\documentclass[10pt]{article}
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\newcounter{no}[ex] %numerotation des questions dans un exercice
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\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
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\def\?{$^{***}$\marginpar{?}}

\title{EXEMAALT\\
Un serveur d'exercices de maths ``alternatifs'' :\\
pour quoi faire ?
\begin{latexonly}
\footnote{Ce document est disponible \`a l'adresse suivante~: \newline
\texttt{http://matexo.emath.fr/exemaalt/textes/motivations/motivations.html}}
\end{latexonly}
}

\author{Vincent Guirardel et Fr\'ed\'eric Le Roux}

\begin{document}
\bodytext{bgcolor="#FFF0E7"}
\maketitle
\sloppy
%Ce texte est disponible sous diff\'erents formats...

\textit{\small L'essentiel de ce texte date de la création d'EXEMAALT,
c'est-à-dire de l'été 2001.}



%\begin{abstract}
\paragraph{R\'esum\'e.}
Nous d\'eveloppons la th\`ese suivante :
les exercices de maths actuellement propos\'es aux \'etudiants en DEUG
accordent une place disproportionn\'ee \`a l'aspect technique. 
On aboutit ainsi \`a un apprentissage de techniques sophistiqu\'ees
qui, faute de recul, sont inutilisables. 
Il nous semble souhaitable, et possible, de proposer aussi aux
\'etudiants des activit\'es dont ils per\c coivent mieux le sens, et
qui exploreraient plus largement les diverses facettes du travail 
du math\'ematicien. Mais ceci demande un renouvellement important du stock
d'exercices disponibles, ce qu'aucun enseignant ne peut esp\'erer
faire seul : c'est pourquoi nous proposons une mise en commun la plus
large possible des
efforts dans cette direction, sous la forme d'une base de
donn\'ees structur\'ee d'exercices ``alternatifs''.
%\end{abstract}


\begin{center}
\noindent
\framebox{%
\parbox{0.9\textwidth}{%
\textbf{Avertissement.}
Nous esp\'erons que notre point de vue sur 
certains travers de l'enseignement actuel ne sera pas compris 
comme du m\'epris ; d'ailleurs, 
nous nous consid\'erons comme partie prenante du 
syst\`eme, et la plupart des critiques que nous formulons
sont aussi des auto-critiques.
D'autre part, nous ne pr\'etendons pas que les textes et exercices
qui composent cette page Web sont le r\'esultat d'une r\'eflexion 
exhaustive~;
en particulier, nous sommes conscients
de la part de na\"ivet\'e et de lieux communs qu'ils contiennent.
Loin de proposer des solutions toutes faites 
aux d\'elicats probl\`emes de l'enseignement,
nous voulons avant tout ``secouer le cocotier''...
}%
}
\end{center}

\begin{htmlonly}
\emph{Cette page est disponible sous d'autres formats \htmladdnormallink{ici}{formats/}.}
\end{htmlonly}

%****************
%*****
\section{Constat (quelques remarques sur l'enseignement
actuel)} 
\paragraph{R\'esum\'e de cette partie :} 
Des contraintes ext\'erieures ont entra{\^\i}n\'e une d\'et\'erioration
des conditions de travail en DEUG ; malgr\'e des efforts d'adaptation
de la part de l'universit\'e, c'est le sentiment d'\'echec qui
pr\'edomine. 



