\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{color}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts}
\usepackage{array}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{xy}
\usepackage{pstricks}
%\usepackage{french}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[dvips,colorlinks=true,linkcolor=couleurlien,citecolor=couleurlien,%
urlcolor=couleurURL,filecolor=couleurURL,bookmarksopen=false,bookmarks=true]{hyperref}

\xyoption{all}

\definecolor{couleurlien}{rgb}{0,0.5,0}%vert
\definecolor{couleurURL}{rgb}{0,0,1}%bleu

\pagestyle{empty}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% format page %%%%%%%

\newlength{\hauteur}
\newlength{\largeur}
\newlength{\margeverticale}
\newlength{\margehorizontale}

\setlength{\hauteur}{145mm}
\setlength{\largeur}{180mm}
\setlength{\margehorizontale}{5mm}
\setlength{\margeverticale}{5mm}

%On va calculer \textwidth et \textheight a partir des donnees

%
\setlength{\hoffset}{-1in}    % pour que l'origine latex soit la meme que l'origine dvips
\setlength{\voffset}{-1in}    % pour que l'origine latex soit la meme que l'origine dvips
\setlength{\headsep}{0pt}
\setlength{\headheight}{0pt}

\setlength{\oddsidemargin}{\margehorizontale}       
\setlength{\textwidth}{\largeur}
\addtolength{\textwidth}{-2\margehorizontale}

\setlength{\topmargin}{\margeverticale}
\setlength{\textheight}{\hauteur}
\addtolength{\textheight}{-2\margeverticale}
\addtolength{\textheight}{-\headheight}          %\headheight=12pt \headsep=25pt
\addtolength{\textheight}{-\headsep}          %\headheight=12pt \headsep=25pt



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\espaceexo}{\newpage}
\newcommand{\espaceseparation}{\newpage}

              

\newcommand{\titreglobal}{%
\begin{center}
\textsc{\Large Exercices Alternatifs}\\
\vspace{0.2cm}
Exercices r\'ecents, class\'es par date.\\
{\small \today}
\end{center}
}
%

\newcommand{\texteseparation}{\thesection. \ecritdate}
\newcommand{\bookmarkseparation}{\ecritdate}

\newcommand{\informations}{\emph{\ecrittheme}. \emph{\ecritniveau}. Angle p\'edagogique~: \emph{\ecritangle}.}
 

\sloppy


%%%%%%% Commandes definies par french, en dont on a besoin

\newcommand{\deuxpoints}{:}
\newcommand{\pointinterrogation}{?}
\newcommand{\pointexclamation}{!}
\newcommand{\fup}[1]{\ensuremath{{}^{\text{#1}}}}


%%%%%%%%% Chiffres romains et arabes pour les numerotations

\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\thesection.\arabic{subsection}}

%%%%%%%%%% Macros \partie \qst \sq et \ssq pour les questions des exos %%%%%%%%%%%%%%

\newcounter{partie}
\newcounter{qst}
\newcounter{sq}
\newcounter{ssq}
\renewcommand{\thepartie}{\Roman{partie}}
\renewcommand{\theqst}{\arabic{qst}}
\renewcommand{\thesq}{\alph{sq}}
\renewcommand{\thessq}{\roman{ssq}}

%%%%%
 %   Attention, j'ai eu des problemes de liens (en pdf) vers \sq
 %   si je n'utilise pas une commande \paragraph* pour mettre en forme.
%%%%
\newcommand{\partie}[1]{\refstepcounter{partie}\setcounter{qst}{0}\setcounter{sq}{0}\setcounter{ssq}{0}
\subsection*{\thepartie. #1}}


\newcommand{\qst}[1]{\setcounter{sq}{0}\setcounter{ssq}{0}%
\refstepcounter{qst}\subsubsection*{Question \theqst. #1}}

\newcommand{\sq}[1][]{\setcounter{ssq}{0}\refstepcounter{sq}
\paragraph*{\thesq. #1}}

\newcommand{\ssq}[1][]{\refstepcounter{ssq}
 
 \subparagraph*{\textnormal{\textit{(\thessq)}. \textsc{#1} ---}}}
         

%%%%%%%%% definition des commandes \masection (separation entre categories d'exos)
%%%%%%%%%            et \monannexe (contenant les listes d'exos tries par categories)
%%%%%%%%% Les titres des exos eux-memes sont modeles par \begin{exo} (CF plus loin)
%%%%%%%%% Les commandes masection et monannexe ont 2 arguments (le 1er est optionnel):
%%%%%%%%% #1= le nom du bookmark correspondant dans le pdf (=titre raccourci)
%%%%%%%%% #2= le titre de la section en quetion

\newcommand{\masection}[2][]{\espaceseparation
\refstepcounter{section}%
\setcounter{subsection}{0}\setcounter{partie}{0}\setcounter{qst}{0}\setcounter{sq}{0}\setcounter{ssq}{0}
\label{label_section_\arabic{section}}
\addtocontents{toc}{\protect\contentsline{section}{#2}{\protect\pageref{label_section_\arabic{section}}}{section.\arabic{section}}}
\pdfbookmark[1]{#1}{anchor_section_\arabic{section}}
\vspace{0.3cm}
\centerline{\textbf{\Large #2}}
\vspace{0.3cm}
}

% en fait on definit monannexe=masection
\newcommand{\monannexe}[2][]{\masection[#1]{#2}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%
%%%%%%%%         FORMAT de L'index                                       
%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%  PARTIE de l'index OFFICIEL %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%
%%%%%%%% Definition du format de l'index (= les listes d'exos tries par categorie)
%%%%%%%% \lingeindexniveau       : definit une reference a un exo dans la liste triee par niveau
%%%%%%%% \separationindexniveau  : separation entre niveau deug et license par exemple
%%%%%%%% \titreindexniveau       : ecrit le titre << liste des exos tries par niveau >>

%ligneindex a trois arguments: dans l'ordre: le titre de l'exo, les infos, 
% le nom du fichier l'exo (pour reference)
%Cette commande contient le format commun des commandes ligneindextruc
\newcommand{\ligneindexgenerale}[3]{\noindent \hyperref[label-#3]{%
      \begin{NoHyper}\ref{label-#3} #1 \end{NoHyper}}\newline 
{\small(#2)}\dotfill \pageref{label-#3}\\}

\newcommand{\ligneindexgeneraleNouveau}[3]{\noindent \hyperref[label-#3]{%
      \begin{NoHyper}{\red\ref{label-#3}$^*$} \end{NoHyper}}\hyperref[label-#3]{#1}\newline
{\small(#2)}\dotfill \pageref{label-#3}\\}


%% les 6 arguments de \ligneindextruc sont dans l'odre:
%% #1=titre #2=reference #3=angle #4=niveau #5=theme #6=auteur #7=date
\newcommand{\ligneindexAnglePedagogique}[7]{\ligneindexgenerale{#1}{\protect#4}{#2}}
\newcommand{\ligneindexNiveau}[7]{\ligneindexgenerale{#1}{\protect#3}{#2}}
\newcommand{\ligneindexTheme}[7]{\ligneindexgenerale{#1}{\protect#3, niveau #4}{#2}}
\newcommand{\ligneindexAuteur}[7]{\ligneindexgenerale{#1}{\protect#5, niveau #4}{#2}}

