors que la partie
$A'$ construite ci-dessus n'appartient pas \`a l'ensemble image de $f$. 

\ssq V\'erifier que $A' = \{i \in E \;/\; i \not\in A_{i}\}$. 

\sq On s'inspire ici de la question b pour d\'emontrer le th\'eor\`eme 
suivant: $E$ \'etant un ensemble \emph{quelconque}, il n'existe aucune 
application surjective de $E$ sur $\mathcal{P}(E)$. Supposons donc que
$f$ est une application de $E$ dans $\mathcal{P}(E)$. Posons:
$$
A' = \{x \in E \;/\; x \not\in f(x)\}.
$$

\ssq V\'erifier que cette d\'efinition a bien un sens. 

\ssq Montrer qu'il n'existe aucun \'el\'ement $x$ de $E$ tel que 
$A' = f(x)$. On raisonnera par l'absurde: si l'on avait $A' = f(x)$,
aurait-on $x \in A'$ ou $x \not\in A'$ ? 

\ssq Conclure. 

\ssq Pourquoi, dans l'\'enonc\'e du th\'eor\`eme, a-t-on pr\'ecis\'e
que l'ensemble $E$ \'etait "quelconque" ?



\end{exo}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{passage_au_quotient}
\nomficimprimable{passage\_au\_quotient}
\FichierUnique\titrebookmark{Passage au quotient pour une application}
\Annee{2002}
\Titre{Passage au quotient pour une application}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}

\Date{2002/12/05} % Format AAAA/MM/JJ. pour le 5 mars 2001: \Date{2001/03/05}

\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...

\AnglePedagogique{\Langage} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Ensembles} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{Relations d'equivalence} %Eventuellement, les themes secondaires separes par des virgules

\Objectif{Le but de l'exercice est d'introduire le passage au quotient d'une application dans la situation la plus
simple possible: la parit\'e dans $\bbZ$. Il est en particulier important de donner un exemple d'application qui ne passe PAS
au quotient (derni\`ere question).} % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}


On d\'efinit une relation $\mathcal{R}$ sur l'ensemble $\mathbb{Z}$
des entiers relatifs par:
$$
\forall x,y \in \mathbb{Z} \;:\; x \mathcal{R} y \Leftrightarrow
x \text{~et~} y \text{~ont m\^eme parit\'e}$$
(autrement dit, ils sont tous deux pairs ou tous deux impairs).

\sq V\'erifier qu'il s'agit bien d'une relation d'\'equivalence. 

\sq On note $\overline{x}$ la classe d'\'equivalence de l'entier $x$ 
et $\overline{\mathbb{Z}}$ l'ensemble quotient de $\mathbb{Z}$
par $\mathcal{R}$ (donc, l'ensemble des classes d'\'equivalence). 

Combien y a-t-il de classes d'\'equivalence diff\'erentes ?

\sq Soient $a,b,c$ des entiers, et soit $f(x) = a x^{2} + b x + c$. 
On veut essayer de donner un sens a cette fonction dans $\overline{\bbZ}$,
c'est \`a dire d\'efinir une fonction $\overline{f}(\overline{x})$
\`a valeurs dans $\overline{\bbZ}$
telle que $y = f(x)$, alors $\overline{y} = \overline{f}(\overline{x})$. 

\ssq Montrer que $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x - y \text{~pair}$. 

\ssq Soient $a,b,c$ des entiers, et soit $f(x) = a x^{2} + b x + c$. 
En factorisant $f(x) - f(y)$, d\'emontrer l'implication:$$
\forall x,y \in \mathbb{Z} \;:\; x \mathcal{R} y \Rightarrow
f(x) \mathcal{R} f(y).
$$

\ssq Comment peut-on alors d\'efinir $\overline{f}$ ?

\sq Montrer qu'il existe une application $g$ de $\mathbb{Z}$ dans lui-m\^eme
qui, \`a un entier $x$, associe $g(x) = \frac{x^{2} + x}{2}$. Est-il
possible de d\'efinir d'une application
$\overline{g} : \overline{\mathbb{Z}} \rightarrow \overline{\mathbb{Z}}$
telle que, si $y = g(x)$, alors $\overline{y} = \overline{g}(\overline{x})$ ?




\end{exo}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\separation


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{Bataille-navale-lineaire}
\nomficimprimable{Bataille-navale-lineaire}
\FichierUnique\titrebookmark{Bataille navale lin\'eaire}
\Annee{2002}
\Titre{Bataille navale lin\'eaire}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{}


\Date{2002/07/15}
\Niveau{\DEUGi}
\NiveauxSecondaires{\DEUGii}
\AnglePedagogique{\Ludique}
\AnglesSecondaires{}

\Theme{\AlgLin}
\ThemesSecondaires{}
\Objectif{
Dans cette activit\'e, on utilise un jeu de type ``bataille navale''
 pour amener les \'etudiants \`a se poser des
questions sur la g\'eom\'etrie des sous-espaces vectoriels, et plus
 particuli\`erement sur la dimension.
\paragraph{R\'ealisation pratique}
Notons d'abord que contrairement \`a ce qu'on peut penser au premier
abord, le jeu ne n\'ecessite pas beaucoup de calculs, puisqu'on peut
r\'epondre \`a la plupart des questions \`a l'aide d'arguments de
dimension~: \'evidemment, l'un des buts de l'exercice est d'inciter les
\'etudiants \`a utiliser ces raisonnements.

On sugg\`ere de grouper les \'etudiants par quatre, et de les faire jouer
deux contre deux (et \'eventuellement plus tard quatre contre
quatre). Par rapport \`a un affrontement ``un contre un'', ces
configuration ont l'avantage de favoriser la confrontation des id\'ees~:
le fait de ne pas \^etre d'accord sur le coup \`a jouer devrait obliger
les \'etudiants \`a justifier leurs propositions, donc \`a jouer plus
rationnellement, voire \`a chercher une bonne strat\'egie. Et aussi, ceci
diminue la fr\'equence des erreurs...

Il vaut probablement mieux commencer par jouer dans $\bbR^3$, o\`u
l'intuition aide beaucoup. Mais il serait dommage de ne pas jouer
aussi dans $\bbR^4$, o\`u l'\'etudiant doit justement remplacer son
intuition d\'efaillante par les raisonnements sur la dimension.

On peut pr\'eciser les r\`egles au fur et \`a mesure des parties ; on
sugg\`ere les r\`egles additionnelles suivantes~:
\begin{itemize}
\item un joueur qui d\'etecte une erreur dans la r\'eponse de son
adversaire \`a l'une de ses questions gagne la partie (y compris si la d\'etection intervient
longtemps apr\`es l'erreur)~;
\item le joueur qui se trompe en annonçant la dimension perd la partie~;
\item un joueur est autoris\'e \`a modifier son sous-espace
vectoriel secret en cours de partie (y compris apr\`es que l'autre ait
propos\'e une dimension) \`a condition toutefois que son nouveau
sous-espace secret reste compatible avec ses r\'eponses pr\'ec\'edentes. L'int\'er\^et de
cette r\`egle est d'obliger le joueur qui pr\'etend avoir trouv\'e \`a \^etre
s\^ur de lui (et donc \`a chercher \`a d\'emontrer que la dimension est ce
qu'il pense). On pourrait aussi demander explicitement au gagnant, \`a
la fin de la partie,
de fournir  une preuve que la dimension est ce qu'il affirme (mais
ceci risque de rendre l'activit\'e plus scolaire et moins ludique, ce
qui est dommage).
\end{itemize}


\paragraph{Complexit\'e algorithmique}
 Apr\`es un
peu de pratique, on peut sugg\'erer aux \'etudiants de chercher un
algorithme, par exemple en leur demandant comment on pourrait
programmer un ordinateur pour qu'il trouve la r\'eponse en temps fini
dans tous les cas. Ceci est probablement assez difficile en DEUG, sans parler
de la recherche d'une strat\'egie optimale~: on peut ainsi transformer
le jeu en un exercice de niveau licence... Voici des \'el\'ements de
r\'eponses (en note de bas de page pour ne pas contrarier le lecteur
qui voudrait y r\'efl\'echir tout seul !).
\footnote{
\textbf{Quelques remarques sur la complexit\'e} Pour un
champ de bataille $E$ de dimension $n$, quel est le nombre de coups
n\'ecessaires pour r\'epondre dans tous les cas~?
Voici une strat\'egie qui marche toujours en moins de $n$ coups. 

On choisit une base $B=\{e_1,..,e_n\}$. On regarde les parties $F$
contenues dans $B$ 
telles que $\mathrm{vect}(F) \cap E_1 =\{0\}$ (o\`u $E_1$ est l'espace
inconnu).
On note $\cal F$ l'ensemble de ces parties.
\begin{enonce1*}{Lemme}
 Une partie maximale dans $\cal F$ est de dimension $n-\mathrm{dim}(E_1)$.
\end{enonce1*}

Donc on cherche une partie maximale.
L'algorithme est le suivant.
On pose la question ``$F=\mathrm{Vect}(e_1)$~?''
Si la r\'eponse est ``\`a l'eau'', on prend $F_1=\{e_1\}$~;
si c'est ``touch\'e'', on prend $F_1=\emptyset$.
Puis on continue~: \`a l'etape $i$, on pose la question ``$F=vect(F_{i-1}\cup
\{e_i\})$~?'', et
on prend $F_{i}=F$ si ``\`a l'eau'', $F_{i}=F_{i-1}$ si ``touch\'e''.
Le $n$-i\`eme ensemble $F_n$ est maximal~: en effet, le $i$-i\`eme
ensemble $F_i$ est maximal 
pour l'ajout d'un des $i$ premiers vecteurs
(\emph{i. e.} si on rajoute un des $i$ premiers vecteurs \`a $F_i$, on
touche $E_1$). 

Remarquons aussi la diff\'erence entre le ``presque s\^ur'' et le
``s\^ur''~: si on fait une dichotomie sur la dimension (en proposant
d'abord un espace de dimension $n/2$, \emph{etc.}), on va trouver la
dimension en temps $\log(n)$ pour presque tout sous-espace~; la
complexit\'e presque sure est en $\log(n)$, alors
que c'est beaucoup moins \'evident pour la complexit\'e ``au pire''.
\begin{enonce1*}{Question}
 Y a-t-il un algorithme meilleur que celui propos\'e au-dessus~? Autrement
dit, quelle est la complexit\'e au pire~? 
\end{enonce1*}
}

Ce jeu est inspir\'e d'une bataille navale g\'eom\'etrique (non lin\'eaire)
 propos\'ee par Nicolas Bouleau dans le texte
de sa conf\'erence au colloque EM2000 sur l'enseignement des maths, 
\emph{Y a-t-il lieu d'envisager des math\'ematiques post-modernes ?}
(\href{http\deuxpoints//em2000.imag.fr/Actes/}{http\deuxpoints//em2000.imag.fr/Actes/}).
Citons le texte d'origine, qui peut inspirer d'autres exercices~:

``... Chaque \'el\`eve d'un binôme d\'efinit une figure g\'eom\'etrique (par
exemple constitu\'ee d'un cercle et de deux droites) dans un syst\`eme de coordonn\'ees.
Pour deviner la figure de son adversaire, il tire des droites et non
des points. Si \`a son
tour de jouer, il propose ainsi la droite $y = 2x + 1$, son adversaire lui indique tous
les points d'intersection de sa figure avec $y = 2x + 1$, etc. Il y a de multiples
variantes suivant les figures cach\'ees et les objets qu'on tire, la d\'eduction et la
combinatoire ne sont pas absentes de ce jeu qui peut s'organiser en tournoi comme
les \'echecs.''
}

\begin{exo}
La bataille navale lin\'eaire est un jeu qui se joue \`a deux joueurs,
dans lequel chacun doit d\'ecouvrir la dimension d'un sous-espace
vectoriel cach\'e par l'autre.

Expliquons les r\`egles en d\'etail. On
d\'ecide d'abord du champ de bataille~: il s'agit d'un espace vectoriel
$E$ de dimension finie (par exemple $\bbR^3$ ou $\bbR^4$).
Chaque joueur choisit en secret un sous-espace vectoriel de
$E$ (on notera $E_1$ et $E_2$ ces deux sous-espaces).
Commence alors la phase de jeu proprement dite~: le premier joueur
sugg\`ere un sous-espace vectoriel $F$ de $E$~; le second lui r\'epond
\begin{itemize}
\item ``touch\'e'' si le sous-espace propos\'e a une intersection non triviale avec
le sous-espace cach\'e (autrement dit, si $F \cap E_2$ n'est pas r\'eduit \`a $\{0\}$)~;
\item ``dans l'eau'' sinon.
\end{itemize}
C'est alors au tour du second de faire une proposition, et le jeu
continue ainsi jusqu'\`a ce que l'un des deux joueurs trouve la \textbf{dimension} du
sous-espace choisi par l'autre. 

On pr\'ecise que chaque joueur est libre de choisir son sous-espace
secret et les sous-espaces qu'il propose de la mani\`ere qui lui
convient (par exemple, \`a l'aide d'un syst\`eme d'\'equations cart\'esiennes
ou bien d'une base).
\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\nomfic{vider-la-bouteille}
\nomficimprimable{vider-la-bouteille}
\FichierUnique\titrebookmark{Bouteilles impossibles \`a vider.}
\Annee{2001}
\Auteur{Arnaud \textsc{Ch\'eritat}}
\Titre{Bouteilles impossibles \`a vider.}
\Date{2001/09/23}
\Niveau{\DEUGi}
\AnglePedagogique{\Ludique}
\AnglesSecondaires{\Experimental}
\Theme{\Suites}
\ThemesSecondaires{\Fonctions}


\Objectif{La r\'esolution de la question d'optimisation de cet exercice
n\'ecessite le calcul d'une limite, qui se trouve \^etre un exemple
standard. La derni\`ere question, qui demande un peu d'astuce, est une
application de la formule~: pour tout $x>0$, $e^x>1+x$.}


\begin{exo}
  
Ah ! Ces fabricants d'emballages ! Je viens de terminer une
bouteille d'un litre d'anis concentr\'e, dont je voudrais me
servir comme r\'ecipent pour de l'eau. Son \'el\'egant dessin
poss\`ede un d\'efaut majeur : quand on la renverse pour en
vider le contenu, elle garde syst\'ematiquement 1 centilitre de
liquide, m\^eme en la secouant dans tous les sens. Et je ne dispose
pas de paille, ni d'autre moyen, pour la vider plus. Je la
remplis donc d'eau. La bouteille contient alors de l'anis \`a
$\mathrm{1/100^e}$, ce qui a encore trop de go\^ut. Ce n'est pas
grave, j'en jette le contenu et la remplis \`a nouveau. Au bout de 4
remplissages, l'anis est dilu\'e \`a un pour un cent
millions. On ne sent alors plus son go\^ut, mais j'ai g\^ach\'e
2,96 litres d'eau.

\qst{(Annexe)} Pourquoi est-ce que j'affirme avoir g\^ach\'e 2,96
litres et non pas 4 ?

\qst{} J'aurais pu \^etre plus \'econome, voyez-vous comment ?

\qst{} Essayez d'optimiser votre m\'ethode.

\qst{Plus difficile} Prouver que l'on ne peut pas faire mieux.

\end{exo}
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\nomfic{de_rond}
\nomficimprimable{de\_rond}
\FichierUnique\titrebookmark{Des d\'es ronds}
\Annee{2002}
\Titre{Des d\'es ronds}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}

\Date{2002/09/10} 

\Niveau{\DEUGii} 

\AnglePedagogique{\Ludique} 

\AnglesSecondaires{\AQuoiCaSert}

\Theme{\FonctionsPlusieursVars}

\ThemesSecondaires{\GeometrieDiff,\Probas} 

\Objectif{Dans cet exercice, on donne une motivation inhabituelle pour calculer des aires de surfaces courbes:
la probabilit\'e pour qu'un point marqu\'e sur un d\'e rond arrive \`a telle ou telle hauteur.
Il n'est pas intuitif qu'on obtienne une probabilit\'e uniforme (sur l'intervalle $[0,2R]$) dans le cas d'un d\'e sph\'erique.
Une des difficult\'es sera sans doute de mod\'eliser le tirage du d\'e sph\'erique car
l'espace des positions d'une sph\`ere est compliqu\'e (c'est $SO_3$), m\^eme si l'ensemble des positions
d'un point sur cette sph\`ere est param\'etr\'e par la sph\`ere.