\subsection{Des conditions difficiles.}

L'enseignement ``de masse'', d\'ecid\'e par le pouvoir politique, 
entra\^\i ne d'abord une grande h\'et\'erog\'en\'eit\'e
des \'etudiants ; nous sommes donc dans une p\'eriode o\`u
l'enseignement aurait besoin d'\^etre renouvel\'e, diversifi\'e ; or
une deuxi\`eme cons\'equence de cette augmentation du nombre
d'\'etudiants est la diminution du taux d'encadrement
(nombre d'enseignants par \'etudiant), ce qui 
favorise la reproduction fig\'ee des m\'ethodes
d'enseignement ant\'erieures. L'augmentation du service des
enseignants\footnote{le service annuel est pass\'e de 150h \`a 192h.} 
et la d\'econsid\'eration de
l'activit\'e d'enseignement au profit de l'activit\'e de
recherche vont \'egalement dans ce sens. Parall\`element, alors que le
programme de maths du lyc\'ee a \'et\'e all\'eg\'e, que l'horaire de
math\'ematiques en DEUG a diminu\'e (avec notamment l'introduction de
l'enseignement de l'informatique),
le programme (th\'eorique)
du DEUG n'a pas subi de vraie d\'ecrue, l'\'etudiant \'etant cens\'e se
familiariser avec un grand nombre de concepts difficiles~:
peu de temps pour un programme charg\'e,
ceci ne laisse pas beaucoup de marge de man{\oe}uvre  \`a l'enseignant.

\subsection{Un effort d'adaptation...}

Le corps enseignant tente de s'adapter \`a cette \'evolution :
en cours magistral, un effort est fait pour motiver, illustrer,
expliquer les id\'ees ; le programme r\'eel est souvent une version
all\'eg\'ee du programme initialement pr\'evu ; de
nouvelles activit\'es apparaissent (comme les TP utilisant des
logiciels de calculs formels). Un autre aspect de cette adaptation
appara\^{\i}t dans les sujets d'examens : on y voit un
d\'elaissement des questions de raisonnement, qui conduisent \`a un
taux de r\'eussite trop bas, au profit d'exercices types, favorisant
l'apprentissage de recettes, et de questions de cours de pure
m\'emorisation.


\subsection{...et un relatif \'echec : l'enseignement perd son sens et son
utilit\'e.}

Cette \'evolution dans les sujets d'examen montre que, d'une certaine
mani\`ere, c'est la r\'esignation qui l'a emport\'e : nous avons en
grande partie renonc\'e \`a
obliger les \'etudiants \`a comprendre des choses profondes, et il est
tout \`a fait possible de d\'ecrocher son dipl\^ome en n'ayant fait
qu'effleurer les concepts difficiles du programme. Le contenu
des programmes actuels du
DEUG a \'evidemment un sens math\'ematique profond, mais y acc\'eder
n\'ecessite un recul que n'ont pas les \'etudiants.

Ici se pose la question de savoir pourquoi on enseigne ; si on
enl\`eve les r\'eponses absurdes (par exemple, ``le but est de
pr\'eparer les
\'etudiants \`a l'examen''), il y a en gros deux types d'objectifs
sens\'es :
on enseigne pour aider les individus \`a se construire
(l'apprentissage comme \'emancipation), ou bien on enseigne
pour que les individus puissent \^etre utiles \`a la soci\'et\'e.
Il est \'evident qu'un apprentissage superficiel passe totalement \`a
c\^ot\'e du premier objectif ; mais m\^eme si on se limite \`a
l'objectif utilitaire, on s'aper\c coit que la
fragilit\'e des connaissances les rend totalement inapplicables.




L'\'echec g\'en\'eralis\'e des meilleurs \'etudiants
issus du DEUG dans les
licences de maths illustre \'egalement ce point de vue~; cet \'echec
est d'ailleurs tout \`a fait logique, puisque le chemin \`a franchir du
lyc\'ee \`a la licence augmente, les pr\'erequis
\`a l'entr\'ee en licence n'ayant pas diminu\'e. Notons que
l'arriv\'ee en licence d'\'el\`eves issus des classes pr\'epas joue aussi un
r\^ole.


%contenu theorique du DEUG non, mais Lycee oui




%*****
\section{Diagnostic (hypoth\`eses sur ce qui ne passe pas dans
l'enseignement actuel)}
\paragraph{R\'esum\'e de cette partie :} 
Si l'on admet que cet \'echec n'est pas forc\'ement in\'eluctable
(notamment, que les \'etudiants n'en sont pas les seuls
responsables), on s'aper\c coit que le pas que nous avons fait en
direction des \'etudiants en nous ``adaptant'' \`a leur \'evolution
est largement insuffisant : le passage du lyc\'ee \`a l'universit\'e
est une plong\'ee dans un bain de formalisme
qui se transforme souvent en noyade !


\begin{center}
\noindent
\framebox{%
\parbox{0.9\textwidth}{
\textbf{La m\'etaphore musicale.}

Imaginez...