%les memes mais notes ``nouveau''
\newcommand{\ligneindexAnglePedagogiqueNouveau}[7]{\ligneindexgeneraleNouveau{#1}{\protect#4}{#2}}
\newcommand{\ligneindexNiveauNouveau}[7]{\ligneindexgeneraleNouveau{#1}{\protect#3}{#2}}
\newcommand{\ligneindexThemeNouveau}[7]{\ligneindexgeneraleNouveau{#1}{\protect#3, niveau #4}{#2}}
\newcommand{\ligneindexAuteurNouveau}[7]{\ligneindexgeneraleNouveau{#1}{\protect#5, niveau #4}{#2}}

\newcommand{\separationindexAnglePedagogique}[1]{\refstepcounter{subsection}
    \centerline{\large Angle p\'edagogique \arabic{subsection}: #1}
\pdfbookmark[2]{#1}{anchor_subsection_\arabic{section}.\arabic{subsection}}}

\newcommand{\separationindexNiveau}[1]{\refstepcounter{subsection}
    \centerline{\large\Roman{subsection}. Niveau #1}
\pdfbookmark[2]{#1}{anchor_subsection_\arabic{section}.\arabic{subsection}}}


\newcommand{\separationindexTheme}[1]{\refstepcounter{subsection}
  \centerline{\large\Roman{subsection}. #1}
\pdfbookmark[2]{#1}{anchor_subsection_\arabic{section}.\arabic{subsection}}}

\newcommand{\separationindexAuteur}[1]{\refstepcounter{subsection}
  \centerline{\large\Roman{subsection}. Exercices propos\'es par #1}
\pdfbookmark[2]{#1}{anchor_subsection_\arabic{section}.\arabic{subsection}}}

%%%%%%%%% Partie NON OFFICIELLE de l'index  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Les commandes NonOfficielTheme disent ce qu'il faut faire quand on rentre dans la
% partie non officielle de l'index par theme
% doit etre model\'e sur \separationindextheme
\newcommand{\NonOfficielTheme}{\refstepcounter{subsection}
  \centerline{\large\Roman{subsection}. Autres th\`emes}
\pdfbookmark[2]{Autres th\`emes}{anchor_subsection_\arabic{section}.\arabic{subsection}}}

\newcommand{\NonOfficielNiveau}{\refstepcounter{subsection}
  \centerline{\large\Roman{subsection}. Autres Niveaux.}
\pdfbookmark[2]{Autres niveaux}{anchor_subsection_\arabic{section}.\arabic{subsection}}}

\newcommand{\NonOfficielAnglePedagogique}{\refstepcounter{subsection}
  \centerline{\large\Roman{subsection}. Autres angles p\'edagogiques.}
\pdfbookmark[2]{Autres angles p\'edagogiques}{anchor_subsection_\arabic{section}.\arabic{subsection}}}


%ligneindexgenerale_nonofficiel a un argument: un nom de fichier (pour reference)
%Cette commande contient le format commun des commandes ligneindextrucNonOfficiel
\newcommand{\ligneindexgeneraleNonOfficiel}[1]{\hyperref[label-#1]{%
      \begin{NoHyper}Ex.~\ref{label-#1}~p.~\pageref{label-#1}. \end{NoHyper}}}

\newcommand{\ligneindexgeneraleNonOfficielNouveau}[1]{\hyperref[label-#1]{%
      \begin{NoHyper}Ex.~\ref{label-#1}~p.~\pageref{label-#1}.\end{NoHyper}}{\red{$^*$}}}

%% les 5 arguments de \ligneindextrucNonOfficiel sont dans l'odre:
%% #1=titre #2=reference #3=angle #4=niveau #5=theme #6=auteur #7=date
\newcommand{\ligneindexAnglePedagogiqueNonOfficiel}[7]{\ligneindexgeneraleNonOfficiel{#2}}
\newcommand{\ligneindexNiveauNonOfficiel}[7]{\ligneindexgeneraleNonOfficiel{#2}}
\newcommand{\ligneindexThemeNonOfficiel}[7]{\ligneindexgeneraleNonOfficiel{#2}}
\newcommand{\ligneindexAuteurNonOfficiel}[7]{}


\newcommand{\ligneindexAnglePedagogiqueNonOfficielNouveau}[7]{\ligneindexgeneraleNonOfficielNouveau{#2}}
\newcommand{\ligneindexNiveauNonOfficielNouveau}[7]{\ligneindexgeneraleNonOfficielNouveau{#2}}
\newcommand{\ligneindexThemeNonOfficielNouveau}[7]{\ligneindexgeneraleNonOfficielNouveau{#2}}
\newcommand{\ligneindexAuteurNonOfficielNouveau}[7]{}%les auteurs sont tous officiels

%\separationindexgeneraleNonOfficiel prend 1 argument: la categorie en question.
\newcommand{\separationindexgeneraleNonOfficiel}[1]{

\noindent\textbf{#1}}

\newcommand{\separationindexAnglePedagogiqueNonOfficiel}[1]{%
\separationindexgeneraleNonOfficiel{#1}}

\newcommand{\separationindexNiveauNonOfficiel}[1]{%
\separationindexgeneraleNonOfficiel{#1}}

\newcommand{\separationindexThemeNonOfficiel}[1]{%
\separationindexgeneraleNonOfficiel{#1}}

%%%%%%%%%%%%%%% Commandes introduisant chaque index
\newcommand{\expliqueetoile}{\renewcommand{\thefootnote}{\protect\red{$^*$}}\footnotetext{\protect\red{Nouvel exercice.}}}

\newcommand{\titreindexangle}{\monannexe[Exos par angle p\'edagogique]{Liste des exercices tri\'es par angle p\'edagogique.}\expliqueetoile \gdef\expliqueetoile{}}
\newcommand{\titreindexniveau}{\monannexe[Exos par niveau]{Liste des exercices tri\'es par niveau.}\expliqueetoile \gdef\expliqueetoile{}}
\newcommand{\titreindextheme}{\monannexe[Exos par th\`eme]{Liste des exercices tri\'es par th\`eme.}\expliqueetoile \gdef\expliqueetoile{}}
\newcommand{\titreindexauteur}{\monannexe[Exos par auteur]{Liste des exercices tri\'es par auteur.}\expliqueetoile \gdef\expliqueetoile{}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% Fin du format de l'index
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% Definition des commandes attachees a l'environnement exo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%% Les commandes \ecrittitre \ecritniveau etc contiennent
% le texte decrivant le titre, le niveau etc de l'exo courant. Elles sont modifiees
% par chaque appel a la commande \titre \niveau etc, (c'est a dire a chaque exercice)
% Au debut on les definit comme etant la commande vide.
% La commande separation separe les grandes parties (et fait donc appel a \masection)


\newcommand{\ecrittitre}{} 
\newcommand{\ecritnouveau}{} 
\newcommand{\ecritnouveaubookmark}{} 
\newcommand{\ecrittitrebookmark}{} 
\newcommand{\ecritniveau}{} 
\newcommand{\ecritangle}{}
\newcommand{\ecrittheme}{}
\newcommand{\ecritauteur}{}
\newcommand{\ecritautresauteurs}{}
\newcommand{\ecrittousauteurs}{\ifthenelse{\equal{\ecritautresauteurs}{}}{\ecritauteur}{\ecritauteur, \ecritautresauteurs}} 
            % le ifthenelse sert a mettre la virgule ou il faut...
\newcommand{\ecritannee}{}% utilisee pour le copyright. Modifiee par \Annee
\newcommand{\ecritdate}{}%contrairement aux autres cette commande n'est pas changee
                         %par \Date{2001/09/01} (inutlisee par latex) mais par \DateAEcrire{Septembre 2001}
                         % (deduit automatiquement par le script perl du contenu de la commande \Date{})
\newcommand{\ecritobjectif}{}
\newcommand{\ecritseparation}{}
\newcommand{\ecritnomfic}{}
\newcommand{\affichenomfic}{}
\newcommand{\ecritfichierunique}{} % mis a 1 par \FichierUnique
\newcommand{\ecritnocopyleft}{} % mis a 1 par \nocopyleft

%%%%%%%%%%%% Les commandes \titre \niveau redefinissent les commandes \ecrittitre
% \ecritniveau ... Elles sont utilisees a chque nouvel exo.