Cet exercice vient d'une question question que m'avait pos\'e un ami physico-chimiste.
Il voulait comprendre la probabilit\'e que le point marqu\'e soit \`a telle ou telle hauteur,
pour mod\'eliser le mouvement d'une prot\'eine \`a la surface d'une \'electrode si je me rappelle bien...}



\begin{exo}
On vous propose un jeu de d\'es un peu sp\'ecial. 
Le d\'e est une boule de 10cm de diam\`etre sur laquelle un point rouge est marqu\'e.
On lance le d\'e sur une table (horizontale) et on attend qu'il s'arr\^ete. Le r\'esultat du lancer est la hauteur en centim\`etres 
entre le point rouge et la table.
Ainsi, le d\'e prend ses valeurs entre 0 et 10.
Vous misez puis vous devez choisir l'une des options suivantes:
\begin{itemize}
\item Pari bas: vous pariez que le r\'esultat du d\'e sera compris entre 0 et 3.
Si vous avez raison, vous gagnez 4 fois la mise (c'est \`a dire, vous reprenez votre mise, plus 3 fois son montant). 
Sinon, vous perdez la mise.
\item Paris haut: vous pariez que le r\'esultat du d\'e sera compris entre 3 et 10.
Si vous avez raison, vous gagnez 1.33 fois la mise (c'est \`a dire, vous reprenez votre mise, plus le tiers de son montant). 
Sinon, vous perdez la mise.
\end{itemize}

Quelle option choisissez-vous~?\\

\textsc{Suggestion}~: il est peut-\^etre plus facile, pour commencer, de traiter le cas d'un d\'e cylindrique\dots

\end{exo}
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\nomfic{determinant-marrant}
\nomficimprimable{determinant-marrant}
\FichierUnique\titrebookmark{D\'eterminant marrant}
\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{D\'eterminant marrant}
\Niveau{\DEUGii} 
\NiveauxSecondaires{} 
\AnglePedagogique{\Ludique}
\AnglesSecondaires{\Technique}
\Theme{\AlgLin} 
\ThemesSecondaires{} 

\Objectif{Utiliser les propri\'et\'es simples du d\'eterminant.}



\begin{exo}
En admettant le fait que les nombres 2001, 1073, 5800 et 8903 sont
tous divisibles par 29, montrer
que le d\'eterminant de la matrice
$$
A=\left(
\begin{matrix}
2&0&0&1\cr 1&0&7&3 \cr
5&8&0&0&\cr 8&9&0&3
\end{matrix}
\right)
$$
est aussi divisible par 29 (on ne demande PAS de calculer ce
d\'eterminant !).
\end{exo}
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\nomfic{emboiter_est_ordonner}
\nomficimprimable{emboiter\_est\_ordonner}
\titrebookmark{Embo{\^\i}ter c'est ordonner}
\Annee{2002}
\Titre{Embo{\^\i}ter c'est ordonner}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}


\Date{2002/12/05} % Format AAAA/MM/JJ. pour le 5 mars 2001: \Date{2001/03/05}

\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...

\AnglePedagogique{\Ludique} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{\Decouverte} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Ensembles} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...
\ThemesSecondaires{Relations d'ordre}

\Objectif{L'objectif est de faire r\'efl\'echir les \'etudiants sur ce qu'est un ordre partiel.} % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}
 \sq On consid\`ere un ensemble de bo{\^\i}tes (avec des couvercles). On dit qu'une bo{\^\i}te $x$ \emph{rentre} dans une
bo{\^\i}te $y$ s'il est possible de mettre la bo{\^\i}te $x$ \`a l'int\'erieur de la bo{\^\i}te $y$ et de fermer le couvercle de $y$.
La relation \emph{rentrer dans} est-elle une relation d'ordre ? total ?

\sq Supposons que toutes les bo{\^\i}tes soient des parall\'el\'epip\`edes dont les faces sont parall\`eles.
Chacune est ainsi caract\'eris\'ee par 3 dimensions: sa largeur $l$, sa profondeur $p$ et sa hauteur $h$.
Comment se traduit num\'eriquement le fait qu'une bo{\^\i}te rentre dans une autre si on s'interdit de tourner les bo{\^\i}tes
(de sorte que la largeur de l'une reste parall\`ele a la largeur de l'autre etc.). 


\end{exo}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\nomfic{hyperplans}
\nomficimprimable{hyperplans}
\FichierUnique\titrebookmark{Hyperplans et famille de vecteurs en position g\'en\'erale}
\Annee{2002}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{Panos \textsc{Papazoglou}}
\Titre{Hyperplans et famille de vecteurs en position g\'en\'erale}

\Date{2002/03/13}
\Niveau{\DEUGi}
\NiveauxSecondaires{\DEUGii}
\AnglePedagogique{\Ludique} 
\AnglesSecondaires{\Experimental}

\Theme{\AlgLin} 

\ThemesSecondaires{}

\Objectif{
Ce sujet propose une jolie question de math\'ematiques.
La preuve est assez difficile \`a trouver, bien que la r\'eponse semble
intuitivement \'evidente (quoiqu'en dimension 47~?...) Apr\`es avoir
laisser les \'etudiants explorer la question, on leur ``vend'' donc un
sch\'ema de preuve~; la difficult\'e consiste alors \`a comprendre ce sch\'ema
(qui implique une r\'ecurrence subtile), et \`a en r\'ediger tous les
d\'etails de la façon la plus convainquante possible.

Remarque sur la deuxi\`eme partie~: on peut aussi montrer la version
affine de cette propri\'et\'e~: il existe dans $\bbR^n$ une famille
infinie de vecteurs telle que d\`es qu'on en prend $n+1$, ils sont
affinement ind\'ependants (prendre les vecteurs du type  $(x,x^2, \dots, x^n)$).
 Une cons\'equence int\'eressante, et imm\'ediate,
est un th\'eor\`eme de plongement ``du type Whitney''~: tout
 graphe se plonge dans $\bbR^3$
(sans point double, contrairement \`a $\bbR^2$)~; et plus g\'en\'eralement, tout
complexe simplicial de dimension $k$ se plonge dans $\bbR^{2k+1}$
(et on comprend bien la raison du ``$2k+1$'').
Le plongement des graphes est probablement \`a la port\'ee des \'etudiants
de DEUG, et donnerait une motivation int\'eressante \`a l'exercice~;
malheureusement, celui-ci deviendrait beaucoup plus long.
}

\begin{exo}
\partie{Hyperplans de $\bbR^n$}
\emph{Le but de cette partie est de r\'esoudre le probl\`eme suivant~:}


\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.8\textwidth}{
\begin{enonce1*}{Question}
$\bbR^n$ est-il r\'eunion d'un nombre fini d'hyperplans~?
\end{enonce1*}
}}
\end{center}

On rappelle qu'un hyperplan dans $\bbR^n$ est un sous-espace vectoriel
de dimension $n-1$.

\qst{Exploration}

\sq[Cas $n=2$] Traduisez le probl\`eme en dimension $2$. Avez-vous une id\'ee
intuitive de la r\'eponse~? Pouvez-vous prouver que votre intuition est juste~?

\sq[Cas $n=3$]  M\^emes questions pour $n=3$.

\sq[Cas g\'en\'eral]
Avez-vous une id\'ee de la r\'eponse dans le cas g\'en\'eral~? Comment
pourrait-on \'ecrire une preuve~?

\qst{Petites questions}
Commencez par r\'epondre aux questions suivantes~:

\sq Si $H_1$ et $H_2$ sont deux hyperplans de $\bbR^n$, quelle est
la dimension de $H_1 \cap H_2$~?

\sq M\^eme question pour un hyperplan $H_1$ et un plan $P$
(c'est-\`a-dire un sous-espace vectoriel de dimension $2$).


\qst{Aide \`a la preuve en dimension $n \geq 3$}
On propose le sch\'ema de preuve suivant~:

``On raisonne par r\'ecurrence sur la dimension. On consid\`ere des
hyperplans $H_1, \dots, H_k$ dans $\bbR^n$. En utilisant l'hypoth\`ese
de r\'ecurrence, on trouve un vecteur $e_1$ qui est dans $H_1$ et qui
n'est dans aucun des autres hyperplans. De m\^eme, on trouve un
vecteur $e_2$  qui est dans $H_2$ et qui
n'est dans aucun des autres hyperplans. On se place ensuite dans le plan
$P$ engendr\'e par $e_1$ et $e_2$. En \'etudiant dans $P$ les sous-espaces $H_i
\cap P$, on arrive \`a la conclusion.''

Il manque bien s\^ur beaucoup de d\'etails. R\'edigez soigneusement une
preuve en suivant ce sch\'ema.

\partie{Famille de vecteurs en position g\'en\'erale}
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.9\textwidth}{
\emph{Le but de cette partie est de trouver, dans $\bbR^n$,  une famille
$\cal F$ contenant une infinit\'e de vecteurs et ayant la propri\'et\'e
suivante~:  d\`es qu'on choisit $n$ vecteurs dans la famille $\cal F$,
ils sont lin\'eairement ind\'ependants.}
}}
\end{center}

\qst{Cas $n=2$} Traduire la question dans $\bbR^2$~; trouver
une famille de vecteurs dans $\bbR^2$ qui r\'epond \`a la
question. Pouvez-vous en trouvez d'autres~?

\qst{Cas $n=3$} Traduire la question dans $\bbR^3$. Essayer d'y
r\'epondre.


\qst{Suggestion}
On propose d'\'etudier la famille $\cal F$ contenant tous les vecteurs
du type 
$$
v(x)=(1,x,x^2,\dots x^{n-1}).
$$

Montrer que cette famille r\'epond au probl\`eme.

\noindent \textbf{Indication} Si $n$ vecteurs sont li\'es, il existe un hyperplan
qui les contient (pourquoi~?)~; quelle est l'\'equation cart\'esienne d'un
hyperplan de $\bbR^n$~?

\qst{Retour sur la partie I}
A l'aide de la famille $\cal F$, trouver une nouvelle preuve pour la
partie I.

\noindent\textbf{Indication}
 Combien de vecteurs de la famille $\cal F$ un hyperplan peut-il contenir au maximum~?



\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{caramels}
\nomficimprimable{caramels}
\FichierUnique\titrebookmark{La guerre des caramels n'aura pas lieu.}

\Annee{2002}
\Titre{La guerre des caramels n'aura pas lieu.}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}
\Date{2002/09/06} 
\Niveau{\DEUGi}
\NiveauxSecondaires{\DEUGii}

\AnglePedagogique{\Ludique}
\AnglesSecondaires{\AQuoiCaSert,\Metamath} 

\Theme{\AlgLin} 
\ThemesSecondaires{Preuves par r\'ecurrence, Arithm\'etique}

\Objectif{Dans cet exercice, on r\'esoud d'abord un syst\`eme lin\'eaire sur les entiers,
on en d\'eduit qu'il a une solution unique sur les rationnels, et donc sur $\bbR$ gr\^ace au d\'eterminant. 

Cet exercice donne un exemple ludique o\`u on peut utiliser le d\'eterminant (sans pouvoir le calculer)
pour r\'esoudre un probl\`eme concret.

Cet exercice est inspir\'e par le probl\`eme \emph{les caramels} d'\textsc{Elisabeth Busser} et \textsc{Gilles Cohen}
paru dans la rubrique \emph{Affaire de logique} du monde du 13 ao\^ut 2002.
} % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}

\qst{Les caramels de Grand-M\`ere}

Grand-M\`ere vient de confectionner ses ineffables caramels. Elle les r\'epartit amoureusement en
15 sachets, pour ses 14 petits enfants (7 gar{\c c}ons et 7 filles) et pour son singe savant, Machiavel.
Grand-M\`ere a la vue basse est elle n'est pas s\^ure d'avoir mis autant de caramels dans chaque paquet.

Machiavel, qui s'ennuie un peu, aimerait se divertir 
en semant la zizanie entre le clan des gar{\c c}ons et celui des filles.
Il sait que les petits enfants sont tellement friands des caramels que si
les gar{\c c}ons n'ont pas, au total, exactement le m\^eme nombre de caramels que les filles,
la bagarre \'eclatera entre les deux clans.
Machiavel se d\'ep\^eche donc d'aller dans le placard pour choisir son paquet de caramels.
Malheureusement pour lui, quel que soit le paquet qu'il choisisse, Grand-M\`ere pourra
toujours attribuer judicieusement les paquets restants \`a ses petits enfants afin que la r\'epartition
entre le clan des filles et celui des gar{\c c}ons soit \'equitable.
\\

\textsc{Question~:} est-ce que les 15 sachets de caramels contiennent forc\'ement tous
 le m\^eme nombre de caramels~?

\textsc{Indications.} \'Etudier la parit\'e des nombres de caramels, puis raisonner par r\'ecurrence.
\footnote{Les paquets ont tous le meme nombre de caramels modulo 2. Si ils sont tous pairs, diviser par 2.
Si ils sont tous impairs, retrancher 1. Ce processus ne s'arrete que si tous les nombres de caramels sont nuls.}

\qst{Les caramels en morceaux\label{caramels_qst_morceaux}}

Grand-M\`ere a encore fait des caramels. Mais cette fois ci, certains caramels se sont bris\'es.
Notons que les caramels de Grand-M\`ere sont extraordinaires puisque lorsque l'un deux se casse en morceaux,
les morceaux r\'esultant sont toujours tous \'egaux (mais certains caramels se brisent en plus de morceaux de d'autres).
Par exemple, Si un caramel se brise
en 17 morceaux, chaque morceau fait pr\'ecis\'ement 1/17\`eme de caramel.
Grand-M\`ere, qui a toujours la vue basse, n'a pas reconstitu\'e les caramels, et elle a pu \'egarer quelques morceaux
avant de remplir les quinze sachets pour ses petits enfants et le singe savant.
Chaque paquet de caramel se retrouve ainsi avec des caramels et des fractions de caramels.

Machiavel, qui n'a pas chang\'e d'id\'ee, va encore dans le placard. Mais encore une fois, la chance joue
contre lui, et quel que soit le paquet qu'il choisisse, il ne pourra pas d\'eclencher la guerre des caramels.

\textsc{Question~:} est-ce que les 15 sachets de caramels contiennent forc\'ement tous
 le m\^eme nombre de caramels~?

\textsc{Indication.} Ramener le probl\`eme \`a un probl\`eme de caramels entiers.

\qst{Le caramel liquide\label{caramels_qst_liquide}}

Grand-M\`ere a cette fois-ci pr\'epar\'e du caramel liquide, et elle remplit 15 fioles pour Machiavel et les 14 petits-enfants.
Bien entendu, elle n'est pas s\^ure d'avoir rempli les fioles de la m\^eme quantit\'e de caramel.
Et l\`a encore, quelle que soit la fiole choisie par Machiavel, la famille gardera son ambiance paisible.

\textsc{Question~:} est-ce que les 15 fioles contiennent forc\'ement toutes
 la  m\^eme quantit\'e de caramel~?

\textsc{Indication.} Utiliser la solution du probl\`eme des caramels en morceaux pour en d\'eduire
quelque-chose sur le d\'eterminant d'un syst\`eme d'\'equations.

\qst{Des caramels aux th\'eor\`emes}

Reprendre la question \ref{caramels_qst_morceaux}
et essayer de trouver
de trouver un \'enonc\'e de th\'eor\`eme
--- donnant un lien entre les solutions enti\`eres et rationnelles
d'un syst\`eme --- qu'on pourrait d\'emontrer avec la m\^eme m\'ethode.

M\^eme question pour la question \ref{caramels_qst_liquide}.
\end{exo}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{ah-les-beaux-groupes}
\nomficimprimable{ah-les-beaux-groupes}
\FichierUnique\titrebookmark{Lecture de la bande dessin\'ee \emph{Ah\pointexclamation  Les beaux groupes \pointexclamation }}
\Annee{2004}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{Fran\c{c}ois \textsc{B\'eguin}}
\Date{2004/05/01}
\Titre{Lecture de la bande dessin\'ee \emph{Ah! Les beaux groupes !}}
\Niveau{\DEUGi} 
                
\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\Ludique} 
\AnglesSecondaires{\Decouverte} 
\Theme{\Groupes} 
\ThemesSecondaires{} 

\Objectif{L'objectif principal \'etait de faire lire la bande dessin\'ee
de Ian Stewart, qui constitue une introduction informelle aux
groupes. Les \'etudiants ont eu en parall\`ele un cours sur les groupes (pr\'ec\'edant le d\'ebut
de l'alg\`ebre lin\'eaire).}


\begin{exo}

\qst{Lecture} Lire la BD ! \emph{Avertissement~:} vers la fin, ça devient
(tr\`es) difficile, essayez de suivre les id\'ees, on ne vous demande pas de tout
comprendre en d\'etail.



\qst{Les dominos anthragoniens} 

\sq Donner un exemple d'arrangement initial
qui ferait perdre Gaston (qui soit diff\'erent des exemples de la BD).
Expliquer ! 


\sq M\^eme question dans les ``r\`egles internationale'' avec 5 dominos.