Vous \^etes tranquillement install\'e dans l'auditorium, \`a attendre
le d\'ebut du concert. Le noir se fait progressivement dans la salle,
la sc\`ene s'\'eclaire : \c ca va commencer ! D'ailleurs, le
chef d'orchestre appara\^\i t sur la sc\`ene et s'adresse au public :

`` -- Mesdames et messieurs, j'ai le regret de vous annoncer que, pour une
raison ind\'ependante de notre volont\'e, les musiciens ne peuvent pas
\^etre pr\'esents devant vous ce soir. Soyez s\^urs que je comprends votre
d\'eception, mais si vous y r\'efl\'echissez objectivement, vous devez
admettre que ceci n'a pas vraiment d'importance : la musique que nous
devions vous interpr\'eter est contenue tout enti\`ere dans la
partition ; nous allons vous projeter cette partition sur un \'ecran, 
et je vous aiderai en commentant les passages difficiles. Ceci aura
m\^eme l'avantage de permettre \`a chacun sa propre interpr\'etation,
au lieu d'\^etre contraint d'adopter la n\^otre !''
}
}
\end{center}


\subsection{Un potentiel gach\'e}
\emph{Nous pensons que la plupart
des \'etudiants ont la capacit\'e 
d'apprendre des math\'ematiques int\'eressantes.}
Il s'agit d'un postulat qui est loin de faire l'unanimit\'e,
mais remarquons qu'il est bien plus
int\'eressant que le postulat contraire ; qu'on peut en discuter la
formulation ("la plupart"...?), mais beaucoup d'\'etudiants ne
r\'eussissent pas \`a ma\^itriser les concepts 
malgr\'e beaucoup de go\^ut pour
les maths et un investissement personnel constant, et ce gachis
d'\'energie devrait nous amener \`a nous demander s'il n'est pas
possible de les aider \`a mieux 
r\'ecolter les fruits de leur travail.

Voici l'\'enonc\'e d'un exercice de DEUG\footnote{Il s'agit bien s\^ur
d'un ``vrai'' \'enonc\'e, qui a \'et\'e donn\'e tel quel aux \'etudiants.}~:

\label{ss.lagrangebeurk}
\begin{center}
\noindent
\framebox{%
\parbox{0.9\textwidth}{%
\textbf{Exercice.} Soit $n \in \N^*$. Soient $a_1, \cdots a_{n+1}$, $n+1$ nombres r\'eels
\emph{distincts} et $b_1, \cdots b_{n+1}$, $n+1$ nombres r\'eels
quelconques. On cherche les polyn\^omes $P \in \R[X]$ v\'erifiant les
conditions :

$$
(1) \ \ \ \ \ \ \ P=0 \mbox{ ou } d^0P \leq n, \ \ P(a_i)=b_i \mbox{ pour } 
i=1, \cdots, n+1.
$$
\monnumero D\'emontrer que s'il existe $P \in \R[X]$ v\'erifiant $(1)$, alors
$P$ est unique.

\monnumero Pour $i=1, \cdots, n+1$, on pose
$\displaystyle{P_i=\prod^{n+1}_{\stackrel{k=1}{k \neq i}}
\frac{X-a_k}{a_i-a_k}}$. D\'emontrer qu'il existe un polyn\^ome $P \in
\R[X]$ v\'erifiant $(1)$, de la forme $P=\lambda_1P_1+ \cdots
+\lambda_{n+1}P_{n+1}$, o\`u les $\lambda_i$ sont des constantes que
l'on d\'eterminera.