\newcommand{\Titre}[1]{\renewcommand{\ecrittitre}{#1}}
\newcommand{\Niveau}[1]{\renewcommand{\ecritniveau}{#1}}
\newcommand{\Theme}[1]{\renewcommand{\ecrittheme}{#1}}
\newcommand{\AnglePedagogique}[1]{\renewcommand{\ecritangle}{#1}}
\newcommand{\DateAEcrire}[1]{\renewcommand{\ecritdate}{#1}}
\newcommand{\Annee}[1]{\renewcommand{\ecritannee}{#1}}
\newcommand{\Date}[1]{}%la commande Date ne fait rien
\newcommand{\Auteur}[1]{\renewcommand{\ecritauteur}{#1}}
\newcommand{\AutresAuteurs}[1]{\renewcommand{\ecritautresauteurs}{#1}}

\newcommand{\Objectif}[1]{\renewcommand{\ecritobjectif}{#1}}
% les suivantes sont gerees automatiquement.
\newcommand{\titrebookmark}[1]{\renewcommand{\ecrittitrebookmark}{#1}}
\newcommand{\nomfic}[1]{\renewcommand{\ecritnomfic}{#1}\typeout{====== Exercice \ecritnomfic  ======}}
\newcommand{\nomficimprimable}[1]{\renewcommand{\affichenomfic}{#1}}
  %le nomfic est le vrai nom du fichier (peut contenir '_'). sert au label.
  %le nomficimprimable est une commande qui doit afficher le nom du fichier 
  %        (_ doit etre rempalce par \_ par exemple)
\newcommand{\nouveau}{\renewcommand{\ecritnouveau}{$^{\text{\textit{\red{(Nouveau)}}}}$}
                      \renewcommand{\ecritnouveaubookmark}{*}}
\newcommand{\FichierUnique}{\renewcommand{\ecritfichierunique}{1}}
\newcommand{\nocopyleft}{\renewcommand{\ecritnocopyleft}{1}}


\newcommand{\separation}{\renewcommand{\ecritseparation}{%
\masection[\bookmarkseparation]{\texteseparation}
}}

%ignorer les commandes \NiveauxSecondaires ...
\newcommand{\NiveauxSecondaires}[1]{}
\newcommand{\AnglesSecondaires}[1]{}
\newcommand{\ThemesSecondaires}[1]{}



%%%%%%%%%%% Les commandes \enlevetitre etc. redefinissent comme commande vide
% (le but est que si un niveau n'est pas donne a un exo, il ne prenne pas 
% le niveau precedant)
% on utilise \gdef plutot que \renewcommand pour que 
% ces commandes aient une portee globale meme appelee depuis l'environnement exo

\newcommand{\enlevetitre}{\gdef\ecrittitre{}}
\newcommand{\enlevetitrebookmark}{\gdef\ecrittitrebookmark{}}
\newcommand{\enleveniveau}{\gdef\ecritniveau{}}
\newcommand{\enlevetheme}{\gdef\ecrittheme{}}
\newcommand{\enleveangle}{\gdef\ecritangle{}}
\newcommand{\enleveauteurs}{\gdef\ecritauteur{}\gdef\ecritautresauteurs{}}

\newcommand{\enleveobjectif}{\gdef\ecritobjectif{}}
\newcommand{\enleveseparation}{\gdef\ecritseparation{}}
\newcommand{\enlevenomfic}{\gdef\ecritnomfic{}}
\newcommand{\enlevenomficimprimable}{\gdef\affichenomfic{}}
\newcommand{\enlevenouveau}{\gdef\ecritnouveau{} \gdef\ecritnouveaubookmark{}}
\newcommand{\enlevefichierunique}{\gdef\ecritfichierunique{}}
\newcommand{\enlevenocopyleft}{\gdef\ecritnocopyleft{}}


\newcommand{\enlevetout}{\desetiquette% 
\enlevetitre \enleveniveau \enlevetheme \enleveangle \enleveauteurs \enleveobjectif \enleveseparation
\enlevenomfic \enlevenomficimprimable \enlevenouveau \enlevefichierunique \enlevenocopyleft}


%%%%%%%%%%% La commande etiquette (obsolete, maintenant le nom de fichier utilise automatiquement comme cle) 
% est appelee a chaque exo pour definir une clef (\label)
% pour les cross-references. C'est une commande qui redefinit la commande \labelexo.
% La fonction desetiquette la redefinit comme la commande vide

\newcommand{\labelexo}{}
\newcommand{\etiquette}[1]{\renewcommand{\labelexo}{\label{#1}}}
\newcommand{\desetiquette}{\gdef\labelexo{}}



% la version `` Affichable '' des commandes doit pouvoir etre `` affichee ''. En particulier, pas de caractere souligne non protege !
\newcommand{\adresseLDL}{http\deuxpoints//garp.univ-bpclermont.fr/guilde/Guilde/Licence/ldl.html}
\newcommand{\adresseLDLAffichable}{\adresseLDL}
\newcommand{\repertexos}{http\deuxpoints//matexo.emath.fr/exemaalt/exos_individuels/tex/}
         %endroit ou sont les sources des exos pour faire un lien 
\newcommand{\repertexosAffichable}{http\deuxpoints//matexo.emath.fr/exemaalt/exos\_individuels/tex/}
\newcommand{\repertexosimprimable}{http\deuxpoints//matexo.emath.fr/exemaalt/exos_individuels/pdf_imprimable/}
         %endroit ou sont les sources des exos pour faire un lien
\newcommand{\repertexosimprimableAffichable}{http\deuxpoints//matexo.emath.fr/exemaalt/exos\_individuels/pdf\_imprimable/}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Environnement exo
%
% C'est dans cet environnement qu'on dit comment on formate chaque exo, en ecrivant
% l'objectif....