\sq Supposons qu'on aie un arrangement $A$ quelconque des dominos. \`A
partir de cet arrangement $A$, on
obtient un deuxi\`eme arrangement $B$ en retournant l'un des dominos
(rappelons que ceci change la couleur du domino). Montrer que l'un des
deux arrangement ferait perdre Gaston, et l'autre le ferait
gagner.
%\footnote{On suppose qu'on a le droit \`a autant de coups qu'on
%veut, contrairement \`a la BD qui autorise au plus 13 coups.}


\qst{Isom\'etries du carr\'e}

\sq D\'ecrire le groupe des  isom\'etries du carr\'e : autrement dit, trouver toutes les
rotations et sym\'etries du plan qui pr\'eservent un carr\'e
fix\'e.\emph{Indication : il y en a 8.}


\sq Ces isom\'etries forment un groupe $G$.  Chercher (et si possible
trouver !) tous les sous-groupes
de $G$. 

\emph{Indications :}
\begin{itemize}
 \item Il y en a 10 (en comptant le groupe $G$ lui-m\^eme et le
 sous-groupe qui ne contient que l'identit\'e).
\item On sait \textit{a priori} qu'il n'y a pas de sous-groupe de $G$ contenant exactement 3
\'el\'ements, pourquoi ? (Chercher dans la BD...) Quels sont les autres
nombres interdits pour la m\^eme raison ?
\end{itemize}
\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{les_3_phares}
\nomficimprimable{les\_3\_phares}
\FichierUnique\titrebookmark{Les 3 phares}
\Annee{2001}
\Auteur{Laurent \textsc{Bessi\`eres}}
\Titre{Les 3 phares}
\Date{2001/09/01}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi, \DEUGii, \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{} %Les niveaux secondaires separes par des virgules
\AnglePedagogique{\Ludique} %l'angle pedagogique principale. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Recherche, ...
\AnglesSecondaires{} %Les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules
\Theme{\GeomEucl} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...
\ThemesSecondaires{} %Themes secondaires separes par des virgules


% Partie objectifs et commentaires.     

\Objectif{Décomposer un problème; Visualiser un ensemble de points qui satisfait 
à une certaine condition, faire preuve d'autonomie

Cet exercice est tiré de \emph{La decouverte des mathématiques}, Georges Polya, 
editions Dunod}



\begin{exo}
D'un bateau en mer, on peut voir trois phares; on connait la position de ces phares 
sur la carte, et l'on mesure l'angle des rayons lumineux qu'ils envoient. 
Marquer la position du bateau sur la carte.
\end{exo}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{Tapis-de-Sierpinski}
\nomficimprimable{Tapis-de-Sierpinski}
\FichierUnique\titrebookmark{Le tapis de Sierpinski}
\Annee{2002}
\Titre{Le tapis de Sierpinski}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{}


\Date{2002/07/22} 
\Niveau{\DEUGi}

\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\Ludique}
\AnglesSecondaires{\Decouverte}
\Theme{\Series}
\ThemesSecondaires{}
\Objectif{Cet exercice peut sembler tr\`es facile~; n\'eanmoins, on
remarque que peu d'\'etudiants ma\^{\i}trisent suffisamment les suites
g\'eom\'etriques pour penser \`a utiliser la formule de somme \emph{sans
qu'on le leur sugg\`ere} (la connaissance est g\'en\'eralement mobilisable
mais pas disponible...). Du coup, le comportement de la suite $(S_n)$ est
rarement justifi\'e (m\^eme s'il leur semble ``\'evident''
qu'elle doit tendre vers $0$).

D'autre part, \`a la deuxi\`eme question, la r\'eponse unanime est que la
dur\'ee est n\'ecessairement infinie, puisqu'il y a une infinit\'e
d'\'etapes~: on retrouve une version du paradoxe de Z\'enon.

Ceci donne une illustration des deux principaux obstacles \`a la
compr\'ehension des s\'eries~: l'intuition sugg\`ere parfois qu'une s\'erie
converge forc\'ement puisqu'on ajoute des termes de plus en plus petits
 (la convergence est ``\'evidente'' dans la premi\`ere
question, ce qu'on retrouve souvent dans les exercices techniques dans
la formule ``le terme g\'en\'eral tend vers $0$, donc la s\'erie
converge''), ou bien au contraire, une s\'erie diverge forc\'ement
puisqu'on ajoute une infinit\'e de termes (la variante la plus utilis\'ee
dans les exercice est sans doute ``la fonction tend vers $+\infty$ en
$0$ donc l'int\'egrale diverge'').

Ainsi, cet exercice peut servir d'introduction aux séries, en invitant
les étudiants à réfléchir, après coup, à ces deux obstacles. 
}




\begin{exo}
Monsieur Sierpinski  avait ramen\'e
d'un voyage en Orient un tapis carr\'e de $1$ m\`etre de c\^ot\'e dont il
\'etait tr\`es content. Jusqu'au jour o\`u les mites s'introduisirent chez
lui.

En 24 heures, elles d\'evor\`erent dans le tapis un carr\'e de c\^ot\'e trois fois plus
petit, situ\'e exactement au centre du tapis. En constatant les d\'egats,
Monsieur Sierpinski entra dans une col\`ere noire~! Puis il se consola
en se disant qu'il lui restait huit petits carr\'es de tapis, chacun de
la taille du carr\'e disparu.
Malheureusement, dans les 12 heures qui suivirent, les mites avaient attaqu\'e 
les huit petits carr\'es restants~: dans chacun, elles avaient
mang\'e un carr\'e central encore trois fois plus petit. Et dans les 6
heures suivantes elles grignot\`erent encore le carr\'e central de chacun
des tout petits carr\'es restants. 
Et l'histoire se r\'ep\'eta,
encore et encore~; \`a chaque \'etape, qui se d\'eroulait dans un intervalle de
temps deux fois plus petit que l'\'etape pr\'ec\'edente, les mites faisaient
des trous de taille trois fois plus petite...


\qst{}
Faire des dessins pour bien comprendre la g\'eom\'etrie du tapis trou\'e.
 Calculer le nombre total de trous dans le tapis de Monsieur Sierpinski
apr\`es $n$ \'etapes. Calculer la surface $S_n$ de tapis qui n'a pas encore \'et\'e
mang\'ee apr\`es $n$ \'etapes. Trouver la limite de la suite $(S_n)_{n \geq
0}$. Que reste-t-il du tapis \`a la fin de l'histoire~?

\qst{}
Calculer la dur\'ee totale du festin ``mitique''...
\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{planetes}
\nomficimprimable{planetes}
\FichierUnique\titrebookmark{Quadrature}
\Annee{2001}
\Auteur{Arnaud \textsc{Ch\'eritat}}
\Titre{Quadrature}
\Date{2001/10/19}
\Niveau{\Autres} % Terminales
\AnglePedagogique{\Ludique}
\Theme{\GeomEucl}


\Objectif{Appliquer la géométrie euclidienne à un problème
  d'astronomie. La réponse attendue à la
  question~\ref{arnaud_cheritat_quadrature_label_1} est ``l'angle
  $\widehat{TMS}$''. Pour la
  question~\ref{arnaud_cheritat_quadrature_label_2}, l'écart va
  jusqu'à $\pi$, et la quadrature correspond au plus grand éloignement
  apparent de Vénus au Soleil.}


\begin{exo}
  
On idéalise la trajectoire des planètes autour du Soleil comme des
cercles situés dans le même plan et de centre le Soleil.  Rappelons
que chaque planète parcourt son orbite avec une période différente.
L'orbite de Mars est plus grande que celle de la Terre. Donc, vue de
la Terre, Mars est toujours éclairée. Mais pas toujours de face~: le
Soleil, la Terre et Mars n'étant pas toujours sur une même ligne
droite, il arrive que l'on voie Mars éclairée de biais.

\qst{}\label{arnaud_cheritat_quadrature_label_1}
 Formaliser l'écart par rapport à un éclairement de face, en
 l'identifiant à un angle géométrique ($\in[0,\pi]$) du problème. 

\qst{} Pouvez-vous donner un critère géométrique simple précisant dans
quelles conditions cet écart est maximal~?

\qst{} Pouvez-vous en donner une preuve géométrique~?

\qst{} Calculer l'écart maximal, sachant que le rayon de l'orbite de
la Terre est de $1$ua (unité astronomique), et que ce rayon est
approximativement de $1,52$ua pour Mars~?

\qst{}\label{arnaud_cheritat_quadrature_label_2} Pour Vénus, dont
l'orbite a un rayon de $0,72$ua, au lieu de 
Mars, que se passe-t-il~?

\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{Saute-moutons}
\nomficimprimable{Saute-moutons}
\FichierUnique\titrebookmark{Saute-mouton}
\Annee{2002}
\Titre{Saute-mouton}
\Auteur{Thierry \textsc{Barbot}}
\AutresAuteurs{}


\Date{2002/07/22} 
\Niveau{\DEUGii}

\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\Ludique} 

\AnglesSecondaires{}
\Theme{\AlgLin}

\ThemesSecondaires{\Suites}
\Objectif{
%Cet exercice a été inventé par Thierry Barbot.

Cet exercice conduit à des suites récurrentes
linéaires en dimension $3$. Sous cette forme, il demande de
l'autonomie (mettre en forme, résoudre, interpréter la réponse).
La réponse est amusante.
\footnote{La matrice correspondante a trois valeurs propres réelles,
dont une seule est de valeur absolue strictement plus grande que
$1$. Le sous-espace de dimension (complexe) 2 solution du problème correspond aux
configurations où les trois points sont alignés, avec un rapport de
distance égale au nombre d'or...}
}

\begin{exo}
Trois moutons sont dans un pré, et bien évidemment, ils jouent
à saute-mouton. Le premier mouton saute par dessus le deuxième, et se
retrouve donc dans la position symétrique de la position qu'il
occupait par rapport au deuxième mouton. Puis le deuxième mouton saute
au-dessus du troisième. Enfin, le troisième saute au-dessus du
premier (qui, rappelons-le, a déjà bougé). Et le jeu recommence
indéfiniment...

En assimilant le pré à un plan et les moutons à des points du plan,
trouver les configurations de départ qui entra\^ine une partie de
saute-mouton pouvant se dérouler entièrement dans un champ,
c'est-à-dire tel que la suite des positions successives des trois
moutons reste bornée dans le plan.
\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{tournoi}
\nomficimprimable{tournoi}
\FichierUnique\titrebookmark{Tournois et relations d'ordre}
\Annee{2002}
\Titre{Tournois et relations d'ordre}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}


\Date{2002/12/04} % Format AAAA/MM/JJ. pour le 5 mars 2001: \Date{2001/03/05}

\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...

\AnglePedagogique{\Ludique} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{\Decouverte} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Ensembles} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...
\ThemesSecondaires{Relations d'ordre}

\Objectif{Cet exercice essaye de questionner ce qu'est un ordre, et comment on peut faire un classement.
En toile de fond, il y a le probleme d'un algorithme de tri. Les \'etudiants sont parfois surpris que
l'\'equipe m\'edaill\'ee d'argent n'est pas forc\'ement la deuxi\`eme meilleure.

Le fait de se poser la question de la validit\'e de l'hypoth\`ese que les \'equipes sont totalement ordonn\'ees
am\`ene \`a se poser la question de la d\'efinition de l'ordre.
} % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}

\qst{Tournoi standard.} Supposons qu'il y ait 4 \'equipes \`a d\'epartager.
Apr\`es un \'eventuel tirage au sort, le calendrier des matches est le suivant.
1\`ere demi-finale: l'\'equipe A rencontre l'\'equipe B; 2\`eme demi-finale: l'\'equipe C rencontre l'\'equipe D.
Ensuite, la finale des perdants oppose les deux perdants des 2 demi-finales, et la finale oppose les gagnants des 2 demi-finales.
Finalement, on distribue des m\'edailles: or et argent pour le gagnant et le perdant de la finale, 
bronze et chocolat pour le gagnant et le perdant de la finale des perdants.

On suppose qu'il existe une relation d'ordre total $\leq$ entre les $4$ \'equipes, de sorte que si deux \'equipes $E,E'$ sont telles
que $E< E'$, alors le match de $E$ contre $E'$ sera remport\'e par $E'$.

Peut-on \^etre s\^ur que l'\'equipe m\'edaill\'ee d'or est sup\'erieure aux autres~?
De m\^eme, peut-on \^etre s\^ur que l'\'equipe m\'edaill\'ee d'argent est sup\'erieure \`a celles m\'edaill\'ees de bronze et de chocolat~?
Peut-on \^etre s\^ur que l'\'equipe m\'edaill\'ee de chocolat est inf\'erieure aux autres~?

Par ailleurs, 
pensez-vous que l'existence d'une telle relation d'ordre soit r\'ealiste (voir aussi la question 2)?


\qst{Tournoi exotique.} Certains organisateurs de tournois sont des originaux: les tableaux suivants
montrent trois de ces tournois dans lesquels 6 \'equipes se sont rencontr\'ees.
Les tableaux contiennent les gagnant de chaque match: par exemple, si A a gagn\'e contre B (comme dans le tournoi 2), alors
\`a la colonne A, ligne B on notera A (le signe - signifie qu'il n'y a pas eu de match entre
les 2 \'equipes).

Pour chacun des trois tournois, d\'eterminer s'il existe un ordre total comme dans la question pr\'ec\'edente qui d\'etermine
l'issue du match. S'il en existe, le tournoi permet-il de le d\'eterminer~? 
Sinon, donner tous les ordres possibles compatibles avec le r\'esultat du tournoi. 
S'il n'existe pas d'ordre compatible avec les r\'esultats du tournoi, expliquer pourquoi.

\begin{center}
\begin{tabular}{|r|cccccc|}
\hline
Tournoi 1& A&B&C&D&E&F\\
\hline
A&*&-&C&D&-&-\\
B&-&*&B&-&-&F\\
C&C&B&*&-&C&C\\
D&D&-&-&*&E&D\\
E&-&-&C&E&*&E\\
F&-&F&C&D&E&*\\
\hline
\end{tabular}\hfill
\begin{tabular}{|r|cccccc|}
\hline
Tournoi 2& A&B&C&D&E&F\\
\hline
A&*&A&A&D&-&A  \\
B&A&*&C&-&-&-\\
C&A&C&*&-&E&-\\
D&D&-&-&*&D&-\\
E&-&-&E&D&*&E\\
F&A&-&-&-&E&*\\
\hline
\end{tabular}
\\
\vspace{0.3cm}


\begin{tabular}{|r|cccccc|}
\hline
Tournoi 3& A&B&C&D&E&F\\
\hline
A&*&-&C&-&-&-  \\
B&-&*&-&D&B&F\\
C&C&-&*&-&-&-\\
D&-&D&-&*&-&D\\
E&-&B&-&-&*&-\\
F&-&F&-&D&-&*\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\qst{Pr\'eordre et \'equipes \'equivalentes.}
Supposons qu'\`a l'issue d'un tournoi, il n'existe pas d'ordre sur l'ensemble des \'equipes
qui d\'etermine l'issue des matches. On dit qu'une \'equipe $e'$ est \emph{apparemment meilleure} que $e$
(et on note $e\prec e'$) si il existe des \'equipes $e_1,\dots,e_n$ telles que
$e$ a perdu un match contre $e_1$ qui a perdu un match contre $e_2$ qui a perdu un match contre $e_3$, etc.
et $e_n$ a perdu un match contre $e'$ (on consid\`ere qu'une \'equipe $e$ est apparemment meilleure qu'elle m\^eme: $e\prec e$).
On dira que deux \'equipes $e$ et $e'$ sont \emph{\'equivalentes}
si $e\prec e'$ et $e'\prec e$.

Montrer que la relation $\prec$ est une relation de pr\'e-odre, c'est \`a dire qu'elle est
transitive et r\'eflexive. Donner un exemple o\`u elle n'est pas anti-sym\'etrique.

Montrer que la relation <<\emph{$e$ et $e'$ sont \'equivalentes}>> est une relation d'\'equivalence.
Quelles ses classes d'\'equivalences dans le premier tournoi ?

\sq D\'emontrer le r\'esultat suivant:
\begin{quote}
(i)  Si $\prec$ est une relation de pr\'e-ordre sur un ensemble, alors la relation
$\sim $ d\'efinie par
$$x\sim y\iff x\prec y \text{ et } y \prec x$$
est une relation d'\'equivalence. 

(ii) De plus, si $X$ et $Y$ sont deux classes d'\'equivalences pour la relation $\sim$,
si il existe $x\in X$ et $y\in Y$ tels que $x\prec y$, alors pour tout $x'\in X$ et tout $y'\in Y$,
on a $x'\prec y'$; proposer alors une d\'efinition pour une relation (entre les classes d\'equivalence) 
qu'on noterait $X\prec Y$.

(iii) D\'emontrer que la relation $X\prec Y$ d\'efinie au dessus est une relation d'ordre sur l'ensemble des classes d'\'equivalences de $\sim$.
\end{quote}

\sq Que peut-on d\'eduire du r\'esultat pr\'ec\'edent \`a propos des classes d'\'equivalence
dans un tournoi~?