\textbf{Application :} d\'eterminer le polyn\^ome $P \in
\R[X]$ tel que $d^0P \leq 3, P(0)=-7, P(1)=-3, P(2)=3$ et $P(3)=11$.
}
}
\end{center}



Nous demandons au lecteur d'essayer de le lire avec les yeux d'un
\'etudiant de premi\`ere ann\'ee. Combien d'entre eux,
m\^eme remplis de bonne volont\'e, sont capables
de tirer profit d'un tel \'enonc\'e ?
Pour avoir acc\`es au sens de l'exercice, l'\'etudiant doit
d\'ecrypter un
``langage convenu, st\'er\'eotyp\'e et sans franchise, command\'e par une
orthodoxie'', d\'efinition de la langue de bois\footnote{Selon le
dictionnaire de l'Acad\'emie Fran\c{c}aise,
\htmladdnormallink{http://www.academie-francaise.fr/dictionnaire/}{http://www.academie-francaise.fr/dictionnaire/}.}...
 



\subsection{Le point de vue du math\'ematicien}\label{ss.pdv}
Comment expliquer l'\'echec des \'etudiants si on refuse de le
mettre sur le compte d'une incapacit\'e chronique \`a faire des maths ?
Nous pensons que malgr\'e les efforts d'adaptation, les
math\'ematiciens ont tendance \`a oublier que leur point de vue n'est
pas naturel~; or l'enseignement actuel ne s'adresse trop souvent qu'\`a des
\'etudiants qui auraient adh\'er\'e \`a ce point de vue sans se poser de
questions.

La distance qui s\'epare l'attitude des \'etudiants de celle des
math\'ematiciens appara\^it dans les r\'esistances et les
incompr\'ehensions~: "est-ce qu'on doit vraiment d\'emontrer \c{c}a ?", "il faut vraiment
utiliser la d\'efinition de la limite ?", "c'est \'evident !"...\footnote{Un type
d'activit\'e d\'esar\c{c}onne particuli\`erement les \'etudiants, celui qui
consiste \`a "jouer \`a ne pas savoir" : par exemple, quand on explique
la construction des nombres complexes \`a des \'etudiants qui "savent
bien" que les nombres complexes existent, puisqu'ils les ont d\'ej\`a
rencontr\'es ! (et qui savent bien que 0x1=0 !!)}

Un des buts du DEUG devrait \^etre d'amener les \'etudiants \`a rentrer
dans le formalisme, \`a en comprendre la n\'ecessit\'e et la richesse, \`a
accepter ses r\`egles contraignantes ; et aussi \`a comprendre les liens
subtils entre formalisme et intuition, rigueur et imagination
(solf\`ege et musique !),
\`a savoir passer du plan
intuitif au plan formel
(transformer une id\'ee en preuve) et r\'eciproquement
(lire un cours et se construire une repr\'esentation des concepts).

Mais il ne faut surtout pas consid\'erer que les \'etudiants qui arrivent
\`a l'universit\'e ont d\'ej\`a franchi ces obstacles\footnote{\label{rigint}Des r\'eactions
d'enseignants du secondaire au nouveau programme de premi\`ere S
mettent \`a jour de mani\`ere \'eloquente l'obstacle constitu\'e par
l'apparente contradiction entre rigueur et intuition~: 
``La r\'eaffirmation de l'importance
de la rigueur et la d\'emonstration comme principes math\'ematiques de
base est fortement appr\'eci\'ee \emph{mais 
apparaît en contradiction avec un recours fr\'equent \`a l'intervention de
l'intuition}'' (c'est nous qui soulignons, voir
\htmladdnormallink{http://www.eduscol.education.fr/D0015/default.htm}{http://www.eduscol.education.fr/D0015/default.htm}).}. 