\newenvironment{exo}{%

\espaceexo

\ecritseparation

\vspace{0.2cm}
\setcounter{partie}{0}\setcounter{qst}{0}\setcounter{sq}{0}\setcounter{ssq}{0}\setcounter{thm}{0}
\refstepcounter{subsection}  
\noindent {\Large \textbf{\thesubsection. \ecrittitre\ecritnouveau}}
\labelexo %label donne par la commande etiquette (obsolete)
\label{label-\ecritnomfic} % label interne defini par le nom du fichier
\pdfbookmark[2]{\ecrittitrebookmark\ecritnouveaubookmark}{anchor_exo_\thesubsection}
\begin{quote}
\ifthenelse{\equal{\ecritnocopyleft}{}}{%cas standard, avec copyleft
{\small \copyright \ecritannee\ \ecrittousauteurs\ 
(copyleft \href{\adresseLDL}{LDL :} 
\href{\adresseLDL}{Licence} 
\href{\adresseLDL}{pour} 
\href{\adresseLDL}{Documents} 
\href{\adresseLDL}{Libres}).}}%fin du cas avec copyleft
{%cas sans copyleft
\small \ecrittousauteurs. (Cet exercice n'est pas sous copyleft LDL)}%fin du ifthenelse copyleft 

\ifthenelse{\equal{\ecritfichierunique}{}}{%cas ou le fichier est multiple
Sources et figures: \href{\repertexos\ecritnomfic}{\texttt{\affichenomfic/}}.\newline 
Version imprimable: \href{\repertexosimprimable\ecritnomfic.pdf}{\texttt{\affichenomfic.pdf}}%
}{%cas ou le fichier est unique
Source: \href{\repertexos\ecritnomfic/\ecritnomfic.tex}{\texttt{\affichenomfic.tex}}.\newline 
Version imprimable: \href{\repertexosimprimable\ecritnomfic.pdf}{\texttt{\affichenomfic.pdf}}
}

\noindent \informations
\vspace{0.15cm}

\noindent\textsc{Objectifs et commentaires.} {\itshape\small\ecritobjectif}

\centerline{\rule{0.3\textwidth}{.2pt}}

\end{quote}
}{\enlevetout

\vspace{0.15cm}\centerline{\rule{0.3\textwidth}{.2pt}}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Fin environnement exo

\input{liste_des_categories.tex}
\input{macros.tex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%
%%%%%%%%%    debut du document
%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document} 

\titreglobal

\input{abstract-exos.tex}

\vspace{0.3cm}

\setcounter{tocdepth}{2}
\pdfbookmark[1]{Table des mati\`eres}{anchor_tablematieres}
\tableofcontents 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\DateAEcrire{Janvier 2007}

\separation


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{transformation-de-graphes2}
\nomficimprimable{transformation-de-graphes2}
\FichierUnique\titrebookmark{Transformation de graphes de fonctions, version longue}
\nouveau
\Annee{2004}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{}
\Date{2007/01/15}
\Titre{Transformation de graphes de fonctions, version longue}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{}

\AnglePedagogique{\Visualisation} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Fonctions} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{} 

\Objectif{Cet exercice relie g\'eom\'etrie et formules, de mani\`ere  progressive.
}

\begin{exo}

\qst{Exp\'erimentation}

\sq Dessiner le graphe de la fonction exponentielle.

\sq En vous aidant \'eventuellement d'une calculatrice graphique, 
dessiner sur le papier les graphes des quatre fonctions suivantes :
 $-\exp(x)$ ;  $\exp(x) + 1$ ;   $\exp(x) -1$ ;  $2\exp(x)$.

Par quelles transformations g\'eom\'etriques passe-t-on du graphe de l'exponentielle aux graphes trac\'es ?

\sq M\^emes questions pour les quatre fonctions
 $\exp(-x)$ ;  $\exp(x+1)$ ; $\exp(x-1)$ ; $\exp(2x)$.



\qst{\'Enonc\'e des correspondances}
\sq Relier chaque formule \`a la transformation g\'eom\'etrique qui lui correspond.

\parbox{0.25\textwidth}
{
\begin{enumerate}
\item $-f(x)$ ;
\item $f(x)+1$ ;
\item $f(x)-1$ ;
\item $2f(x)$ ;
\item $f(-x)$ ;
\item $f(x+1)$ ;
\item $f(x-1)$ ;
\item $f(2x)$.
\end{enumerate}
}
\noindent\parbox{0.7\textwidth}
{
\begin{enumerate}
\item translation vers le haut ;
\item translation vers le bas ; 
\item translation vers la gauche ;
\item  translation vers la droite ; 
\item sym\'etrie par rapport \`a l'axe des abscisses ;
\item sym\'etrie par rapport \`a l'axe des ordonn\'ees ;
\item dilatation d'un facteur $2$ dans le sens vertical ;
\item dilatation d'un facteur $1/2$ dans le sens horizontal.
\end{enumerate}
}

\sq Quelle formule correspond \`a  une homoth\'etie de rapport $2$, centr\'ee en l'origine ?
\`A une rotation d'un demi-tour, centr\'ee en l'origine ?



%%
\qst{Applications}
Tracer le plus rapidement possible les graphes des applications suivantes.
On commencera par tracer le graphe de la fonction \'el\'ementaire utilis\'ee (sinus, cosinus, \emph{etc.}). On pourra v\'erifier le dessin \`a l'aide d'une calculatrice graphique. 

\sq $f_{1}(x) = \sin(x)+1$ ; $f_{2}(x) = -\cos(x)$ ; $f_{3}(x) = \ln(-x)$ (test de la r\'eponse : quel est son ensemble de d\'efinition ?)
; $f_{4}(x) = 2\sqrt{x}$  ; $f_{5}(x) = \sin(2x)$ ; $f_{6}(x) = \sqrt{x+1}$ (tester l'ensemble de d\'efinition).

\sq Plus difficile : $f_{7}(x) = 2\sin(x)+1$ ; $f_{8}(x) = \ln(2x+1)$ ; $f_{9}(x) = \sin(2x)+1$ ; $f_{10}(x) = 2\ln(x+1)$.

En d\'eduire le tableau de variations de chacune de ces fonctions, \emph{sans calcul de d\'eriv\'ee}.





%%
\qst{Une d\'emonstration}
 
 \sq Soit $H$ l'homoth\'etie du plan $\bbR^2$ centr\'ee en l'origine et de rapport $1/2$. 
 Donner une formule pour $H(x,y)$. 

\sq  Soit $f$ une fonction de $\bbR$ dans $\bbR$, et $\cal G$ son graphe.
D\'emontrer que le graphe de la fonction $x \mapsto \frac{1}{2}f(2x)$
est l'image de $\cal G$ par l'homoth\'etie $H$.


\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\DateAEcrire{Janvier 2007}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{variations-sans-deriver}
\nomficimprimable{variations-sans-deriver}
\FichierUnique\titrebookmark{Tableau de variations sans d\'eriver}
\nouveau
\Annee{2007}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{}
\Date{2007/01/15}
\Titre{Tableau de variations sans d\'eriver}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{}

\AnglePedagogique{\Visualisation} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Fonctions} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{} 

\Objectif{Cet exercice fait voir comment on peut d\'eterminer le sens de variation de fonctions simples sans calcul de d\'eriv\'ee.}

\begin{exo}
\qst{}
Rappeler rapidement les sens de variation des fonctions usuelles suivantes : 
 $x \mapsto ax+b$ ($a,b$ constantes) ;
$ x \mapsto e^x$ ;
$ x \mapsto x^2$ ;
$ x \mapsto x^3$ ;
$x \mapsto \sqrt{x}$ ;
$x \mapsto \ln(x)$ ;
$x \mapsto 1/x $.

\qst{}
D\'eterminer, en imitant l'exemple et sans calcul de d\'eriv\'ee, le tableau de variation des fonctions suivantes. On commencera par donner l'ensemble de d\'efinition.