\end{exo}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\separation


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{valeur-propre-iterative}
\nomficimprimable{valeur-propre-iterative}
\FichierUnique\titrebookmark{Trouver la plus grande valeur propre par une m\'ethode it\'erative}
\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Trouver la plus grande valeur propre par une m\'ethode it\'erative}
\Niveau{\DEUGii}
\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\MAO}
\AnglesSecondaires{\Experimental} 
\Theme{\AlgLin}
\ThemesSecondaires{} %Reduction ?

\Objectif{
Les objectifs sont multiples : voir les valeurs propres sous un autre
jour ; exp\'erimenter et conjecturer ; trouver les bonnes hypoth\`eses
pour que la convergence aie lieu (\`a ce sujet, il est tr\`es
\'etonnant de voir que des \'etudiants ayant fait le calcul qui prouve
la convergence, ont d'immenses difficult\'es \`a trouver les
conditions de validit\'es de ce calcul, m\^eme quand, au fond,  il s'agit juste
de ne pas diviser par $0$.)

Am\'eliorations possibles : g\'eom\'etriquement, ce qui se passe est tr\`es clair :
par exemple si la plus grande valeur propre est de module sup\'erieur \`a 1,
quand on it\`ere un vecteur par la matrice,  sa norme augmente, mais
sa direction se raproche du sous-espace propre correspondant \`a la
plus grande valeur propre.
Comment pourrait-on faire visualiser ce syst\`eme
dynamique sous-jacent ?

On pourrait ne donner la deuxi\`eme partie (d\'emonstration)
qu'apr\`es que les \'etudiants aient abord\'e la premi\`ere (pour
\'eviter de vendre la m\`eche...)

Un des inconv\'enients de l'exercice est que les \'etudiants, avant la
toute fin du DEUG, n'ont jamais manipul\'e la norme, et ne connaissent
donc pas ses propri\'et\'es.
} % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}
% Le but de cet exercice est de d\'ecrire une mani\`ere de 
%trouver num\'eriquement une approximation de la valeur propre de plus grande 
%valeur absolue, ceci \emph{sans calculer le polyn\^ome caract\'eristique}.

On rappelle que si $v$ est un vecteur de ${\bbR}^2$, on note $\parallel v\parallel$
le nombre $\sqrt {|v[1]|^2 +|v[2]|^2}$ (norme euclidienne, en Maple : norm).
Cette norme v\'erifie l'in\'egalit\'e triangulaire et
$\parallel \lambda v\parallel=
|\lambda|\parallel v\parallel$. 


\paragraph{Phase exp\'erimentale :} choisir une matrice $A$, $2\times 2$ \`a coefficients 
r\'eels, au hasard, par exemple l'une des matrices suivantes :

$\Mx{1&2\\3&1}\ \ \ 
\Mx{4&4\\1&4}\ \ \ 
\Mx{1&1\\1&0}$.

V\'erifier (avec Maple ) que la matrice $A$ est diagonalisable sur
${\bbR}$ et donner des valeurs  
num\'eriques approch\'ees de ses valeurs propres (si elle n'est pas
diagonalisable, changer de matrice !).



Choisir un vecteur $v\in {\bbR} ^2$ au hasard. Calculer les premi\`eres valeurs 
des vecteurs $Av,\cdots ,A^nv, \cdots$. 
Donner une conjecture sur la limite du rapport de $\parallel A^{n+1}v\parallel$
et $\parallel A^n v\parallel$, quand $n \rightarrow +\infty$.

R\'ep\'eter l'exp\'erience avec plusieurs matrices.

\paragraph{D\'emonstration.} On veut prouver le r\'esultat suivant :
Soit $A$ une matrice $2 \times 2$, diagonalisable sur ${\bbR}$, et on note
$\lambda$ la valeur propre de plus grande valeur absolue. Montrer que si $v$ 
est un vecteur de ${\bbR}^2$, v\'erifiant une certaine condition
(\emph{\`a trouver !}), le quotient $\parallel A^{n+1}v\parallel/
\parallel A^n v\parallel$ tend vers $|\lambda |$ quand $n \rightarrow +\infty$.
 
\sq On pourra commencer par \'ecrire la preuve pour une matrice diagonale.

\sq Prouver ensuite le r\'esultat dans le cas g\'en\'eral d'une matrice $
2\times 2$ diagonalisable non diagonale.

\sq Plus difficile : \'enoncer et prouver le r\'esultat pour une matrice de taille 
quelconque.

\paragraph{Facultatif.} Quand on manipule des matrices de tr\`es grande taille, le 
calcul du polyn\^ome caract\'eristique est tr\`es long (le calcul d'un 
d\'eterminant d'une matrice $p\times p$ demande plus de $p!$ "op\'erations
\'el\'ementaires" (addition ou multiplication de 2 r\'eels).
Calculer le nombre d'op\'erations \'el\'ementaires pour calculer
$\parallel A^{n+1}v\parallel/\parallel A^n v\parallel$
pour une matrice $A$ de taille $p\times p$. Commenter ?
\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\separation


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{contraire}
\nomficimprimable{contraire}
\FichierUnique\titrebookmark{Contraire informel et n\'egation math\'ematique}
\Annee{2002}
\Titre{Contraire informel et n\'egation math\'ematique}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}

\Date{2002/12/04} % Format AAAA/MM/JJ. pour le 5 mars 2001: \Date{2001/03/05}

\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...

\NiveauxSecondaires{} %Eventuellement, les niveaux secondaires separes par des virgules 

\AnglePedagogique{\Metamath} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{\Langage,\Ludique} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Technique} 
%Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\Objectif{De mani\`ere surprenante, la n\'egation math\'ematique 
est difficile \`a acqu\'erir pour les \'etudiants.
D'apr\`es le Larousse, contraire signifie \emph{ce  qui  est  inverse,  tout  à  fait  opposé.} 
Ainsi, le \emph{contraire} (en fran{\c c}ais) de ``il fait beau tous les jours'', est sans doute
``il fait mauvais tous les jours''
bien plus que ``il fait mauvais certains jours''. 
La n\'egation math\'ematique n'est donc pas 
imm\'ediatement assimilable au \emph{contraire} en fran{\c c}ais
(notion qui n'est sans doute pas bien d\'efinie).
Le but de l'exercice est
de mettre le doigt sur cette difficult\'e pour arriver \`a la d\'epasser
en utilisant des situations concr\`etes.

On peut aussi s'appuyer sur cet exercice pour introduire la proc\'edure m\'ecanique de n\'egation 
d'un \'enonc\'e formalis\'e. La difficult\'e se ram\`ene alors \`a la formalisation de l'\'enonc\'e initial
avec l'inconv\'enient qu'en perdant le sens, on perd un moyen de contr\^oler ce qu'on \'ecrit.
} % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}
\newcommand{\guil}[1]{``\emph{#1}''}
Le but de l'exercice est de bien comprendre la n\'egation math\'ematique
d'une phrase, d'un \'enonc\'e, et la diff\'erence qu'il peut y avoir avec son \emph{contraire},
en fran{\c c}ais.
D'apr\`es le Larousse, \emph{contraire} signifie  \emph{ce  qui  est  inverse,  tout  à  fait  opposé.  Froid  est  le  contraire  de  chaud.} 

Consid\'erons la phrase
\guil{dans ce pays, il fait beau tous les jours}. 
En fran{\c c}ais, on peut avoir tendance \`a dire que son contraire\footnote{En math\'ematiques, on utilise souvent le mot contraire comme synonyme de n\'egation. Dans cet exercice, on fait la distinction entre la \emph{n\'egation} au sens math\'ematique, et le \emph{contraire} (au sens du francais) qui n'a pas vraiment de d\'efinition univoque.} est
\guil{dans ce pays, il fait mauvais tous les jours}.
Pourtant, ce n'est pas sa n\'egation math\'ematique.
En effet, dans un pays o\`u il fait beau un jours sur deux,
les deux phrases sont fausses or une phrase et sa n\'egation
doivent toujours avoir des valeurs de v\'erit\'e diff\'erentes
(s'il l'une est vraie, l'autre est fausse).

\sq Quelle est la n\'egation de la phrase de l'\'enonc\'e~?

\sq Quelle sont les n\'egation des phrases suivantes~:
\ssq \guil{tous les lundis, je joue au squash}~?

\ssq \guil{tous les lundis, je joue au squash et je me douche}~?

\ssq \guil{tous les lundis o\`u il fait beau, je joue au tennis}

\ssq \guil{tous les lundis, s'il fait beau, je joue au tennis}

\ssq \guil{tous les lundis, je joue au squash ou au tennis}

\ssq \guil{je joue au squash au moins une fois par semaine}


\ssq \guil{chaque semaine, si je n'ai pas jou\'e au squash, je joue au tennis au moins deux fois}

\ssq \guil{tous les ans, il y a des semaines o\`u je ne peux pas jouer au squash}

\ssq \guil{certaines ann\'ees, je joue au squash tous les lundi (sans exception)}




\end{exo}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "contraire"
%%% End: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{ordre_complexe}
\nomficimprimable{ordre\_complexe}
\FichierUnique\titrebookmark{Ordonner les nombres complexes}
\Annee{2002}

\Titre{Ordonner les nombres complexes}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}


\Date{2002/12/05} % Format AAAA/MM/JJ. pour le 5 mars 2001: \Date{2001/03/05}

\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...


\NiveauxSecondaires{} %Eventuellement, les niveaux secondaires separes par des virgules 

\AnglePedagogique{\Metamath} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Ensembles} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...
\ThemesSecondaires{Relations d'ordre}


\Objectif{Il s'agit ici de faire comprendre aux \'etudiants pourquoi \emph{on n'a pas le droit}
de comparer deux nombres complexes. Il faut sans doute s'attendre \`a ce que certains pensent qu'il n'existe
pas d'ordre total sur $\bbC$ du tout.} % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}
Consid\'erons un ordre total $\prec$ sur $\bbC$.
Disons qu'un tel ordre est \emph{raisonnable} si on a les deux propri\'et\'es suivantes:
\begin{itemize}
\item si $a\prec b$, alors $a+c\prec b+c$
\item si $a\prec b$ et $c\succ 0$, alors $ac\prec bc$.
\end{itemize}
Le but de l'exercice est de d\'emontrer qu'il n'existe pas d'ordre raisonnable sur $\bbC$.

\sq Existe-t-il un ordre total sur $\bbC$~?

Supposons maintenant que $\prec$ soit un ordre raisonnable. On veut aboutir \`a une contradiction.

\sq D\'emontrer que si $x\succ 0$, alors $-x\prec 0$.

\sq D\'emontrer que si $x\succ 0$ alors $x^2 \succ 0$. 

\sq D\'emontrer que si $x\prec 0$ alors $x^2 \succ 0$. 

\sq D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes que $1\succ 0$, et en d\'eduire \`a la fois
que $-1\prec 0$, et $-1\succ 0$, ce qui est impossible.

\end{exo}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{questions-systeme}
\nomficimprimable{questions-systeme}
\FichierUnique\titrebookmark{Plusieurs questions sur un syst\`eme.}
\Annee{2001}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Plusieurs questions sur un syst\`eme.}
\AnglePedagogique{\Metamath}
\Theme{\AlgLin}
\Niveau{\DEUGi}
\etiquette{questions_systeme}

\Objectif{Le but de cet exercice, est de mettre en \'evidence le fait qu'il y
a \emph{plusieurs} questions \`a se poser sur un syst\`eme d'\'equations
\`a part sa r\'esolution.}


\begin{exo}
Lorsqu'on a un syst\`eme d'\'equations, il n'y a pas que sa r\'esolution
qui est int\'eressante. On peut se poser d'autres questions: est-ce que le
syst\`eme admet au moins une solution? Est-ce qu'il en admet une unique?



\sq On consid\`ere le syst\`eme suivant :
$$(S)\left\{
\begin{matrix}
x+y+z+t&=&a \cr  x-y-z-t&=&b \cr -x-y\ +t&=&c \cr -3x+y-3z-7t&=&d
\end{matrix}\right.$$
\begin{enumerate}
\item A quelle condition $(S)$ admet-il une solution?
\item Montrer que si $a,b,c,d>0$ alors $(S)$ n'a pas de solution.
\item Quel est l'ensemble des solutions du syst\`eme homog\`ene associ\'e?
\end{enumerate}

\sq Soit $A=\left(\begin{array}{rrrr}
1 & 1& 1& 1\\ 1& -1& -1& -1\\ -1& -1& 0& 1\\ -3& 1& -3& -7
           \end{array}\right)$ et $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t \end{pmatrix}$.
Soit $f:\bbR^4\ra\bbR^4$ d\'efinie par $f(X)=A.X$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(X)$. Montrer que $f$ est lin\'eaire.
\item Quelle est sa matrice dans la base canonique de $\bbR^4$?
\item $f$ est-elle surjective? injective?
Trouver l'image et le noyau de $f$.
\item $f$ est-elle inversible ?
\item Le vecteur $\begin{pmatrix}  1\\1\\1\\1 \end{pmatrix}$ appartient-il \`a l'image de $f$?
au noyau de $f$ ?
\end{enumerate}

\sq 
\begin{enumerate}
\item 
Le vecteur $V=
\begin{pmatrix}
  1\\2\\3\\4
\end{pmatrix}$
appartient-il \`a l'espace vectoriel engendr\'e par 
$V_1=\left(\!\!\begin{array}{r}
 1\\1\\-1\\-3 
\end{array}\right),
V_2=\left(\!\!\begin{array}{r}
 1\\-1\\-1\\1 
\end{array}\right),
V_3=\left(\!\!\begin{array}{r}
 1\\-1\\0\\-3 
\end{array}\right),
V_4=\left(\!\!\begin{array}{r}
 1\\-1\\1\\-7 
\end{array}\right)$ ?
\item Ces 4 vecteurs sont-ils lin\'eairement ind\'ependants ?
\end{enumerate}


  
\end{exo}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\separation


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{quizzes_alglin}
\nomficimprimable{quizzes\_alglin}
\FichierUnique\titrebookmark{Quizzes d'alg\'ebre lin\'eaire}
\Annee{2002}
\Titre{Quizzes d'alg\'ebre lin\'eaire}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}

\Date{2002/04/08} % Format AAAA/MM/JJ. pour le 5 mars 2001: \Date{2001/03/05}

\Niveau{\DEUGii} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...

\AnglePedagogique{\Quizz} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...


\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\AlgLin} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{} %Eventuellement, les themes secondaires separes par des virgules

\Objectif{Comment faire en sorte que les \'etudiants apprennent leur cours~? 
Le but de ces petits exercices est de donner des petites questions  aux \'etudiants pour les aider \`a travailler le cours de mani\`ere active, 
en se posant des questions. 

La m\'ethode utilis\'ee pour poser ces quizzes, inspir\'ee par Myriam Deschamps  \`a Orsay, est la suivante~:
Le quizz est distribu\'e aux \'etudiants \`a l'avance. Ensuite, \`a une date 
convenue \`a l'avance, on distribue 3 questions extraites de ce quizz. Les \'etudiants ont un quart d'heure pour y r\'epondre.

Cette m\'ethode a l'avantage
d'\^etre bien accept\'ee par les \'etudiants (en g\'en\'eral, 
ils jouent le jeu et travaillent ces questions) et
de les aider \`a aborder le cours.

Ces quizzes ont \'et\'e donn\'es \`a des \'etudiants de DEUG SMa,
pour un module traitant des d\'eterminants, diagonalisation des endomorphismes,
formes quadratiques et diagonalisation des matrices sym\'etriques.} % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}
% mettre ici le texte de l'exercice.
\renewcommand{\thessq}{\arabic{ssq}}
\partie{Quizz de rappels}


% pour introduire une     question (1,2,3) , sous-question (a,b,c) , sous-sous-question (i,ii,iii) 
% utiliser les commandes   \qst{titre}          \sq                    \ssq
% pour faire des separations entre des grandes parties (I,II,III), utiliser la commande \partie{titre}
% les commandes \sq et \ssq peuvent accepter un titre optionel \sq[titre] \ssq[titre]

% Ne pas utiliser de macro exotique sans la definir.
% Conventions: les nombres reels, complexes, entiers etc: \bbR \bbC \bbN.
% Lettres caligraphiques: \cala \calb \calc \cald etc... donnent des A,B,C,D caligraphiques.





R\'epondre par OUI ou par NON aux questions suivantes et justifier la
r\'eponse par une d\'emonstration ou un contre-exemple, selon le cas.
Dans ce qui suivra, $E$ est un $K$-espace vectoriel et $K=\bbR,\bbC$.


\ssq Soient $u$ et $v$ deux vecteurs de $\bbR^n$. Alors
$Vect(u,v)=Vect(u+v,u-v)$.



\ssq Les nombres complexes $1+i$ et $1-i$ engendrent $\bbC$ comme espace
    vectoriel sur $\bbR$.




\ssq Il existe un vecteur $u\in\bbR^2$ tel que $Vect(u)=\bbR^2$. 