%*************
%*************
\section{Tentative de r\'eaction : quelques remarques g\'en\'erales}
Le commentaire suivant, suscit\'e par les enseignements du primaire et
du secondaire, nous para\^\i t \'egalement pertinent pour l'universit\'e~:
\begin{center}
\framebox{%
\parbox{0.9\textwidth}{%
\emph{``De plus en plus d'\'el\`eves sont en dehors de la logique des
savoirs. Or pour que l'\'ecole fonctionne, il faut partir des
\'el\`eves tels qu'ils sont (et ne pas y rester...). Ce qui pose le
redoutable probl\`eme du sens du savoir qu'on enseigne et du plaisir
qu'on peut y trouver, pour les \'el\`eves et pour nous enseignants
(...). Le r\^ole des enseignants n'est pas d'enseigner, mais de faire
que les \'el\`eves apprennent (...). Si l'\'el\`eve n'est pas
mobilis\'e intellectuellement, l'enseignant est compl\`etement
d\'emuni.'' }

\flushright{Bernard Charlot, professeur de sciences de l'\'education \`a
l'universit\'e Paris VIII Saint-Denis.}
}
}
\end{center}


\subsection{Avoir sans cesse \`a l'esprit que notre t\^ache principale est de
motiver les \'etudiants}

Nous ne nions pas le fait que beaucoup d'\'etudiants 
ont une attitude passive en cours ou en TD, que 
certains viennent avec l'id\'ee qu'on peut apprendre des maths
comme on regarde la t\'el\'evision, ni les comportements que 
cette croyance induit vis-\`a-vis des enseignants ;
mais nous pensons encore une fois que ces attitudes 
ne sont pas in\'eluctables,
qu'elles doivent nous questionner ; que les \'etudiants ont un
potentiel de curiosit\'e intellectuelle qu'on a tendance \`a largement
sous-\'evaluer et surtout \`a sous-utiliser.

En particulier, si on accepte de se mettre cinq minutes dans la peau
d'un \'etudiant moyen, il faut bien admettre que ce qu'on lui propose
est d'aspect r\'ebarbatif ; s'il n'arrive pas \`a d\'epasser l'aspect
formel, notre enseignement le met dans la situation de quelqu'un qui
apprendrait le solf\`ege sans jamais faire de musique !

L'id\'ee d'apprentissage sans plaisir est presque antinomique, et
d'autant plus absurde que le plaisir \`a faire des math\'ematiques est
certainement un des moteurs de la recherche. Comment faire en sorte,
sans d\'emagogie,
qu'il devienne aussi un moteur de l'enseignement ?


\subsection{Les \'etudiants sont divers, il faudrait diversifier les angles
d'approche}

Le plaisir de faire des math\'ematiques peut rev\^etir des formes
diverses : plaisir ludique, plaisir de la d\'ecouverte et de
l'exploration, plaisir de la compr\'ehension, de la
contemplation d'une th\'eorie harmonieuse, qui cohabitent
d'ailleurs dans l'activit\'e du chercheur.

Il est possible de proposer aux \'etudiants, en plus
des exercices habituels, des
activit\'es dont le sens est plus imm\'ediatement perceptible que
celui contenu dans les exercices purement techniques.
 Ce point de vue est bien s\^ur  illustr\'e par les exercices
de la base de donn\'ees.

Il nous semble qu'il y a m\^eme deux cat\'egories d'\'etudiants pour
lesquels un enseignement centr\'e sur la technique peut produire des
catastrophes. La premi\`ere concerne  les futurs profs de maths, qui risquent dans
ces conditions de garder une
id\'ee v\'eritablement fausse, parce que trop partielle, de la discipline qu'ils enseignent
(comme, par exemple, de ne pas \^etre conscient de l'importance de
l'aspect exp\'erimental, au sens large, dans les math\'ematiques en train
de se faire~; voir aussi la note \ref{rigint}, partie \ref{ss.pdv}).
La deuxi\`eme concerne les \'etudiants dont les math\'ematiques ne
sont pas la discipline principales~: ceux-ci sont souvent tr\`es r\'efractaires aux aspects
techniques, mais plus sensibles aux applications ; un cours de maths
classique est ici totalement inappropri\'e, et le manque d'effort des
math\'ematiciens pour se mettre \`a la port\'ee de leur public est en partie
responsable de la sous-utilisation des maths  dans les autres
disciplines (et des r\'eductions du volume horaire affect\'e aux maths
dans les enseignements).