\parbox{0.45\textwidth}{
\begin{itemize}
\item $f_{1} :  x \mapsto e^{2x+1}$ ;
\item $f_{2} :  x \mapsto \sqrt{-x}$ ;
\item $f_{3} :  x \mapsto \sqrt{e^x+2}$ ;
\item $f_{4} :  x \mapsto \ln(x^2+1)$ ;
\end{itemize}
}
\parbox{0.45\textwidth}{
\begin{itemize}
\item $f_{5} : x \mapsto \frac{1}{x+2}$ ;
\item $f_{6} : x \mapsto \frac{1}{1+1/x}$.
\item $f_{7} : x \mapsto \ln(x)^2$.
\end{itemize}
}

\paragraph{Exemple pour $f_{4}$}
La fonction  $f_{4}(x)$ est d\'efinie sur $\bbR$.
\begin{enumerate}
\item Sur l'intervalle $]-\infty,0]$, lorsque $x$ cro\^it, $x^2+1$  d\'ecro\^it entre $+\infty$ et $1$ ;
 donc son logarithme d\'ecro\^it entre $+\infty$ et $\ln(1)$.
\item Sur l'intervalle $[0,+\infty[$, lorsque $x$ cro\^it, $x^2+1$  cro\^it entre $1$ et $+\infty$ ; donc son logarithme cro\^it entre $\ln(1)$ et $+\infty$.
\end{enumerate}
 D'o\`u la tableau de variation complet...
 
\paragraph{Remarque}
On utilise que la compos\'ee de deux fonctions croissantes est croissante, la compos\'ee d'une fonction croissante et d'une fonction d\'ecroissante est d\'ecroissante, \emph{etc.}.

\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\DateAEcrire{Janvier 2007}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{courbes-de-bezier}
\nomficimprimable{courbes-de-bezier}
\titrebookmark{Introduction aux courbes de B\'ezier}
\nouveau
\Annee{2007}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{}
\Date{2007/01/15}
\Titre{Introduction aux courbes de B\'ezier}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{}

\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\GeometrieDiff} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{Courbes param\'etr\'ees} 

\Objectif{Dans cet exercice, on d\'efinit les courbes de B\'ezier cubiques, et on \'etudie l'algorithme de trac\'e d\^u \`a  Casteljau. L'introduction est extraite d'un \emph{Cours de calculus}, voir \htmladdnormallink{http://math.u-psud.fr/\~{ }leroux}{http://math.u-psud.fr/~leroux}.}

\begin{exo}

Vous \^etes-vous d\'ej\`a demand\'e comment l'ordinateur dessine les lettres que l'on voit \`a l'\'ecran ?
Dans les ann\'ees 1980, quand les ordinateurs personnels commen\c caient tout juste \`a se r\'epandre, l'ordinateur avait en m\'emoire un dessin de chacune des 26 lettres de l'alphabet (sans compter les lettres accentu\'ees). Une lettre \'etait stock\'ee sous la forme d'une grille $8 \times 8$ dans laquelle chaque case \'etait allum\'ee
 ou \'eteinte (noire ou blanche, ce qui en m\'emoire correspond au symbole $0$ ou $1$).
 Par exemple, le ``e'' pouvait  ressembler au dessin de gauche de la figure~\ref{police}.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{police1-tiff.eps}
\hspace{2cm}
\includegraphics[width=5cm]{police2-tiff.eps}
\caption{Zoom sur un ``e'' : \`a gauche, avec un ordinateur des ann\'ees 1980 ; \`a droite, avec un ordinateur actuel}
\label{police}
\end{center}
\end{figure}


Cette m\'ethode avait de nombreux inconv\'enients. En particulier, si l'on voulait grossir le texte \`a l'\'ecran, l'ordinateur ne pouvait que grossir la grille, et on voyait appara\^itre
les gros carr\'es qui d\'efinissaient la lettre, exactement comme sur le dessin ci-dessus.
En comparaison, avec un ordinateur actuel,
on peut zoomer ``\`a l'infini'' sans voir appara\^itre de gros carr\'es ; pourtant, l'\'ecran lui-m\^eme est toujours une grille de pixels (ici, 1024 sur 768) : c'est donc que le ``e'' sur lequel on a zoom\'e n'est pas obtenu \`a partir d'une lettre de taille normale en effectuant un pur agrandissement (une homoth\'etie !), sans quoi les carr\'es appara\^itraient assez vite.
 Il semble que les lettres ne soient plus d\'efinies au moyen d'une grille, mais \`a l'aide de courbes lisses, et que l'ordinateur recalcule des d\'etails suppl\'ementaires \`a chaque nouvel agrandissement.
\emph{Quelles sont les courbes utilis\'ees pour produire ces lettres, et comment 
sont-elles d\'efinies ?}

Une recherche rapide nous apprend que ces courbes sont des \emph{courbes de B\'ezier}. La plupart des logiciels de dessin permettent de tracer de telles courbes. On voit que ces courbes sont d\'efinies tr\`es facilement : on donne un point de d\'epart, et une vitesse en ce point ; 
et un point d'arriv\'ee, et une vitesse au point d'arriv\'ee ; et le logiciel nous trace la courbe de B\'ezier  correspondante. La figure~\ref{police-e} montre comment la lettre ``e'' peut \^etre fabriqu\'ee en assemblant un certain nombre de courbes de B\'ezier.
La g\'eom\'etrie se glisse  parfois \`a des endroits inattendus...

Comment sont d\'efinies math\'ematiquement ces courbes de B\'ezier, 
et comment l'ordinateur les dessine ? C'est ce que nous allons apprendre dans cet exercice.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}\hspace{-2cm}\vspace{-2cm}
\parbox{\textwidth}{
\framebox{
\centerline{\includegraphics[angle=-90,width=12cm]{police3-e.eps}}
}}
\caption{Extrait de \emph{Caract\`eres num\'eriques : introduction}, de Jacques Andr\'e}
\label{police-e}
\end{center}
\end{figure}




\footnotesize 
\paragraph{Histoire de B\'ezier (liocity.free.fr)}
Au d\' ebut des ann\' ees 60, les machines num\' eriques ne savaient usiner de fa\c con pr\' ecise que des courbes simples comme des paraboles ou des ellipses.  Une seconde cat\' egorie d'objets, au contraire, offrait une forme a priori peu pr\' ecise, d\' etermin\' ee exp\' erimentalement. Les h\' elices d'avions, les coques de bateaux et les carrosseries de voitures \' etaient trac\' ees \`a main lev\' ee, sans que l'on puisse d\' ecrire leurs formes par une formule math\' ematique.

Pierre B\' ezier, ing\' enieur fran\c cais dipl\^om\' e du Conservatoire national des arts et m\' etiers, poursuivait, une carri\`ere \`a la R\' egie Renault, atteignant le poste de directeur des m\' ethodes m\' ecaniques.

Les machines \`a commande num\' erique de cette \' epoque offraient une programmation limit\' ee. Il fallait les alimenter avec des nombres, ce que l'on savait faire pour des d\' eplacements \' el\' ementaires comme des droites, des arcs de cercle, et \`a la rigueur des ellipses. Mais il n'\' etait pas question de programmer des courbes quelconques, trac\' ees \`a la main, faute d'une d\' efinition num\' erique de celles-ci. 
Pierre B\' ezier chercha donc comment traduire math\' ematiquement une courbe, puis une surface, dessin\' ees \`a main lev\' ee. Il lui fallait concevoir un syst\`eme capable de g\' erer des courbes gauches, c'est-\`a-dire de manipuler des surfaces en 3D, d'où la n\' ecessit\' e de d\' efinir un mod\`ele math\' ematique qui ne soit pas limit\' e \`a des courbes en deux dimensions. Enfin, l'ing\' enieur entendait inventer un syst\`eme complet pour cr\' eer un objet en volume \`a partir d'un dessin, le tout avec une rapidit\' e d'ex\' ecution suffisante, et compr\' ehensible intuitivement.