\ssq Soient $F,G,H$ trois sous-espaces vectoriels de $\bbR^n$ tels que
$F+H=G+H$. Alors $F=G$.



\ssq Si $F$ est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel $E$,
alors $F+(-F)=\{0\}$, o\`u $-F:=\{-x\,\vert\, x\in F\}$.



\ssq $\{\lambda (X^2+i),\, \lambda\in \bbR\}$ est un sous-espace
vectoriel du $\bbC$-espace vectoriel $\bbC[X]$.



\ssq $(1,0,0)+Vect\{(1,1,1), (1,0,0)\}$ est un sous-espace vectoriel de
$\bbR^3$.



\ssq Soient $u,v,w\in \bbR^3$ trois vecteurs deux \`a deux
   non-colin\'eaires. Alors ils engendrent $\bbR ^3$.



\ssq L'ensemble des solutions $(x,y,z)$ du syst\`eme lin\'eaire $\left\{
\begin{array}{ccc} x-y-z & = & 0 \\ 2x-3y+z & = & 0 \end{array}
\right. $ est un sous-espace vectoriel de $\bbR^3$.



\ssq L'ensemble des solutions $(x,y,z,t)$ du syst\`eme lin\'eaire
$\left\{ \begin{array}{ccc} x-y-z+t & = & 1 \\ 2x-3y+z+t & = & 0
\end{array} \right. $ est un sous-espace vectoriel de $\bbR^4$.



\ssq Soit $A$ une partie non-vide de $E$. Il existe un sous-espace
vectoriel de $E$ contenant $A$. 



\ssq $\bbZ^n$ est un sous-espace vectoriel de $\bbR^n$.



\ssq $\{0\}$ et $\emptyset$ sont des sous-espaces vectoriels de
    $\bbC^n$.



\ssq Un syst\`eme d'\'equations cart\'esiennes de la droite de $\bbR^3$
    engendr\'ee par le vecteur $(10, 12, 15)$ est donn\'e par
$$\left\{ \begin{array}{ccc} 3x-2z & = & 0 \\ -3x+5y-2z & = & 0
\end{array} \right. $$




\ssq Le syst\`eme en $x,y,z,t$ suivant admet trois variables
    principales:

$$\left\{ \begin{array}{ccc} x-y-z+3t & = & 5 \\ 2x-y-4z+9t & = & 16\\
x-4z+5t & = & 15\\ 
                     x-y-7z+7t & = & 25 \end{array} \right. $$


\ssq Une matrice ayant des entr\'ees non-nulles ne peut pas se transformer
    en une matrice ayant toutes les entr\'ees nulles, par une suite
    finie d'op\'erations \'el\'ementaires sur ses lignes. 



\ssq La direction de la droite affine $\{(1+3t, 4+5t, -1-t) \,\vert\,
t\in\bbR\}$ est donn\'ee par le vecteur $(1,4,-1)$ de $\bbR^3$. 



\ssq Si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$, alors
$(F+G)\cup F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. 

\ssq \label{quest_19}
Soient $a_1,a_2, \dots ,a_n\in K$, non tous nuls. L'\'equation
lin\'eaire $a_1x_1+a_2 x_2+\dots +a_n x_n=0$ admet une et une seule
inconnue principale. 

\ssq On utilise les m\^emes notations que pour la question \ref{quest_19}. 
L'ensemble
des solutions de l'\'equation lin\'eaire $a_1x_1+a_2 x_2+\dots +a_n
x_n=0$ est un sous-espace vectoriel engendr\'e par $n-1$ vecteurs. 



\partie{Quizz sur les d\'eterminants}

Dans ce qui suit, toutes les matrices consid\'er\'ees sont des matrices carr\'ees. 

\ssq Soit $M'$ la matrice obtenue \`a partir d'une matrice $M$
par l'op\'eration $L_1\leftarrow 2L_1+L_2$. Alors $\det(M)=\det(M')$.


\ssq Si deux syst\`emes d'\'equations lin\'eaires homog\`enes ont le m\^eme d\'eterminant,
alors les espaces de solutions des deux syst\`emes ont la m\^eme dimension.


\ssq 
Quelles que soient $A,B$ deux matrices d'ordre $n$, on a 
$\det(A+B)=\det(A)+\det(B)$



\ssq Supposons que $M$ et $M'$ sont deux matrices carr\'ees telles qu'il existe
$X \in \bbR^n\setminus\{0\}$ tel que $MX=M'X$. Peut-on en d\'eduire que $\det(M)=\det(M')$.

\ssq 
S'il existe $X \in \bbR^n\setminus\{0\}$ tel que $MX=M'X$, peut-on en d\'eduire que $\det(M-M')=0$.


\ssq 
$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \det(\lambda M)=\lambda \det(M)$


\ssq Pour tous $v_1,\dots,v_n\in\bbR^n$, on a
$\det_{\cal{B}}(v_1,v_2,v_3...,v_n)=\det_{\cal{B}}(v_1-v_2,v_2-v_1,v_3,...,v_n)$


\ssq Si $E$ est un espace vectoriel de dimension 4, alors quels que soient $v_1,v_2\in E$,
on a $\det_{\cal B}(v_1-v_2,3v_1+5v_2,2v_1-4v_2,7v_1-3v_2)=0$.



\ssq 
L'équation en $x \in \mathbb{R}$ suivante :
$$ \det_{\cal{B}}(v_1+xv,v_2,...,v_n)=0$$ possède une unique solution si et seulement si 
$v$ n'appartient pas à l'espace vectoriel engendré par $v_2,...,v_n$.


\ssq 
Si $\forall v \in E, \det_{\cal{B}}(v_1,v_2,...,v_{n-1}, v)=0$, alors $(v_1,...,v_{n-1})$ est liée.


\ssq 
Supposons $n=3$. Alors 
$\det_{\cal{B}}(v_1,v_2,v_3)=\det_{\cal{B}}(v_2,v_3,v_1)$

\ssq 
Soit $v$ un vecteur d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$. 
Si $\det(v_1+v,v_2,...,v_n)=\det(v_1,...,v_n)$, 
alors $v \in vect(v_2,..,v_n)$.


\ssq 
Si le déterminant d'une famille de $n$ vecteurs de $E$ est nul dans une base donnée, alors il est nul dans n'importe quelle base.

\ssq 
 Si le déterminant d'une famille de n vecteurs de $E$ est positif dans une base donnée, alors il est positif dans n'importe quelle base.


\ssq Si le d\'eterminant d'une application lin\'eaire est positif dans une base donn\'ee,
alors il est positif dans n'importe quelle base.

\ssq Soit $f$ un endomorphisme de ${\mathbb R}^n$. Si $\det_{\cal B}(f(v_1),\dots,f(v_n))=0$
est nul quels que soit la famille de vecteurs $(v_1,\dots,v_n)$, alors $\det f=0$.

\ssq Soit $f$ un endomorphisme de ${\mathbb R}^n$. Si il existe une famille de vecteurs $v_1,\dots,v_n$
tels que $\det_{\cal B}(f(v_1),\dots,f(v_n))=0$ alors $\det f=0$.

\ssq Le d\'eterminant d'une projection dans $\bbR^3$ est toujours \'egal \`a $1$.

\ssq Le d\'eterminant d'une sym\'etrie est toujours \'egal \`a $1$ ou $-1$.

\ssq Le d\'eterminant d'une homoth\'etie de $\bbR^4$ est toujours positif.


\partie{Quizz sur diagonalisation des endomorphismes}

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, $T$ et $T'$ des endomorphismes de $E$,
$A,B,P$ des matrices carr\'ees $n\times n$.

\ssq Un endomorphisme ayant une valeur propre non nulle est toujours inversible.

\ssq Si un endomorphisme n'a pas de valeur propre, alors il est inversible.

\ssq Si $T:E\ra E$ n'a pas de valeur propre, $T$ ne peut pas \^etre diagonalisable.
(question subsidiaire~: et si $T$ en a une seule ? )

\ssq Soit $T:E\ra E$ l'homoth\'etie de rapport $\lambda$ (par d\'efinition,
pour tout $v\in E$, $T(v)=\lambda v$). Y-a-t-il des bases dans lesquelles
la matrice de $T$ n'est pas diagonale ?

\ssq Si $T$ est diagonalisable, sa matrice est diagonale dans 
n'importe quelle base.

\ssq Si $\lambda$ est valeur propre de $T$, alors $\lambda^n$ est
valeur propre de $T^n$.

\ssq Si $\lambda$ est valeur propre de $T$ et $\mu$ valeur propre de $T'$
alors $\lambda+\mu$ est valeur propre de $T+T'$

\ssq Si $\lambda$ est valeur propre de $T$ et $\mu$ valeur propre de $T'$
alors $\lambda\mu$ est valeur propre de $T\circ T'$


\ssq Si $\lambda$ est une valeur propre de $A$, alors
$\lambda^2+3\lambda+1$ est valeur propre de $A^2+3A+\mathrm{I_n}$.

\ssq Si $T$ est diagonalisable, alors $T^2$ est forc\'ement diagonalisable

\ssq Si $T^2$ est diagonalisable alors $T$ est forc\'ement diagonalisable

\ssq Si $A$ est diagonalisable alors pour toute matrice $P$ inversible, $AP$ est diagonalisable

\ssq Si $A$ est diagonalisable alors pour toute matrice $P$ inversible, $PAP\m$ est diagonalisable

\ssq Si $A$ est diagonalisable et si $A^2=0$ alors $A=0$.

\ssq Soit $f$ un endomorphisme de $E$, soit $A$ la matrice de $f$ dans une base $\calb$
et $A'$ la matrice de $f$ dans une base $\calb'$. Alors $A$ et $A'$ ont les m\^emes
valeurs propres.

\ssq Avec les notations au dessus, $A$ et $A'$ ont les m\^emes vecteurs propres.

\ssq Supposons que $T$ et $T'$ sont diagonalisables. Si $T$ et $T'$ ont les m\^emes espaces propres,
alors $TT'=T'T$.

\ssq Soit $v$ un vecteur propre de $T$ de valeur propre non nulle. 
Alors $T(v)$ est un vecteur propre de $T$.

\ssq Supposons qu'il existe des bases $\calb$ et $\calb'$ de $E$ telles que
$Mat_{B,B'}(T)$ soit diagonale.
Alors $T$ est diagonalisable.

\ssq Soit $A$ une matrice diagonalisable. Alors, l'application de $T:\bbR^n\ra \bbR^n$
d\'efinie par $T(X)=A.X$ est diagonalisable.



\partie{Quizz sur les formes quadratiques}



\ssq Le noyau d'une forme quadratique est un espace vectoriel.

\ssq La somme de deux vecteurs isotropes est un vecteur isotrope.

\ssq Si $q(v_1)>0$ et $q(v_2)>0$ alors $q(v_1+v_2)>0$.


\ssq Supposons que $q$ n'a pas de vecteur isotrope. Alors $q$ ou $-q$ est un produit scalaire.

\ssq Soit $q$ une forme quadratique sur $\bbR^2$ telle qu'il existe deux droites $d_1$ et $d_2$
en somme directe telles que $q$ soit d\'efinie positive sur $d_1$ et sur $d_2$.
Alors $q$ est d\'efinie positive.

\ssq Soit $q$ une forme quadratique sur $\bbR^2$ telle qu'il existe deux droites $d_1$ et $d_2$
en somme directe telles que $q$ soit d\'efinie positive sur $d_1$ et d\'efinie n\'egative sur $d_2$.
Alors $q$ est de signature $(1,1)$.

\ssq La somme de deux formes quadratiques d\'efinies positives est d\'efinie positive.

\ssq La somme de deux formes quadratiques de signature $(1,1)$ est une forme quadratique de signature
$(1,1)$.

\ssq Une forme quadratique born\'ee est nulle

\ssq Si $f$ et $g$ sont deux formes lin\'eaires, alors $(x,y)\mapsto f(x)g(y)$ est une forme bilin\'eaire.

\ssq Le produit de deux formes bilin\'eaires est une forme bilin\'eaire.

\ssq Si $f$ est une forme lin\'eaire sur $\bbR^3$, alors $(x,y)\mapsto f(x)f(y)$ est un 
produit scalaire.

\ssq Soient $q$ et $q'$ deux formes quadratiques sur $\bbR^n$ ayant la m\^eme signature.
Alors il existe des bases $\calb$ et $\calb'$ telles que $Mat_\calb(q)=Mat_{\calb'}(q')$.

\ssq Soient $q$ et $q'$ deux formes quadratiques sur $\bbR^n$ telles qu'il 
existe des bases $\calb$ et $\calb'$ avec $Mat_\calb(q)=Mat_{\calb'}(q')$.
Alors $q$ et $q'$ ont la m\^eme signature.

\ssq La signature de la forme quadratique $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$ sur $\bbR^3$ est $(3,0)$.

\ssq Soit $q$ une forme quadratique sur $\bbR^n$. Alors le d\'eterminant de sa matrice
dans une base $\calb$ est ind\'ependant de la base choisie.

\ssq Soit $q$ une forme quadratique sur $\bbR^n$. Alors le rang de sa matrice
dans une base $\calb$ est ind\'ependant de la base choisie.

\ssq Soit $q$ une forme quadratique sur $\bbR^n$. Alors la trace sa matrice
dans une base $\calb$ est ind\'ependant de la base choisie.

\ssq Soit $T$ un automorphisme de $E$, $q$ une forme quadratique, et $\calb$ une base de $E$.
Soit $A$ la matrice de $T$ dans la base $\calb$, et $Q$ la matrice de $q$ dans cette m\^eme base.

Alors la matrice de la forme quadratique $q\circ T$ dans la base $\calb$ est \'egale \`a $QA$.

\ssq Avec les notations au dessus, la signature de $q$ est \'egale \`a celle de $q\circ T$.



\end{exo}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\separation


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{equations-polynomiales}
\nomficimprimable{equations-polynomiales}
\FichierUnique\titrebookmark{\'Equations polynomiales}
\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{\'Equations polynomiales}
\Niveau{\DEUGi}
\AnglePedagogique{\Technique} 
\AnglesSecondaires{\Metamath}
\Theme{\Polynomes}


\Objectif{Savoir quels types d'\'equations on peut r\'esoudre avec les
techniques du cours (et les r\'esoudre !)
\'Evidemment, cette formulation inhabituelle pose des probl\`emes
p\'edagogiques : les \'etudiants se satisfont difficilement de la
r\'eponse ``Je ne sais pas faire'' quand elle vient du prof ! (Manque
d'habitude ?...) On peut bien sur \'evoquer la th\'eorie de Galois,
dire que m\^eme si on n'a pas de formules, on a des algorithmes pour
trouver des solutions approch\'ees ; mais l'essentiel est de ne pas
apprendre une technique sans \^etre conscient de ses limites !
D'ailleurs, je ne sais absolument pas si les \'equations atypiques
donn\'ees ici  sont r\'esolubles par radicaux ou non...
} % Decrire ici l'objectif de
                                                                                   % l'exercice



\begin{exo}
% mettre ici le texte de l'exercice.
% pour introduire une sous-question, utiliser la commande \sq
% Ne pas utiliser de macro exotique sans la definir.
% Conventions: les nombres reels, complexes, entiers etc: \bbR \bbC \bbN.
% Lettres caligraphiques: \cala \calb \calc \cald etc... donnent des A,B,C,D caligraphiques.
% les fichiers de figures doivent etre dans un repertoire nommé "figures".