\subsection{Les applications peuvent aider \`a donner un sens aux concepts}
Nous voudrions d\'evelopper le point suivant :
on ne fait pas assez l'effort de chercher \`a pr\'esenter \`a tous les
\'etudiants des applications des concepts enseign\'es,
notamment des applications externes aux
math\'ematiques. Pourtant, il y a l\`a une
grande source de motivation \`a exploiter. Il nous semble
qu'une partie du
travail de mod\'elisation devrait \^etre int\'egr\'ee aux cours de maths~; ceci
permettrait de faire sentir la puissance des concepts math\'ematiques,
leurs origines, et leur
g\'en\'eralit\'e (qui est une des raisons pour \'etudier des
concepts apparemment tr\`es abstraits et d\'econnect\'es du r\'eel).
\footnote{Remarquons aussi que le
d\'eveloppement des liens avec les autres disciplines scientifiques
correspond \`a une tendance importante de la recherche math\'ematique actuelle.}

Voici un exemple. L'enseignement de l'alg\`ebre lin\'eaire est connu
pour \^etre tr\`es d\'elicat, en particulier parce que difficile \`a
motiver (\emph{a posteriori}, la th\'eorie permet d'unifier une
quantit\'e impressionnantes
de probl\`emes, et de donner un point de vue
g\'eom\'etrique ; mais comme chaque probl\`eme particulier pourrait
\^etre r\'esolu avec des syst\`emes d'\'equations lin\'eaires, aucun
ne suffit \`a justifier \emph{a priori} l'investissement \'enorme qui
est demand\'e \`a l'\'etudiant). D\`es que la th\'eorie est
suffisamment avanc\'ee, on devrait donc proposer aux \'etudiants beaucoup
d'applications, les plus vari\'ees possibles. Par exemple,
une grande quantit\'e de probl\`emes conduisent, par une
mod\'elisation simple, \`a des syst\`emes dynamiques lin\'eaires
(probl\`emes de flux, \'evolution de la population d'un pays, de la
fr\'equence d'un g\`ene dans une population : voir par exemple les
exercices \htmladdnormallinkfoot{\emph{Syst\`emes dynamiques lin\'eaires}}{http://matexo.emath.fr/exemaalt/exos\_individuels/pdf\_navigable/systemes\_dynamiques\_lineaires.pdf},
\htmladdnormallinkfoot{\emph{G\`enes sur les chromosomes
sexuels}}{http://matexo.emath.fr/exemaalt/exos\_individuels/pdf\_navigable/chromosomes-sexuels.pdf}),
dont l'\'etude utilise la r\'eduction des endomorphismes ; or ces
probl\`emes sont tr\`es rarement pr\'esent\'es aux \'etudiants, qui sont pourtant des experts
en calculs de puissances d'une matrice... 

Un autre exemple, dans le m\^eme ordre d'id\'ee, concerne les
\'equations diff\'erentielles : souvent, en DEUG, elles n'apparaissent que sous
forme d'\'equations diff\'erentielles lin\'eaires, comme
un probl\`eme purement alg\'ebrique qu'on r\'esoud en appliquant les
techniques de r\'eduction des endomorphismes (et la plupart du temps sans faire
un seul dessin). C'est l'exemple typique de th\'eorie tr\`es proche
des applications, et paradoxalement inutilisable en dehors du contexte
st\'er\'eotyp\'e des
exercices de TD\footnote{En tout cas inutilis\'ee : demandez aux \'etudiants
si il leur est d\'ej\`a arriv\'e de diagonaliser une matrice pour
r\'esoudre une \'equation diff\'erentielle dans un
exercice de physique...}. Pour que cet enseignement ait un sens, il
faudrait partir de beaucoup plus loin (exemples de probl\`emes
d'origine les plus diverses possibles 
conduisant \`a des \'equations diff\'erentielles, notion d'espace des
phases) et surtout accepter d'y revenir (qu'apporte la th\'eorie sur
le probl\`eme de d\'epart ?).