Mais ses recherches n'\' etaient pas enti\`erement originales. D\`es 1958, un math\' ematicien employ\' e par Citroen, Paul de Casteljau, s'\' etait attaqu\' e au m\^eme probl\`eme. Paul de Casteljau \' etait charg\' e de num\' eriser une courbe, une fois celle-ci trac\' ee, sans se poser la question d'une correction a posteriori. Il d\' efinissait ses courbes comme caract\' eris\' ees par des p\^oles, d'une fa\c con nettement moins parlante que les points de contr\^ole de B\' ezier.

L'aventure de Pierre B\' ezier aurait pu s'arr\^eter l\`a. Mais un groupe de d\' eveloppeurs li\' es \`a Apple cr\' ea un langage adapt\' e \`a la future imprimante laser con\c cue pour le Mac. Il s'agissait de trouver un moyen de d\' efinir math\' ematiquement une courbe, comme le trac\' e d'un caract\`ere, avant de l'envoyer \`a l'imprimante. L'un de ces d\' eveloppeurs connaissait le travail du Fran\c cais. Tout naturellement, il choisit les courbes de B\' ezier comme base du langage PostScript et fonda la soci\' et\' e Adobe. Microsoft adopta \`a son tour les polices true-type \`a partir de Windows 3.1. Ces polices utilisent les courbes de B\' ezier pour d\' efinir les caract\`eres aux formes arrondies.
\normalsize






\partie{D\'efinition des courbes de B\'ezier}

On se donne quatre points $A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3}$ dans le plan,
et on cherche \`a d\'efinir une courbe param\'etr\'ee 
\begin{itemize}
\item qui part de $A_{0}$ et arrive en  $A_{3}$ ;
\item qui est  tangente en $A_{0}$ \`a la droite $(A_{0}A_{1})$,
\item qui est  tangente en $A_{3}$ \`a la droite $(A_{2}A_{3})$,
\item qui est d\'efinie par des polyn\^omes de petit degr\'e.
\end{itemize}

Pour cela,  on d\'efinit les quatre polyn\^omes (dits \emph{polyn\^omes de Bernstein} de degr\'e $3$)
$$
p_{0}(t) = (1-t)^3, \ \ \  p_{1}(t) = 3t(1-t)^2,  \ \ \ p_{2}(t) = 3t^2(1-t),  \ \ \ p_{3}(t) = t^3.
$$  
Soit $\alpha$ la courbe param\'etr\'ee d\'efinie, pour $t \in [0,1]$, par les formules suivantes, 
o\`u $A_{0}=(x_{0},y_{0})$, \textit{etc.}.
$$\left\{
\begin{array}{lll}
x(t) & = & x_{0}p_{0}(t) + x_{1}p_{1}(t) + x_{2}p_{2}(t) +x_{3}p_{3}(t)     \\
y(t) &  = & y_{0}p_{0}(t) + y_{1}p_{1}(t) + y_{2}p_{2}(t) +y_{3}p_{3}(t)
\end{array}
\right.
$$


\qst{Cas particulier} On consid\`ere ici les points $A_{0}=(0,0), A_{1}=(0,1), A_{2}=(1,1), A_{3}=(1,0)$. Dans ce cas, expliciter les formules d\'efinissant la courbe $\alpha$.
\'Etudier et dessiner la courbe.

%la formule\footnote{Remarque : dans cette formule, on utilise la notation $A.k$ o\`u $A$ est un point et $k$ un nombre. Par d\'efinition, la multiplication se fait coordonn\'ee par coordonn\'ee (les coordonn\'ees de $A.k$ sont celles  de $A$ multipli\'ees par $k$). M\^eme remarque pour l'addition de deux points.
%}
%$$
%\alpha(t) = A_{0}.p_{0}(t) +  A_{1}.p_{1}(t) +  A_{2}.p_{2}(t) +  A_{3}.p_{3}(t).
%$$


\qst{Cas g\'en\'eral} 

On consid\`ere ici quatre points quelconques $A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3}$.

 \sq Montrer que la courbe $\alpha$ d\'efinie plus haut r\'epond au probl\`eme. 

 On l'appellera \emph{courbe de B\'ezier associ\'ee aux quatre points $A_{0}, \dots, A_{3}$.}
On pourra faire le calcul \`a l'aide du tableau suivant.
\[
\begin{array}{cccc|cccc|cccc|cccc|cccc|cccc}
  p_{0}(t)&&&& p_{1}(t)  &&&& p_{2}(t) &&&& p_{3}(t)&&&& x(t) &&&& y(t) &&& \\
\hline
 p_{0}(0)=    &&&& p_{1}(0)= &&&& p_{2}(0)= &&&& p_{3}(0)= &&&&x(0)= &&&&y(0)= & \\
\hline
 p_{0}(1)= &&&& p_{1}(1)= &&&& p_{2}(1)= &&&& p_{3}(1)= &&&&x(1)= &&&&y(1)= & \\
\hline
 p_{0}'(0)= &&&& p_{1}'(0)= &&&& p_{2}'(0)= &&&& p_{3}'(0)= &&&&x'(0)= &&&&y'(0)= & \\
\hline
 p_{0}'(1)= &&&& p_{1}'(1)= &&&& p_{2}'(1)= &&&& p_{3}'(1)= &&&&x'(1)= &&&&y'(1)= & \\
\end{array}
\]

\sq Que vaut  le vecteur $\alpha'(0)$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{A_{0}A_{1}}$ ? et $\alpha'(1)$ en fonction de $\overrightarrow{A_{2}A_{3}}$ ?

\qst{}
Calculer la vitesse  de $\alpha$ au point $t=1/2$,    et exprimer cette vitesse \`a l'aide des vecteurs
$\overrightarrow{A_{0}A_{3}}$ et $\overrightarrow{A_{1}A_{2}}$.


%\qst{} \emph{(optionnelle)} Donner \emph{sans calculs} la courbe de B\'ezier  associ\'ee aux quatre points 
%$A'_{0}=(0,0), A'_{1}=(1,0), A'_{2}=(1,1), A'_{3}=(0,1)$.

%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Trac\'e r\'ecursif d'une courbe de B\'ezier : l'algorithme de Casteljau}


\begin{figure}[htbp]
\def\JPicScale{1}
\begin{center}
\input{Casteljau.tex}
\caption{Construction de Casteljau}
\label{castel}
\end{center}
\end{figure}

\paragraph{Description g\'eom\'etrique  de l'algorithme}
\`A partir des quatre points $A_{0}, A_{1}, A_{2} , A_{3}$, on construit les points $B_{0}, B_{1},B_{2} , B_{3}$ et $C_{0}, C_{1}, C_{2} , C_{3}$ en prenant des milieux successifs comme sur le dessin de la figure~\ref{castel}~: $B_{0} = A_{0}$ ; $B_{1}$ est le milieu des points  $A_{0}$ et $A_{1}$ ; $B_{2}$ est le milieu de $B_{1}$ et du milieu de $A_{1}$ et $A_{2}$ ; \textit{etc.}.