  R\'esoudre, si c'est possible, les \'equations polynomiales suivantes :
$$
\begin{array}{lll}
(a) \ \  z^{3}=i  &  (b) \ \  z^{5}=1 +i\sqrt 3  \\
  (c) \ \  z^{2}+2iz+1=0 &  (d)  \ \ z^{10}-2i\sqrt{3}z^{5}-4=0 \\
  (e) \ \  1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+z^{5}=0  & (f)  \ \ 1+z+2z^{2}+z^{3}+z^{4}+z^{5}=0  \\
  (g) \ \  z^{11}-2i\sqrt{3}z^{5}-4=0 &  (h)  \ \ (z+1)^{n}-(z-1)^{n}=0.
\end{array}
$$
Inventer des \'equations que l'on peut  r\'esoudre avec les techniques
du cours, puis des \'equations que vous ne savez pas r\'esoudre.
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\separation


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{allure-de-fonctions}
\nomficimprimable{allure-de-fonctions}
\FichierUnique\titrebookmark{Allure du graphe d'une fonction}
\Annee{2004}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{}
\Date{2004/10/01}
\Titre{Allure du graphe d'une fonction}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{}

\AnglePedagogique{\Visualisation} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Fonctions} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{} 

\Objectif{Au lyc\'ee, l'Analyse consiste surtout \`a \'etudier des fonctions, et l'\'etude d'une fonction consiste surtout \`a calculer sa d\'eriv\'ee pour obtenir son tableau de variation.
Ceci a un effet pervers : en g\'en\'eral, les \'etudiants pensent que c'est la seule fa\c con d'avoir une id\'ee de l'allure du graphe d'une fonction (\`a part la m\'ethode calculatrice...). Pourtant, cette m\'ethode n'est pas tr\`es efficace, puisqu'il arrive souvent qu'on ne puisse pas d\'eterminer le signe de la d\'eriv\'ee~; d'autre part, souvent on peut dire bien des choses par des consid\'erations g\'eom\'etriques \`a partir de la formule qui d\'efinit la fonction...}

\begin{exo}
\emph{Le but de cet exercice est d'apprendre \`a tracer l'allure de fonctions \textbf{sans calculer de d\'eriv\'ee}, en partant des ``briques de base'' \`a partir desquelles la fonction est construite.
}

\def\ra{\rightarrow}
\medskip
Tracer l'allure des graphes des fonctions suivantes (sur l'intervalle $[-6\pi, 6\pi]$, par exemple), sans effecter de calculs, puis v\'erifier votre dessin sur une calculatrice graphique.
\begin{enumerate}
\item $f_{1} : x \ra x\sin(x)$. \textbf{Aide :} Montrer que $-x \leq f_{1}(x) \leq x$ ; pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $f_{1}(x)=x$ ? $f_{1}(x)=-x$ ? $f_{1}(x)=0$ ? Placer ces points, puis compl\'eter rapidement le graphe. 
\item $f_{2} : x \ra x^2 \sin(x)$. \textbf{Aide :} suivre la m\^eme d\'emarche.
\item $f_{3} : x \ra \sin(x)+x$. 
\item $f_{4} : x \ra \sin(x)+x^2$.
\item $f_{5} : x \ra \mid \sin(x) \mid$.
\item $f_{6} : x \ra \exp(\sin(x))$.
\item $f_{7} : x \ra \mid \sin(x) \mid +x$.
\item (*) $f_{8} : x \ra (\sin(x))^2$.
\item(*) $f_{9} : x \ra \exp(x\sin(x))$.
\end{enumerate}


\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{spirale}
\nomficimprimable{spirale}
\titrebookmark{Calcul de la longueur d'une spirale}
\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Calcul de la longueur d'une spirale}
\Niveau{\DEUGii} 
\NiveauxSecondaires{\DEUGi}
\AnglePedagogique{\Visualisation}
\AnglesSecondaires{\AQuoiCaSert} 
\Theme{\Series} 
\ThemesSecondaires{Trigonom\'etrie}

\Objectif{
Visualiser g\'eom\'etriquement des s\'eries : ici, la spirale est
constitu\'ee d'une infinit\'e de segments, sa longueur s'obtient donc
comme la somme d'une s\'erie. On s'est arrang\'e pour qu'il ne
s'agisse pas d'une s\'erie g\'eom\'etrique (contrairement \`a la
plupart des exemples simples de s\'eries en g\'eom\'etrie). Voir
un contexte o\`u une s\'erie apparait naturellement.
}
\begin{exo}

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{spirale.epsi}%Taille a changer !!
\par
\caption{construction d'une spirale}
\label{figspirale}
\end{center}
\end{figure}

Sur la figure \ref{figspirale}, le cercle est
 de rayon $1$ et on donne les longueurs des segments $OA_n$~:
$l_n=1/n$. Calculer la longueur de la spirale.

Aide : dans un triangle de c\^ot\'es $c_1$, $c_2$ et $c_3$, on a
$c_3^2=(c_2-c_1cos \alpha)^2+(c_1sin \alpha)^2$, o\`u $\alpha$ est
l'angle entre les c\^ot\'es $c_1$ et $c_2$.

\end{exo}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{Carre-en-cercle}
\nomficimprimable{Carre-en-cercle}
\titrebookmark{D\'eformer un carr\'e en un cercle}
\Annee{2002}
\Titre{D\'eformer un carr\'e en un cercle}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{Arnaud \textsc{Ch\'eritat}}


\Date{2002/07/26} 
\Niveau{\DEUGii} 
\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\Visualisation}
\AnglesSecondaires{\Ludique}
\Theme{\Topologie}
\ThemesSecondaires{\FonctionsPlusieursVars}
\Objectif{Cet exercice peut constituer une introduction \`a la notion
d'hom\'eomorphisme. Il a aussi l'int\'er\^et de demander aux \'etudiants de
mod\'eliser une d\'eformation d\'ecrite g\'eom\'etriquement par une formule. On
fait ainsi appara\^{\i}tre une utilisation ``concr\`ete'' d'une fonction
de trois variables. 

On peut visualiser la déformation avec un petit programme, par exemple
en Maple, disponible sur le site d'EXEMAALT :

\centerline{\href{\repertexos Carre-en-cercle/Carre-en-cercle.mws}{\repertexosAffichable Carre-en-cercle/Carre-en-cercle.mws}}

Les formules pour déformer un bateau en un crabe sont malheureusement
un peu plus compliquées...
}

\begin{exo}
On travaille dans le plan. Soit $S$ le cercle de centre $(0,0)$ et de
rayon $1$, et $C$ le carr\'e de sommets $(1,1)$, $(-1,1)$, $(-1,-1)$ et
$(1,-1)$ (voir la figure).
%
% Le dessin suivant repr\'esente un cercle inscrit dans un carr\'e. Des
% rayons partent du carr\'e en direction du centre du cercle. Ils se 
% terminent sur le cercle par une fl\`eche, et certains se prolongent en
% pointill\'es \`a l'int\'erieur du cercle jusqu'\`a son centre.
% Un point du carr\'e est not\'e v_1, le point du cercle correspondant est
% not\'e v_2, la demi-droite correspondante est not\'ee \Delta.

\begin{figure}[ht!]
\par
\centerline{\hbox{\input{Carre-en-cercle-figure.pstex_t}}}
\par
\caption{L'application $g$}
\end{figure} 


On voudrait construire une application $g$ du plan dans lui-m\^eme qui
envoie le carr\'e $C$ sur le cercle $S$.
L'id\'ee de la construction est donn\'ee par la figure, voici des pr\'ecisions~: 
\begin{enumerate}
\item l'application $g$ fixe le point $O=(0,0)$~; 
\item pour chaque demi-droite $\Delta$ issue de $O$,
 $\Delta$ coupe le carr\'e $C$ en un (unique) point $v_1$, et le
cercle $S$ en un (unique) point $v_2$. En restriction \`a $\Delta$, $g$
co\"{\i}ncide avec l'unique homoth\'etie qui envoie $v_1$ sur $v_2$.
\end{enumerate}

\qst{Formule}
Donner une formule pour une application $g$ ayant les propriétés requises.
\paragraph{Petite aide} Quelles est la norme qui a pour boule unité le disque dessiné sur la
figure~? M\^eme question pour le carré. On peut
utiliser ces deux normes...

\paragraph{Grosse aide}\footnote{Adapter l'aide au niveau de
difficulté cherché~; si l'on a assez de temps, le plus intéressant est
probablement de ne pas donner d'aide du tout
(m\^eme si, dans ce cas, les étudiants ne suivront sans doute pas la
piste la plus courte).}
\sq Soit $v$ un vecteur non nul du plan, et $\Delta_v$ la demi-droite
   issue de $O$ contenant $v$. Donner, en fonction de $v$, les
   vecteurs $v_1$ et $v_2$  intersection de $\Delta_v$ avec le carr\'e et le
   cercle (indication : utiliser la norme euclidienne
   $\|v\|_2$ et la ``norme infini'' $\|v\|_\infty$). 

\sq Donner le rapport de l'homoth\'etie qui envoie $v_1$
sur $v_2$~: en fonction de $v_1$~; puis en fonction de $v$.

\sq Donner $g(v)$ en fonction de $v$.

\qst{R\'eciproque} 
\sq On d\'efinit une application $h$ de mani\`ere similaire \`a l'application
$g$ ci-dessus, mais en inversant les r\^oles du carr\'e et du cercle.
En vous inspirant du A, donner une formule pour $h$.

\sq V\'erifier que  $g$ et $h$ sont deux applications r\'eciproques.

\qst{Continuit\'e} Montrer que $g$ et $h$ sont continues.

\qst{D\'eformation} On voudrait maintenant
 ``d\'eformer progressivement le carr\'e $C$ vers le cercle $S$''. Pour
 faire ça, on rajoute un param\`etre ``temps'' $t \in [0,1]$. Soit $v$
 un point du carr\'e, on notera
 $g_t(v)$ la position de $v$ au temps $t$. On veut avoir les
 propri\'et\'es suivantes~: $g_0(v)=v$~; $g_1(v)$ est le point $g(v)$ du
 cercle $S$~; et quand $t$ varie entre $0$ et $1$, $g_t(v)$ parcourt
 le segment $[v \ g(v)]$ \`a vitesse constante.

Donner une formule pour $g_t(v)$. Dessiner l'image du carr\'e $C$ par
l'application  $g_\frac{1}{2}$ (que deviennent les coins du carr\'e~?...).

Expliquer comment on peut utiliser cette formule pour r\'ealiser un
programme sur ordinateur qui affiche la d\'eformation.


\vspace{1cm}
\paragraph{Commentaire}
Une application bijective, continue, et dont la
r\'eciproque est continue est appel\'ee un \emph{hom\'eomorphisme}~:
ainsi, les applications $g$ et $h$ ci-dessus
sont des hom\'eomorphismes du plan dans le plan.
\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{dessins-complexes}
\nomficimprimable{dessins-complexes}
\titrebookmark{Description d'ensembles de nombres complexes}
\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Description d'ensembles de nombres complexes}
\Niveau{\DEUGi} 
\AnglePedagogique{\Visualisation} 
\Theme{\Complexes}

\Objectif{Représentation du plan complexe ; savoir choisir la 
forme adaptée à un problème (coordonnées polaires ou
cartésiennes). Savoir passer des formules au dessin \emph{et
reciproquement}.
}


\begin{exo}
% mettre ici le texte de l'exercice.
% pour introduire une sous-question, utiliser la commande \sq
% Ne pas utiliser de macro exotique sans la definir.
% Conventions: les nombres reels, complexes, entiers etc: \bbR \bbC \bbN.
% Lettres caligraphiques: \cala \calb \calc \cald etc... donnent des A,B,C,D caligraphiques.
% les fichiers de figures doivent etre dans un repertoire nommé "figures".

Caract\'eriser les nombres complexes $z$ appartenant aux ensembles
suivants :

\begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{dessins-complexes.eps}
\end{center}



\end{exo}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% TeX-master: t
%%% End: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{dominos-en-series}
\nomficimprimable{dominos-en-series}
\FichierUnique\titrebookmark{Des Dominos en S\'erie}
\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Des Dominos en S\'erie}
\Niveau{\DEUGii} .
\NiveauxSecondaires{} 
\AnglePedagogique{\Visualisation}
\AnglesSecondaires{\AQuoiCaSert, \Ludique}
\Theme{\Series} 
\ThemesSecondaires{Dominos}

\Objectif{Visualiser la s\'erie harmonique (somme des inverse des
entiers) ; voir un contexte physique o\`u elle appara\^{\i}t, et o\`u
sa divergence \`a une signification : on peut construire une pile de
domino avec un porte-\`a-faux aussi grand qu'on veut (en th\'eorie...)
En pratique, m\^eme si la divergence de la s\'erie est tr\`es lente,
 on arrive \`a obtenir un d\'ecalage d'une longueur sup\'erieure \`a
celle d'un  domino, ce qui est d\'ej\`a spectaculaire (si vous n'avez
pas de domino, un jeu de cassettes audio homog\`ene fait tr\`es bien
l'affaire !) 

On peut sans doute donner cet exercice en introduction aux s\'eries,
avant qu'elles aient \'et\'e abord\'ees en cours (la divergence de la
s\'erie est tr\`es facile \`a montrer en regroupant les termes entre $n$ et $2n$).

Question subsidiaire : combien faut-il de dominos, au minimum et en
 th\'eorie, pour
avoir un d\'ecalage de 1 dominos ? Comparer \`a la pratique. Combien
 faut-il de dominos pour avoir un d\'ecalage de 10 dominos ? On peut
 r\'epondre \`a ces questions par une estimation sur machine, ou bien
 en utilisant la comparaison entre la s\'erie et une int\'egrale.

Remarque : c'est un exercice difficile ; le plus simple est sans doute
de raisonner en partant du haut de la pile, et de calculer par
r\'ecurrence l'emplacement du centre de gravit\'e des $k$ dominos du
dessus dans la position limite.

On peut aussi obtenir une solution ``qualitative''~: supposons que la
pile de dominos est constitu\'ee de sous-piles exactement verticales
(sans aucun porte-\`a-faux), le porte-\`a-faux ne provenant que du d\'ecalage
entre deux sous-piles successives. Notons $n_1$, $n_2$, \textit{etc.} le
nombre de dominos de chaque sous-pile (en partant du haut). Alors si
chaque $n_k$ est assez grand devant la somme des $n_i$ pr\'ec\'edents, le
d\'ecalage entre deux sous-piles successives peut \^etre choisi \'egal \`a
$1/4$. Ceci prouve que l'on peut obtenir un d\'ecalage total arbitrairement grand.
Il s'agit l\`a de la preuve la plus courte, probablement pas la plus facile
\`a comprendre...

Une derni\`ere remarque~: on montre dans cet exercice qu'on peut atteindre
un porte-\`a-faux arbitrairement grand~; cependant, il n'existe sans doute
pas de pile de dominos, constitu\'ee d'un infinit\'e de dominos satisfaisant
aux conditions d'\'equilibre, avec un porte-\`a-faux infini. Ceci
demanderait une preuve~!

Cet exercice est extrait de \emph{La physique en question, M\'ecanique},
J.-M. L\'evy-Leblond, \'editions Vuibert (question 13).}

\begin{exo}
Zazie joue avec ses dominos. Elle veut les empiler l'un sur l'autre en
surplomb, chaque domino d\'epassant celui sur lequel il est pos\'e, de
fa\c con a construire une pile aussi inclin\'ee que possible. Quel est
le nombre maximal de dominos, et quel est le porte-\`a-faux maximal
(distance horizontale entre le domino sup\'erieur et le domino
inf\'erieur) que l'on peut atteindre en principe sans que la pile
s'effondre ?

\textbf{Suggestion :} \`a quelle condition le dernier domino de la
pile (celui du haut) est-il en \'equilibre sur l'avant-dernier ? Dans
cette position, \`a quelle condition ces deux-l\`a sont-ils en
\'equilibre sur l'avant-avant-dernier, etc. ?

\end{exo}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{crocodile}
\nomficimprimable{crocodile}
\titrebookmark{Dessiner le crocodile \deuxpoints  visualisation de la multiplication complexe}
\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Dessiner le crocodile : visualisation de la multiplication complexe}
\Niveau{\DEUGi} 
\AnglePedagogique{\Visualisation}
\AnglesSecondaires{\Ludique}
\Theme{\Complexes}

\Objectif{L'image d'un crocodile par l'application $z \mapsto z^{2}$
est un crocodile qui se mord la queue, mani\`ere visuelle percevoir la
non-injectivit\'e. Cet exercice est inspir\'e du d\'ebut du film
d'Adrien Douady sur la dynamique du lapin, o\`u Adrien explique sans
formule, graphiquement, la fonction $z \mapsto z^2 + c$.

On peut faire placer des points de l'image du croco
au fur et \`a mesure des questions 1 et 2.} 
        


\begin{exo}
% mettre ici le texte de l'exercice.
% pour introduire une sous-question, utiliser la commande \sq
% Ne pas utiliser de macro exotique sans la definir.
% Conventions: les nombres reels, complexes, entiers etc: \bbR \bbC \bbN.
% Lettres caligraphiques: \cala \calb \calc \cald etc... donnent des A,B,C,D caligraphiques.
% les fichiers de figures doivent etre dans un repertoire nommé "figures".

On voudrait comprendre ``quel effet cela fait \`a un nombre complexe
de se faire \'elever au carr\'e''. Pour \c{c}a, on cherche \`a
dessiner l'image du crocodile par l'application $\phi$ :  
$$
\begin{array}{rcl}
\bbC & \rightarrow & \bbC \\
 z &  \mapsto  & z^{2}.
\end{array}
$$

\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{crocodile.epsi}
%\par\centerline{\hbox{\psfig{figure=croco.ps,width=6cm}}}
\par
\caption{}
%\label{wsnfig1}
\end{center}
\end{figure}
\sq Ecrire les parties r\'eelles et imaginaires de $z^{2}$ en fonction
de celles de $z$, puis le module et l'argument de  $z^{2}$ en fonction
de ceux de $z$. Commentaire ? 


\sq Dessiner une demi-droite issue de $0$ et son image par $\phi$.

\sq Quelle est l'image d'un cercle centr\'e en $0$ ? Placer aussi les
images de quelques points particuliers du cercle. 

\sq ``Dessiner l'image du crocodile''.

\sq ``Comment voit-on que l'application n'est pas injective ?''

\sq Dessiner l'image r\'eciproque du crocodile (attention, il y a un piège...).

\sq (plus facile) Dessiner de m\^eme l'image du croco par  $z \mapsto
z+1+2i$, $z \mapsto (\sqrt 3 +i)z$. 
\end{exo}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{eclipses}
\nomficimprimable{eclipses}
\FichierUnique\titrebookmark{Eclipses}
\Annee{2001}
\Auteur{Arnaud \textsc{Ch\'eritat}}
\Titre{Eclipses}
\Date{2001/10/19}
\Niveau{\Licence}
\AnglePedagogique{\Visualisation}
\AnglesSecondaires{\Ludique}
\Theme{\GeomEucl}
\ThemesSecondaires{\GeometrieDiff}

\Objectif{Cet exercice fait appel aux qualités de visualisation
  géométrique, ainsi qu'à la culture mathématique de l'étudiant.
  Indications~: il faut modéliser le plan (orienté) de l'orbite par sa
  normale, considérer la Terre fixe, le cylindre tronqué tangent à
  l'étoile et pointant vers la Terre (ou bien un cône tronqué issu de
  la Terre et tangent à l'étoile dans la
  question~\ref{arnaud_cheritat_eclipses_label_1})~; le lieu sur la
  sphère des centres de la planète tels qu'elle intersecte le
  cylindre/cône est un disque sphérique (calotte)~; son orthogonal est
  une bande délimitée par deux cercles parallèles de même rayon.}


\begin{exo}
  
Une des méthode de chasse des exoplanètes consiste à mesurer la
luminosité d'une étoile. Si celle-ci diminue soudainement (mais
néanmoins légèrement) pendant quelques heures ou quelques jours, et
ce périodiquement, il y a des chances pour qu'une planète soit en
orbite autour de l'astre. Pour cela, il faut que l'orbite de la
planète la fasse passer devant l'astre. On dira que la planète est
``à éclipses''.

\qst{} Nous considérons une planète possédant une orbite circulaire de
rayon $R$ centrée sur son étoile, dont nous connaissons pas
l'orientation dans l'espace. L'étoile est assimilée à une sphère de un
rayon $r$. En négligeant la taille de la planète devant celle de
l'astre, la taille de l'astre devant la taille de l'orbite, et enfin
la taille de l'orbite devant la distance à la Terre, (c'est
raisonnable si on cherche une configuration analogue à celle de la
Terre et du Soleil), calculer (a) la probabilité pour que la planète
soit à éclipses, (b) la probabilité pour que la planète éclipse en ce
moment même son étoile.

\

\noindent Du mal~? Voici une indication~: une orientation aléatoire de
l'orbite se modélise par la sphère muni de la mesure de probabilité
uniforme.

\qst{} Trouver une astuce quand on ne néglige plus la taille de la
planète devant celle de l'astre.

\qst{}\label{arnaud_cheritat_eclipses_label_1}
Expliquer la démarche de calcul quand on néglige plus rien, sans
expliciter la formule.

\

\noindent Note~: L'hypothèse que l'orbite est circulaire est restrictive~: de
nombreuses planètes extrasolaires ont une orbite elliptique.

\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{est-ce-lineaire}
\nomficimprimable{est-ce-lineaire}
\titrebookmark{Est-ce lin\'eaire \pointinterrogation }
\Annee{2001}
\nocopyleft
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Pham}}
\AutresAuteurs{Herv\'e \textsc{Dillinger}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Est-ce lin\'eaire ?}
\Niveau{\DEUGi}
\AnglePedagogique{\Visualisation}
\Theme{\AlgLin}
\Objectif{Faire d\'ecouvrir la nature g\'eom\'etrique d'une application lin\'eaire,
et en particulier, ce qu'une application lin\'eaire conserve et
 ne conserve pas: alignement, angles, longueurs, orientation...

Cet exercice est tir\'e de l'excellent ouvrage \textit{Alg\`ebre Lin\'eaire} de F.~Pham et H.~Dillinger 
(Biblioth\`eque des sciences, Diderot \'Editeur).}


\begin{exo}
 \sq D\'ecider dans quels cas la figure de droite peut \^etre l'image par
une application lin\'eaire de la figure de gauche:

\begin{center} \setlength{\extrarowheight}{1.5cm}
  \begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\includegraphics{est-ce-lineaire1.eps} &
\includegraphics{est-ce-lineaire2.eps} \\
\hline
\includegraphics{est-ce-lineaire3.eps} &
\includegraphics{est-ce-lineaire4.eps} \\
\hline
\includegraphics{est-ce-lineaire5.eps} &
\includegraphics{est-ce-lineaire6.eps} \\
\hline
\includegraphics{est-ce-lineaire7.eps} &
\includegraphics{est-ce-lineaire8.eps} \\
\hline
  \end{tabular}
\end{center}

\sq M\^eme question en \'echangeant droite et gauche.
\end{exo}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{noyau-geometrique}
\nomficimprimable{noyau-geometrique}
\FichierUnique\titrebookmark{Exercice g\'eom\'etrique sur le noyau.}
\Annee{2001}
\nocopyleft
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Pham}}
\AutresAuteurs{Herv\'e \textsc{Dillinger}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Exercice g\'eom\'etrique sur le noyau.}
\Theme{\AlgLin}
\Niveau{\DEUGi}
\AnglePedagogique{\Visualisation}


\Objectif{Trouver des relations de d\'ependance lin\'eaire entre des vecteurs donn\'es 
g\'eom\'etriquement. Voir que l'image d'une base d\'etermine le noyau.

Cet exercice est tir\'e de l'excellent ouvrage \textit{Alg\`ebre Lin\'eaire} de F.~Pham et H.~Dillinger 
(Biblioth\`eque des sciences, Diderot \'Editeur).}


\begin{exo}
 Soit $E$ un espace vectoriel de dimension 3, et soit 
$(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$. Les figures (i) et (ii)
repr\'esentent les vecteurs $(e'_1,e'_2,e'_3)$ images par $f$
d'une base $(e_1,e_2,e_3)$ de $E$. Dans chacun des deux cas,
d\'eterminer l'ensemble de tous les vecteurs de $E$ dont l'image par $f$ est nulle.
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm,arrowscale=2}
\hfill
\pspicture(-1.5,-2.5)(6.5,4.5)
\SpecialCoor
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0cm,gridcolor=gray](-1,-2)(6,4)
\psline{*->}(0,0)(2,2)
\psline{*->}(0,0)(4,2)
\psline{*->}(0,0)(2,-1)
\uput{.3}[0](2,-1){$e'_1$}
\uput{.3}[45](4,2){$e'_3$}
\uput{.3}[135](2,2){$e'_2$}
\endpspicture
\hfill
\pspicture(-3.5,-3.5)(5.5,3.5)
\SpecialCoor
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0cm,gridcolor=gray](-3,-3)(5,3)
\psline{*->}(0,0)(-2,-1)
\psline{*->}(0,0)(2,1)
\psline{*->}(0,0)(4,2)
\uput{.3}[-60](-2,-1){$e'_3$}
\uput{.3}[120](2,1){$e'_1$}
\uput{.3}[-60](4,2){$e'_2$}
\endpspicture
\hfill  
\end{center}

\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{zenon}
\nomficimprimable{zenon}
\titrebookmark{Paradoxe de Zenon}
\Annee{2002}
%Faire un fichier par exercice. 
\Titre{Paradoxe de Zenon}

\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}

\Date{2002/04/09} % Format AAAA/MM/JJ. pour le 5 mars 2001: \Date{2001/03/05}

\Niveau{\DEUGii} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...
% pour la liste complete des Niveaux, voir
% http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~guirarde/EXEMAALT/pour_les_auteurs/liste_des_categories.tex

\NiveauxSecondaires{} %Eventuellement, les niveaux secondaires separes par des virgules 

\AnglePedagogique{\Visualisation} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...
% pour la liste complete des Angles pedagogiques, voir
% http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~guirarde/EXEMAALT/pour_les_auteurs/liste_des_categories.tex

\AnglesSecondaires{\Historique} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Series} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...
% pour la liste complete des Themes, voir
% http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~guirarde/EXEMAALT/pour_les_auteurs/liste_des_categories.tex

\ThemesSecondaires{} %Eventuellement, les themes secondaires separes par des virgules

\Objectif{Z\'enon d'\'El\'ee prouvait l'impossibilit\'e du mouvement par son fameux paradoxe.
L'existence de s\'eries convergentes n'est pas une \'evidence, et les visualiser comme inscrites dans le temps
peut aider \`a s'en faire une repr\'esentation.
L'exercice est peut-\^etre bien adapt\'e pour \^etre trait\'e en groupe (je ne l'ai pas test\'e).
} % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}
% mettre ici le texte de l'exercice.

% pour introduire une     question (1,2,3) , sous-question (a,b,c) , sous-sous-question (i,ii,iii) 
% utiliser les commandes   \qst{titre}          \sq                    \ssq
% pour faire des separations entre des grandes parties (I,II,III), utiliser la commande \partie{titre}
% les commandes \sq et \ssq peuvent accepter un titre optionel \sq[titre] \ssq[titre]

% Ne pas utiliser de macro exotique sans la definir.
% Conventions: les nombres reels, complexes, entiers etc: \bbR \bbC \bbN.
% Lettres caligraphiques: \cala \calb \calc \cald etc... donnent des A,B,C,D caligraphiques.
% les fichiers de figures doivent etre dans un repertoire nommé "figures".
\qst{Paradoxe de Z\'enon.}
Le paradoxe suivant a été imaginé par Zénon d'Élée (490-430 Avant JC). 
Achille fait une course avec la tortue. Il part 100 m\`etres derri\`ere la tortue, mais
il va dix fois plus vite qu'elle. Quand Achille arrive au point de d\'epart de la tortue,
la tortue a parcouru 10 m\`etres. Pendant qu'Achille parcourt ces 10m, la tortue a avanc\'e d'un m\`etre.
Pendant qu'Achille parcourt ce m\`etre, la tortue a avanc\'e de 10cm... Puisqu'on peut r\'eit\'erer
ce raisonnement \`a l'infini, Z\'enon conclut qu'Achille ne peut pas d\'epasser la tortue.

Comment peut-on d\'epasser ce paradoxe~?

\qst{Une bille qui rebondit.\footnote{amener une vraie bille de verre ou m\'etallique (qui rebondit bien et de maniere sonore) 
en TD pour faire l'exp\'erience !}}

\sq Une balle part d'une certaine hauteur $h_0$ au dessus du sol (sans vitesse initiale). Combien de temps met elle pour
arriver sur le sol (n\'egliger les frottements)~? Quelle est son \'energie cin\'etique lorsqu'elle arrive au niveau du sol~?

\sq On mod\'elise le rebond de la fa{\c c}on suivante~: lorsque la balle rebondit elle perd une certaine proportion
$p$ de son \'energie cin\'etique (par exemple $p=10\%$). Etant partie de la hauteur $h_0$, A quelle hauteur $h_1$ va-t-elle remonter~?
Quelle est la dur\'ee $t_0$ entre les deux premiers rebonds~?

\sq Combien de fois la balle rebondit-elle~? Pendant combien de temps rebondit-elle~?

\paragraph{Question subsidiaire.} Vous connaissez le bruit d'une bille qui rebondit, avec des rebonds de plus en plus rapproch\'es. 
Imaginez maintenant une balle qui rebondit, non plus selon le mod\`ele ci-dessus, mais selon un autre loi. 
Par exemple la dur\'ee du $n$-i\`eme rebond est donn\'e par $1/n$. Que va-t-on entendre ?
Voir \texttt{\href{\repertexos zenon/sons}{\repertexosAffichable zenon/sons}}
pour \emph{\'ecouter rebondir des s\'eries}.


\qst{La mouche et les trains}
Deux trains partent simulan\'ement, et \`a une m\^eme vitesse constante $v$. 
Le premier va de Paris \`a Marseille, et le second, de Marseille \`a Paris.

Une mouche part simultan\'ement de Paris \`a vitesse $3v$ (elle suit les rails en direction de Marseille).
Lorsqu'elle rencontre le train Marseille-Paris, elle fait demi-tour vers Paris.
Lorsqu'elle rencontre le train Paris-Marseille, elle fait demi-tour et de dirige \`a nouveau vers Marseille, etc. 
Elle s'arr\^ete lorsque les trains se croisent.

\sq Faire un dessin dans l'espace-temps (la position en abscisse, par exemple, le temps en ordonn\'ee)
\sq Combien de fois la mouche fait elle demi-tour~?
\sq Quelle est la longueur de chaque trajet~?
\sq Quelle distance parcourt-t-elle en tout~?



\end{exo}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{Rotations-du-plan}
\nomficimprimable{Rotations-du-plan}
\FichierUnique\titrebookmark{Rotations du plan~\deuxpoints  g\'eom\'etrie et alg\`ebre lin\'eaire.}
\Annee{2002}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Titre{Rotations du plan~: g\'eom\'etrie et alg\`ebre lin\'eaire.}
\Date{2002/07/22}
\Niveau{\DEUGi} 
\AnglePedagogique{\Visualisation}
\Theme{\AlgLin} 
\ThemesSecondaires{}

\Objectif{L'objectif principal est de donner un peu de sens g\'eom\'etrique \`a
quelques notions d'alg\`ebre lin\'eaire (matrice d'une application,
inverse, changement de bases, vecteur propre, racine carr\'e). D'autre
part, il est indispensable que les \'etudiants aient des exemples
d'applications lin\'eaires pr\'esent \`a l'esprit pour tester et visualiser
 les notions abstraites introduites dans le cours. 
Il serait dommage de ne pas utiliser les rotations, que les \'etudiants
ont d\'ej\`a rencontr\'ees (il serait dommage aussi de se limiter \`a ces
exemples, qui peuvent \^etre trompeurs, puisque les rotations ont des
propri\'et\'es bien plus fortes que la simple lin\'earit\'e).

Dans la question~\ref{qst.linearite}.\ref{sq.non-centree},
 les \'etudiants ont tendance \`a dessiner leurs
vecteurs issus du centre de la rotation~; autrement dit, ils testent
la lin\'earit\'e de l'application tangente et non pas de la rotation
elle-m\^eme ! Et au fond, ils ont raison, il est tr\`es bizarre de
vouloir faire agir une rotation non centr\'ee en $0$ sur des vecteurs
``issus de $0$''. Il faut probablement r\'e-\'ecrire cette question en
\'evoquant la double vie des \'el\'ements de $\bbR^2$, vecteurs et points...


L'exercice complet est long (plusieurs heures), mais d\'ecoup\'es en
modules assez ind\'ependants.}

\begin{exo}
\emph{Le but de cet exercice est d'\'etudier les rotations du 
plan, en confrontant le point de vue g\'eom\'etrique au point de vue
matriciel.}


Pour tout $\theta$ r\'eel, on note $R_\theta$ la rotation du plan $\bbR^2$
de centre $O=(0,0)$ et d'angle $\theta$. 

\vspace{0.5cm}

\qst{Lin\'earit\'e}\label{qst.linearite}
\sq On prend la rotation d'angle $\theta=\pi/4$. Faites un dessin pour
tester, sur 
quelques vecteurs, la lin\'earit\'e de cette application.

\sq \label{sq.non-centree} 
Testez la lin\'earit\'e de la rotation de m\^eme angle, et de centre $(1,0)$.
Conclusion~?

\emph{On admet (provisoirement) que les rotations de centre $O$ sont
lin\'eaires}.

\qst{Matrices et g\'eom\'etrie}
\sq D\'eterminer (g\'eom\'etriquement) la matrice $M_\theta$ 
de $R_\theta$ dans la base canonique.
 Pour $\theta=\pi/4$, d\'eterminer g\'eom\'etriquement l'image du
vecteur $(1,1)$~; puis retrouvez le r\'esultat matriciellement.


\sq On raisonne g\'eom\'etriquement~: d\'ecrire l'application
compos\'ee  $R_\theta \circ R_{\theta'}$. En d\'eduire, sans calcul, la
matrice de cette application.

\sq On raisonne matriciellement~: retrouvez par le calcul la matrice
pr\'ec\'edente. 

\sq \`A partir de ce qui pr\'ec\`ede, expliquer une fa\c{c}on
 simple de retrouver certaines 
formules trigonom\'etriques, si on les a oubli\'ees.

\qst{(optionnelle) Rotations r\'eciproques}
Quelle est l'application r\'eciproque de la rotation $R_\theta$, et que
vaut sa matrice~? comme \`a la question pr\'ec\'edente, donner un argument
g\'eom\'etrique, puis un argument matriciel.

\qst{Changement de bases}
\sq On prend $\theta=\pi/2$. Donner la matrice  de $R_\frac{\pi}{2}$
dans la base canonique, puis dans la base  $((1,0),(1,1))$. Ici
encore, on pourra raisonner g\'eom\'etriquement, puis matriciellement.