La remarque de Paul de Casteljau\footnote{Math\'ematicien, embauch\'e \`a la fin des ann\'ees 1950 par Citro\"en pour trouver une m\'ethode permettant de d\'efinir num\'eriquement  les courbes dessin\'ees par le bureau d'\'etude, afin d'assurer une transmission pr\'ecise \`a l'atelier de fabrication. Il est le co-inventeur des courbes de B\'ezier et de leur application \`a l'automobile.}
est la suivante : \emph{la courbe de B\'ezier $\alpha$ associ\'ee aux quatres points  
$A_{0}, \dots , A_{3}$ s'obtient en concat\'enant\footnote{Concat\'ener, c'est mettre bout-\`a-bout.}  la courbe de B\'ezier  associ\'ee \`a  $B_{0}, \dots , B_{3}$ et la courbe de B\'ezier associ\'ee \`a  $C_{0}, \dots , C_{3}$.} Nous allons essayer de v\'erifier cette remarque.


\qst{} \sq Trouver les coordonn\'ees du point $B_{3}$ en fonction de celles des quatres points initiaux $A_{0}, \dots , A_{3}$. 

\sq Montrer que ce point appartient bien \`a l'image de la courbe $\alpha$.

\def\ra{\rightarrow}

\qst{} Soit $\beta : [0,1] \ra \bbR^2$ la courbe param\'etr\'ee obtenue en partant de $\alpha(0)$ \`a $t=0$ et en parcourant l'image de la courbe  $\alpha$ deux fois moins rapidement.

\sq Donner une formule pour la courbe $\beta$ en fonction de la courbe $\alpha$.
\emph{Aide : que vaut $\beta(1)$ ? $\beta(1/2)$ ? $\beta(t)$ ?}

\sq En d\'eduire $\beta'(0)$ et $\beta'(1)$. 

\sq Montrer que la courbe $\beta$ v\'erifie bien les propri\'et\'es  de la courbe de B\'ezier associ\'ee \`a $B_{0}, \dots , B_{3}$  (voir l'exercice pr\'ec\'edent) : 
$$\beta(0) = B_{0}, \ \ \ \beta(1) = B_{3} \ \ \ \beta'(0) = 3.\overrightarrow{B_{0}B_{1}} \ \ \ \beta'(1) = 3.\overrightarrow{B_{2}B_{3}}. $$

\qst{} \emph{(optionnelle)} De m\^eme, donner une formule pour la courbe param\'etr\'ee  $\gamma : [0,1] \ra \bbR^2$ qui part de $\alpha(1/2)$ au temps $t=0$ et arrive  en $\alpha(1)$ \`a $t=1$  en parcourant $\alpha$ deux fois moins rapidement.
\emph{On montrerait comme avant que $\gamma$ v\'erifie les propri\'et\'es de la courbe de B\'ezier associ\'ee \`a $C_{0}, \dots , C_{3}$. On admet que $\beta$ et $\gamma$ sont bien des courbes de B\'ezier.}\footnote{Pour montrer ceci, on utiliserait le fait que si l'on se donne quatre nombres $x_{0}, x'_{0}, x_{1}, x'_{1}$, il existe un unique polyn\^ome $p$ de degr\'e inf\'erieur ou \'egal  \`a $3$ tel que $p(0)= x_{0}, p'(0) = x'_{0}, p(1)= x_{1}, p'(1) = x'_{1}$.}


\qst{} On consid\`ere \`a nouveau  la  courbe de B\'ezier associ\'ee aux quatre points 
$A_{0}=(0,0), A_{1}=(0,1), A_{2}=(1,1), A_{3}=(1,0)$.
 En utilisant la remarque de Casteljau (et non pas la formule d\'efinissant $\alpha$), d\'eterminer les coordonn\'es du  point $\alpha(1/2)$. De m\^eme, d\'eterminer  les points $\alpha(1/4)$ et $\alpha(3/4)$. %Utiliser ces points pour tester la formule obtenue pour $\alpha$ dans l'exercice pr\'ec\'edent.

\qst{} On choisit $4$ points quelconques $A'_{0}, A'_{1}, A'_{2}, A'_{3}$
dans le plan. On voudrait tracer la courbe de B\'ezier correspondante $\alpha$.
En utilisant la construction g\'eom\'etrique donn\'ee par l'algorithme de Casteljau, 
placer les points $\alpha(1/2)$, puis $\alpha(1/4)$ et  $\alpha(3/4)$, puis encore quatre autres points. Esquisser le trac\'e de la courbe $\alpha$.




\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\DateAEcrire{Janvier 2007}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{graphes-deux-variables}
\nomficimprimable{graphes-deux-variables}
\titrebookmark{Graphes et lignes de niveau des fonctions de deux variables}
\nouveau
\Annee{2007}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{}
\Date{2007/01/15}
\Titre{Graphes et lignes de niveau des fonctions de deux variables}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{}

\AnglePedagogique{\Decouverte} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{\Visualisation} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\FonctionsPlusieursVars} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{} 

\Objectif{Cet exercice peut servir d'introduction aux fonctions de plusieurs variables, et notamment \`a leurs repr\'esentations graphiques sous forme de graphe et de lignes de niveaux (\emph{avant} tout cours sur le sujet). Il devrait aider les \'etudiants \`a se forger une image mentale de ce qu'est une fonction de deux variables.}

\begin{exo}

\partie{La presqu'\^ile}

Les trois dessins ci-dessous repr\'esentent des vues en relief d'une presqu'\^ile, avec le plan du niveau de la mer. Les vues sont orient\'ees respectivement vers le Nord, l'Ouest, et le Sud. On a repr\'esent\'e les lignes de niveaux d'altitude 0m, 25m, 50m, \emph{etc.}
(le sommet est situ\'e \`a une altitude d'environ 250m).

%\hspace{-0.5cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{preskil2-S.eps}
\includegraphics[width=7cm]{preskil2-N.eps}
\includegraphics[width=7cm]{preskil2-E.eps}
\end{center}

%\hspace{-0.5cm}
%\begin{center}
%\framebox{
%\hspace{-1cm}
%\includegraphics[width=8cm]{preskil2-N.eps}
%\hspace{-3cm}
%\includegraphics[width=8cm]{preskil2-E.eps}
%\hspace{-3cm}
%\includegraphics[width=8cm]{preskil2-S.eps}
%\hspace{-1.7cm}
%}
%%\hspace{-13.3cm}
%\end{center}

\qst{Lignes de niveau}

\sq Dessiner, en vue du dessus, l'allure de la ligne de niveau $0$
(ensemble des points de la presqu'\^ile situ\'es \`a l'altitude $0$).
On utilisera le cadre fourni.

\sq M\^eme question pour la ligne de niveau 100m, 
puis pour la ligne de niveau 200m (sur le m\^eme dessin).



\qst{Profils du relief}

\sq Dessiner le profil  du relief le long d'un itin\'eraire Sud-Nord passant par le sommet de la presqu'\^ile.

\sq M\^eme question pour un itin\'eraire passant au dessus de l'axe Nord-Sud repr\'esent\'e sur les dessins.
M\^eme question pour un itin\'eraire passant par le col de la presqu'\^ile.

\sq \footnotesize (optionnelle) \normalsize  Sur un autre dessin, repr\'esenter le profil  du relief le long d'un itin\'eraire Ouest-Est passant au dessus de l'axe Ouest-Est repr\'esent\'e.