\sq[(Question plus difficile)] Existe-t-il une base dans laquelle $R_\frac{\pi}{2}$ a une
matrice diagonale ?  [\textit{ Id\'ee : raisonnez par l'absurde~;
comment interpr\'eter g\'eom\'etriquement le fait d'avoir une matrice
diagonale dans une certaine base ?...}]

\qst{Racines carr\'ees}
On voudrait savoir combien il y a de \emph{racines carr\'ees} de la
matrice Identit\'e, c'est-\`a-dire de matrices $M$, de taille $2 \times
2$, telles que $M \times M=Id$.

\sq On propose d'abord d'envisager la question d'un point de vue
purement matriciel.
Donnez-vous 5 minutes, et cherchez le plus possible de telles matrices.

\sq Donnez la traduction g\'eom\'etrique du probl\`eme (\emph{i.e.} donnez un
probl\`eme logiquement \'equivalent mais concernant les applications
lin\'eaires). Trouvez maintenant d'autres racines carr\'ees de
l'identit\'e~!
[Indication~: quelles applications lin\'eaires du plan connaissez-vous
en plus des rotations ?...] Rappelez-vous que la question de d\'epart
\'etait matricielle, on souhaite donc obtenir une r\'eponse en terme de
matrices (m\^eme si la m\'ethode utilis\'ee est g\'eom\'etrique).

\sq Trouvez, de la m\^eme mani\`ere, des racines carr\'ees de la matrice
$-Id=\Mx{-1&0\\0&-1}$. 


\qst{Retour sur la lin\'earit\'e}
  Montrer
 que les rotations $R_\theta$ sont lin\'eaires.
[\textit{Id\'ee : il suffit d'\'ecrire la formule donnant les coordonn\'ees de 
 $R_\theta(x,y)$, o\`u $(x,y)$
est un point quelconque du plan. C'est plus facile avec 
les nombres complexes...}]
\end{exo}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{variations-sans-deriver}
\nomficimprimable{variations-sans-deriver}
\FichierUnique\titrebookmark{Tableau de variations sans d\'eriver}
\nouveau
\Annee{2007}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{}
\Date{2007/01/15}
\Titre{Tableau de variations sans d\'eriver}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{}

\AnglePedagogique{\Visualisation} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Fonctions} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{} 

\Objectif{Cet exercice fait voir comment on peut d\'eterminer le sens de variation de fonctions simples sans calcul de d\'eriv\'ee.}

\begin{exo}
\qst{}
Rappeler rapidement les sens de variation des fonctions usuelles suivantes : 
 $x \mapsto ax+b$ ($a,b$ constantes) ;
$ x \mapsto e^x$ ;
$ x \mapsto x^2$ ;
$ x \mapsto x^3$ ;
$x \mapsto \sqrt{x}$ ;
$x \mapsto \ln(x)$ ;
$x \mapsto 1/x $.

\qst{}
D\'eterminer, en imitant l'exemple et sans calcul de d\'eriv\'ee, le tableau de variation des fonctions suivantes. On commencera par donner l'ensemble de d\'efinition.

\parbox{0.45\textwidth}{
\begin{itemize}
\item $f_{1} :  x \mapsto e^{2x+1}$ ;
\item $f_{2} :  x \mapsto \sqrt{-x}$ ;
\item $f_{3} :  x \mapsto \sqrt{e^x+2}$ ;
\item $f_{4} :  x \mapsto \ln(x^2+1)$ ;
\end{itemize}
}
\parbox{0.45\textwidth}{
\begin{itemize}
\item $f_{5} : x \mapsto \frac{1}{x+2}$ ;
\item $f_{6} : x \mapsto \frac{1}{1+1/x}$.
\item $f_{7} : x \mapsto \ln(x)^2$.
\end{itemize}
}

\paragraph{Exemple pour $f_{4}$}
La fonction  $f_{4}(x)$ est d\'efinie sur $\bbR$.
\begin{enumerate}
\item Sur l'intervalle $]-\infty,0]$, lorsque $x$ cro\^it, $x^2+1$  d\'ecro\^it entre $+\infty$ et $1$ ;
 donc son logarithme d\'ecro\^it entre $+\infty$ et $\ln(1)$.
\item Sur l'intervalle $[0,+\infty[$, lorsque $x$ cro\^it, $x^2+1$  cro\^it entre $1$ et $+\infty$ ; donc son logarithme cro\^it entre $\ln(1)$ et $+\infty$.
\end{enumerate}
 D'o\`u la tableau de variation complet...
 
\paragraph{Remarque}
On utilise que la compos\'ee de deux fonctions croissantes est croissante, la compos\'ee d'une fonction croissante et d'une fonction d\'ecroissante est d\'ecroissante, \emph{etc.}.

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{transformation-de-graphes}
\nomficimprimable{transformation-de-graphes}
\titrebookmark{Transformation de graphes de fonctions}
\Annee{2004}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{}
\Date{2004/10/01}
\Titre{Transformation de graphes de fonctions}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{}

\AnglePedagogique{\Visualisation} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Fonctions} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{} 

\Objectif{Cet exercice demande aux \'etudiants de comprendre ce qui se passe quand on effectue des changements simples dans la formule d\'efinissant une fonction. Plus g\'en\'eralement, une des causes de l'\'echec en analyse est l'incapacit\'e des \'etudiants \`a d\'ecortiquer les formules...}

\begin{exo}
\centerline{\framebox{\includegraphics[width=8cm]{fonction3.eps}}}

On consid\`ere une fonction $f$  dont le graphe est donn\'e sur la figure.
\begin{enumerate}
\item  Dessiner l'allure du graphe des fonctions $x \mapsto f(x)+1$, $x \mapsto f(x +3)$.
\item De m\^eme, tracer le graphe de $x \mapsto -f(x)$, $x \mapsto f(-x)$,
$x \mapsto 2f(x)$, $x \mapsto f(2x)$.
\item Partant du graphe de la fonction $f$, on voudrait ``le r\'eduire d'un facteur 2'' : plus pr\'ecis\'ement, on effectue une homoth\'etie de rapport $1/2$ centr\'ee en l'origine.
Le graphe de quelle fonction obtient-on ?
\end{enumerate} 

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{transformation-de-graphes2}
\nomficimprimable{transformation-de-graphes2}
\FichierUnique\titrebookmark{Transformation de graphes de fonctions, version longue}
\nouveau
\Annee{2004}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{}
\Date{2007/01/15}
\Titre{Transformation de graphes de fonctions, version longue}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{}

\AnglePedagogique{\Visualisation} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Fonctions} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{} 

\Objectif{Cet exercice relie g\'eom\'etrie et formules, de mani\`ere  progressive.
}

\begin{exo}

\qst{Exp\'erimentation}

\sq Dessiner le graphe de la fonction exponentielle.

\sq En vous aidant \'eventuellement d'une calculatrice graphique, 
dessiner sur le papier les graphes des quatre fonctions suivantes :
 $-\exp(x)$ ;  $\exp(x) + 1$ ;   $\exp(x) -1$ ;  $2\exp(x)$.

Par quelles transformations g\'eom\'etriques passe-t-on du graphe de l'exponentielle aux graphes trac\'es ?

\sq M\^emes questions pour les quatre fonctions
 $\exp(-x)$ ;  $\exp(x+1)$ ; $\exp(x-1)$ ; $\exp(2x)$.



\qst{\'Enonc\'e des correspondances}
\sq Relier chaque formule \`a la transformation g\'eom\'etrique qui lui correspond.

\parbox{0.25\textwidth}
{
\begin{enumerate}
\item $-f(x)$ ;
\item $f(x)+1$ ;
\item $f(x)-1$ ;
\item $2f(x)$ ;
\item $f(-x)$ ;
\item $f(x+1)$ ;
\item $f(x-1)$ ;
\item $f(2x)$.
\end{enumerate}
}
\noindent\parbox{0.7\textwidth}
{
\begin{enumerate}
\item translation vers le haut ;
\item translation vers le bas ; 
\item translation vers la gauche ;
\item  translation vers la droite ; 
\item sym\'etrie par rapport \`a l'axe des abscisses ;
\item sym\'etrie par rapport \`a l'axe des ordonn\'ees ;
\item dilatation d'un facteur $2$ dans le sens vertical ;
\item dilatation d'un facteur $1/2$ dans le sens horizontal.
\end{enumerate}
}

\sq Quelle formule correspond \`a  une homoth\'etie de rapport $2$, centr\'ee en l'origine ?
\`A une rotation d'un demi-tour, centr\'ee en l'origine ?



%%
\qst{Applications}
Tracer le plus rapidement possible les graphes des applications suivantes.
On commencera par tracer le graphe de la fonction \'el\'ementaire utilis\'ee (sinus, cosinus, \emph{etc.}). On pourra v\'erifier le dessin \`a l'aide d'une calculatrice graphique. 

\sq $f_{1}(x) = \sin(x)+1$ ; $f_{2}(x) = -\cos(x)$ ; $f_{3}(x) = \ln(-x)$ (test de la r\'eponse : quel est son ensemble de d\'efinition ?)
; $f_{4}(x) = 2\sqrt{x}$  ; $f_{5}(x) = \sin(2x)$ ; $f_{6}(x) = \sqrt{x+1}$ (tester l'ensemble de d\'efinition).

\sq Plus difficile : $f_{7}(x) = 2\sin(x)+1$ ; $f_{8}(x) = \ln(2x+1)$ ; $f_{9}(x) = \sin(2x)+1$ ; $f_{10}(x) = 2\ln(x+1)$.

En d\'eduire le tableau de variations de chacune de ces fonctions, \emph{sans calcul de d\'eriv\'ee}.





%%
\qst{Une d\'emonstration}
 
 \sq Soit $H$ l'homoth\'etie du plan $\bbR^2$ centr\'ee en l'origine et de rapport $1/2$. 
 Donner une formule pour $H(x,y)$. 

\sq  Soit $f$ une fonction de $\bbR$ dans $\bbR$, et $\cal G$ son graphe.
D\'emontrer que le graphe de la fonction $x \mapsto \frac{1}{2}f(2x)$
est l'image de $\cal G$ par l'homoth\'etie $H$.


\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{flocon-de-neige}
\nomficimprimable{flocon-de-neige}
\titrebookmark{Une courbe fractale \deuxpoints  le Flocon de Neige de Von Koch}
\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Titre{Une courbe fractale : le Flocon de Neige de Von Koch}
\Date{2001/09/01}
\Niveau{\DEUGii} 
\NiveauxSecondaires{\DEUGi} 
\AnglePedagogique{\Visualisation}
\AnglesSecondaires{\AQuoiCaSert,\Ludique} 
\Theme{\Series} 
\ThemesSecondaires{\Suites} 

\Objectif{
Visualiser g\'eom\'etriquement des s\'eries (ici, la surface du flocon
est la somme des surfaces d'une infinit\'e de petits triangles). Voir
un contexte o\`u une s\'erie apparait naturellement. Faire preuve
d'une certaine autonomie.

Remarque : cet exercice a \'et\'e donn\'e sous cette forme \`a un
examen du module ``Culture Math\'ematique'', en fin de premi\`ere ann\'ee de
DEUG MIAS (donc avant l'\'etude des s\'eries) ; les \'etudiants
travaillaient en groupe de 4. 
} 


\begin{exo}

On consid\`ere la suite des polyg\^ones obtenus de la mani\`ere suivante :
\begin{figure}[h!t]
\par
\centerline{\hbox{\input{flocon2.pstex_t}}}
\par
\caption{\label{ifig3}}
\end{figure} 

Le premier triangle est \'equilat\'eral\footnote{Rappel : \c ca
 veut dire que ses trois c\^ot\'es ont la m\^eme longueur...},
 et on passe d'une \'etape \`a la
 suivante  en ajoutant des petits triangles \'equilat\'eraux comme indiqu\'e
 sur la figure.

 Calculer le nombre de c\^ot\'es du polyg\^one \`a l'\'etape $n$ (pour tout
entier $n \geq 1$), son p\'erim\`etre, et sa surface, en expliquant les
formules obtenues.

Trouver la limite de ces trois quantit\'es quand $n$ tend vers $+\infty$.

(Qu'en pensez-vous ?...)


\end{exo}



%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{injectif-surjectif}
\nomficimprimable{injectif-surjectif}
\FichierUnique\titrebookmark{Visualisation des notions d'injectivit\'e et de surjectivit\'e}
\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Visualisation des notions d'injectivit\'e et de surjectivit\'e}
\Niveau{\DEUGi}
\AnglePedagogique{\Visualisation} 
\AnglesSecondaires{\Ludique}
\Theme{\Ensembles}

\Objectif{La premi\`ere fois qu'on tombe sur ces d\'efinitions, elles
semblent tr\`es abstraites, impossibles \`a retenir. On essaie
d'amener les \'etudiants \`a visualiser ces notions (si on les
visualise assez bien, il n'y a aucun effort de m\'emoire \`a faire
pour retrouver les d\'efinitions), \`a manipuler les
d\'efinitions, \`a r\'ealiser qu'ils les ont d\'ej\`a rencontr\'ees sous
d'autres mots, \`a les exprimer g\'eom\'etriquement pour des fonctions
de $\bbR$ dans $\bbR$. 

Remarque : les questions \textbf{d.} et \textbf{e.} sont volontairement
vagues, on ne peut y r\'epondre qu'apr\`es avoir pr\'ecis\'e les
ensembles de d\'epart et d'arriv\'ee.

Suggestion : rajouter d'autres questions sur le lien
avec la r\'esolution d'\'equations (chercher des solutions revient
toujours \`a chercher des ant\'ec\'edants pour une certaine
application ; ainsi, l'existence de solutions est reli\'ee \`a la
surjectivit\'e, et l'unicit\'e \`a l'injectivit\'e...).
} % Decrire ici l'objectif de l'exercice


\begin{exo}
% mettre ici le texte de l'exercice.
% pour introduire une sous-question, utiliser la commande \sq
% Ne pas utiliser de macro exotique sans la definir.
% Conventions: les nombres reels, complexes, entiers etc: \bbR \bbC \bbN.
% Lettres caligraphiques: \cala \calb \calc \cald etc... donnent des A,B,C,D caligraphiques.
% les fichiers de figures doivent etre dans un repertoire nommé "figures".

\sq A l'aide de ``patates'',  dessiner une application non injective,
puis une application non surjective.

\sq En vous aidant \'eventuellement des dessins, retrouver les
d\'efinitions d'injectivit\'e et de surjectivit\'e. Ecrire ces
d\'efinitions avec des mots et avec des symboles, et trouver deux
formulations \'equivalentes de l'injectivit\'e.


\sq Interpr\'eter les phrases suivantes en termes d'injectivit\'e et de surjectivit\'e :
(1) Il existe des nombres complexes diff\'erents qui ont le m\^eme
carr\'e. (2) Tout nombre r\'eel positif a une racine carr\'ee. (3) Le
nombre 3 n'est le sinus d'aucun nombre. (4) Un nombre complexe est
caract\'eris\'e par ses parties r\'eelles et imaginaires. (5)  Un
nombre complexe non nul est d\'etermin\'e  par son module et son
argument.


\sq  ``L'application qui associe \`a chaque individu son pr\'enom
est-elle injective, surjective ? M\^eme question pour l'application
num\'ero de s\'ecurit\'e sociale''. 


\sq  L'application sinus est-elle injective ? Comment cela se
traduit-il, g\'eom\'etriquement, au niveau du graphe ? M\^emes
questions pour la surjectivit\'e.

\sq R\'esoudre l'\'equation $e^{z}=1+i\sqrt 3$.

L'application $z \mapsto e^{z}$ est-elle injective, surjective ?


\end{exo}
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\separation


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\nomfic{cos-pi-sur-8}
\nomficimprimable{cos-pi-sur-8}
\FichierUnique\titrebookmark{cosinus de pi/8}
\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Calcul du cosinus et du sinus de $\pi/8$}
\titrebookmark{cosinus de pi/8}%le $\pi$ ne passe pas en bookmark
\Niveau{\DEUGi} 
\AnglePedagogique{\Autres}
\Theme{\Complexes}
\ThemesSecondaires{Trigonom\'etrie}

\Objectif{Savoir utiliser les deux écritures des nombres complexes,
 faire preuve d'une certaine autonomie.}
 % Decrire ici l'objectif de l'exercice


\begin{exo}
En utilisant les racines carr\'ees de $1+i$, trouver une m\'ethode
pour obtenir une formule donnant $\cos(\pi/8)$ et $\sin(\pi/8)$. 
\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\titreindexangle
\InputIfFileExists{index_AnglePedagogique.tex}{}{}

\titreindexniveau
\InputIfFileExists{index_Niveau.tex}{}{}

\titreindextheme
\InputIfFileExists{index_Theme.tex}{}{}

\titreindexauteur
\InputIfFileExists{index_Auteur.tex}{}{}

\end{document}