%\newpage

\framebox{\parbox{0.9\textwidth}{
En fait, la surface dessin\'ee ci-dessus est le graphe de la fonction
de deux variables d\'efinie par
$$f(x,y)=-\frac{x^{3}}{3}-xy-y^{2}+x+\frac{3}{2}.$$


Ceci signifie :
 \begin{itemize}
\item qu'on a muni l'espace d'un rep\`ere orthonorm\'e $(Oxyz)$,
\item et qu'on a repr\'esent\'e \emph{l'ensemble des points $(x,y,z)$ de l'espace
tels que $z=f(x,y)$.}
\end{itemize}
L'axe $(Oz)$ est dirig\'e vers le haut, l'axe $(Ox)$ vers l'Est, et l'axe $(Oy)$ vers le Nord.
}}

\qst{} \sq \'Etiqueter les axes ('$x$', '$y$' ou '$z$') sur les  trois dessins de l'\'enonc\'e. \sq Tracer les axes sur les deux dessins des questions 1 et 2, et les \'etiqueter.


\qst{} \sq Sachant que $x$, $y$ et $z$ sont exprim\'es en centaines de m\`etres,
donner l'altitude du point de la presqu'\^ile d'abscisse $x=0$ et d'ordonn\'ee $y=0$.
\sq Positionner ce point sur chacun des dessins pr\'ec\'edents.
\sq \footnotesize (optionnelle) \normalsize M\^emes questions pour le point correspondant \`a $x=0$ et $y=1$.


\bigskip

\qst{} \sq La ligne de niveau $0$ dessin\'ee \`a la question~\textbf{1.a} 
est un ensemble de points dans le plan des variables $x$ et $y$.
 Quelle est l'\'equation de cet ensemble ? \sq Exprimez cette \'equation \`a l'aide de la fonction $f$. \sq M\^emes questions pour la ligne de niveau 100m.

\qst{} \sq Le  profil du relief au-dessus de l'axe Nord-Sud,  dessin\'e \`a la question
\textbf{2.b}, est un ensemble de points dans le plan des variables $y$ et $z$.  Quelle est l'\'equation de cet ensemble ?
 \sq Exprimez cette \'equation \`a l'aide de la fonction $f$. \sq
En d\'eduire  l'altitude du point culminant de cet itin\'eraire. V\'erifier graphiquement.
\normalsize


\partie{La selle de cheval}


\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm,]{x2-y2.eps}
\end{center}


Le dessin  montre
 le graphe de la fonction d\'efinie par $f(x,y) = x^2-y^2$. On a repr\'esent\'e les lignes de niveau d'altitudes enti\`eres ($0,1,2,...$).
 
 \qst{Lignes de niveau}

\sq Indiquer sur le dessin les trois  courbes correspondant  respectivement aux niveaux $-1$, $0$, $1$.


\sq Donner l'\'equation de la ligne de niveau $1$. En s'aidant du dessin fourni, repr\'esenter cette ligne de niveau (dans le plan des variables $x$ et $y$).

\sq M\^emes questions pour la ligne de niveau $0$. En exprimant $x$ en fonction de $y$, montrer par le calcul que cette ligne est la r\'eunion de deux droites.

\qst{Fonctions partielles}

\sq Donner l'expression de la fonction partielle $\varphi : x \mapsto f(x,0)$. Dessiner son graphe (dans le plan des variables $x$ et $z$). Repr\'esenter la courbe correspondante sur le dessin en trois dimensions.

\sq M\^emes questions pour la fonction partielle $\psi : y \mapsto f(-1,y)$. 




\newpage


\textbf{1.a et b}\centerline{\framebox{\parbox{0.9\textwidth}{
$$
%\left(
\begin{array}{lcr}
  & \mbox{Nord}  &   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
 \mbox{Ouest~\hspace{4.9cm}~} &  &  \mbox{~\hspace{4.9cm}~Est} \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
  &  \mbox{Sud}  &   
\end{array}
%\right)
$$
}}}

\bigskip
%\centerline{Nord}
%\vspace{3cm}
%Ouest \flushright{Est}
%\vspace{3cm}
%\centerline{Sud}

\textbf{2.a et b}\centerline{\framebox{\parbox{0.9\textwidth}{
$$
%\left(
\begin{array}{lcr}
  & \mbox{Haut}  &   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
 \mbox{Sud~\hspace{4.9cm}~} &  &  \mbox{~\hspace{4.9cm}~Nord} \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
  &  \mbox{Bas}  &   
\end{array}
%\right)
$$
}}}
\newpage












\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\DateAEcrire{Janvier 2007}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\nomfic{approximations-affines}
\nomficimprimable{approximations-affines}
\FichierUnique\titrebookmark{Approximations affines}
\nouveau
\Annee{2007}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{}
\Date{2007/01/15}
\Titre{Approximations affines}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{}

\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\FonctionsPlusieursVars}  %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{} 

\Objectif{Cet exercice classique montre comment on peut utiliser la formule de Taylor pour
estimer les petites variations d'une fonction de deux variables, dans des cadres tr\`es concrets. Les trois premi\`eres questions utilisent la formule \`a l'ordre $1$, la derni\`ere \`a l'ordre $2$. La question sur le c\^one est plus difficile parce qu'elle utilise  la notion
d'incertitude relative.}

\begin{exo}
\qst{Petites variations de la diagonale d'un carr\'e}
\sq Donner l'expression de la diagonale $d(x,y)$ d'un rectangle de c\^ot\'es $x$ et $y$.

\sq On consid\`ere un rectangle de c\^ot\'es $x=30 cm$ et $y=40 cm$. En utilisant l'approximation affine de $d$ (c'est-\`a-dire en n\'egligeant le reste dans la formule de Taylor), donner  une estimation de  la variation de $d$ lorsque $x$ augmente de 4mm et $y$ diminue de 1mm (sans utiliser la  calculatrice !). Calculer la longueur de la nouvelle diagonale \`a la calculatrice, et comparer avec l'estimation.

%11/5 de mm.

\qst{Petites variations de la surface d'une bo\^ite} On consid\`ere un container en carton de volume $1m^3$, 
dont la base a pour dimension $x=2m$ et $y=1m$ . On veut fabriquer un deuxi\`eme container en carton de m\^eme volume, avec une base de c\^ot\'es 195cm et 95cm. Donner (sans calculatrice) une estimation de la diff\'erence de surfaces ext\'erieures entre les deux containers \`a l'aide l'approximation affine. Calculer la nouvelle surface \`a l'aide de la calculatrice, et comparer avec l'estimation.

%r\'eponse : 10/4 en cm^2.

\qst{Petites variations du volume d'un c\^one}   On mesure le rayon $r$ et la hauteur $h$  d'un c\^one, avec une incertitude de $3\%$ sur le rayon,  et de $2\%$ sur la hauteur. \'Evaluez l'incertitude sur le volume $V(r,h)=\pi r^2 h/3$ du c\^one, à l'aide 
de l'approximation affine.


\qst{Approximation quadratique}
La surface $S(x,y)$ d'un container en carton de volume $1m^3$ dont la base a pour
dimension $x,y$ est la fonction
$$S(x,y)=2xy+\frac 2 x +\frac 2 y.$$ 
On considère le container de volume $1 m^3$ dont la base a les dimensions $x=1m$ et $y=1m$ (c'est donc
un cube).
On veut estimer
la variation de surface lorsque le c\^oté $x$ augmente de
$5cm$,
et le c\^oté $y$ diminue de $10cm$. 

\sq Ecrire la formule de Taylor à l'ordre $1$ au point $(1,1)$. Peut-on en déduire
une estimation de la variation?


\sq Répondre au problème en utilisant la formule de Taylor à l'ordre
2, et en supposant que le reste est négligeable devant les autres termes.


\sq  Calculer la variation à la calculatrice, et comparer avec votre
estimation.




\end{exo}


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