Ces deux exemples ont en commun de permettre d'expliquer pourquoi le
math\'ematicien fait sa th\'eorie dans un espace de dimension
quelconque, et pas seulement dans notre espace tridimensionnel, point
de vue que beaucoup d'\'etudiants ont du mal \`a admettre faute
d'avoir touch\'e du doigt la justification concr\`ete : l'espace du
math\'ematicien qui \'etudie un mod\`ele est rarement l'espace
physique, mais bien plus souvent un espace de param\`etres qui n'ont
pas de raison de se limiter \`a trois...

Insistons sur le fait que le propos n'est pas du tout de justifier les
math\'ematiques au yeux des \'etudiants, mais de donner \`a voir des
``cha\^{\i}nes de sens'' les plus longues possibles.

Soulignons une difficult\'e : nous-m\^emes, enseignants, sommes
pass\'es par cet apprentissage qui n'explore pas les liens avec les
autres disciplines ; bien souvent, ces liens nous sont
inconnus ! D'o\`u la n\'ecessit\'e de mettre en commun nos trouvailles
pour sortir de ce cercle vicieux.





\subsection{Poser les questions avant de donner les r\'eponses.}
\label{ss.quesrep}
Dans le discours logique, 
et souvent aussi dans le discours
scolaire, les d\'efinitions des objets math\'ematiques 
sont un point de d\'epart ; or
historiquement, elles sont au contraire le r\'esultat d'une longue
r\'eflexion, un ``elixir'' selon le mot de Jean-Pierre
Kahane.\footnote{\label{n.gb}Voici une explication lumineuse de ce point : ``Le
savoir constitu\'e se pr\'esente sous des formes diverses, par exemple
sous forme de questions et de r\'eponses. La pr\'esentation axiomatique
est une pr\'esentation classique des math\'ematiques.

En plus des vertus scientifiques qu'on lui connait, elle para\^{\i}t
merveilleusement adapt\'ee \`a l'enseignement. Elle permet \`a chaque
instant de d\'efinir les objets que l'on \'etudie \`a l'aide des notions
pr\'ec\'edemment introduites et, ainsi, d'organiser l'acquisition de
nouveaux savoirs \`a l'aide des acquisitions ant\'erieures. Elle promet
donc \`a l'\'etudiant et \`a son professeur un moyen d'ordonner leur
activit\'e et d'accumuler dans un minimum de temps un maximum de
``savoirs'' assez proches du ``savoir savant''. \'Evidemment, elle
doit \^etre compl\'et\'ee par des exemples et des probl\`emes dont la
solution exige la mise en {\oe}uvre de ces savoirs.

Mais cette pr\'esentation efface compl\`etement l'histoire de ces savoirs,
c'est-\`a-dire la succession des difficult\'es et des questions qui ont
provoqu\'e l'apparition des concepts fondamentaux, leur usage pour poser
de nouveaux probl\`emes, l'intrusion de techniques et de questions n\'ees
des progr\`es des autres secteurs, le rejet de certains points de vue
trouv\'es faux ou maladroits, et les innombrables querelles \`a leur
sujet. Elle masque le ``vrai'' fonctionnement de la science impossible
\`a communiquer et \`a d\'ecrire fid\`element de l'ext\'erieur, pour mettre \`a sa
place une g\'en\`ese fictive. Pour en rendre plus facile l'enseignement,
elle isole certaine notions et propri\'et\'es du tissus d'activit\'e o\`u
elles ont pris leur origine, leur sens, leur motivation et leur
emploi. Elle les transpose dans le contexte scolaire. Les
\'epist\'emologues appellent \emph{transposition didactique} cette
op\'eration. Elle a son utilit\'e, ses inconv\'enients et son r\^ole, m\^eme
pour la construction de la science. Elle est \`a la fois in\'evitable,
n\'ecessaire et en un sens, regrettable. Elle doit \^etre mise sous 
surveillance.'' Guy Brousseau (1986), Fondements et m\'ethodes de la
didactique des math\'ematiques. {\it Recherches en didactique des
math\'ematiques} 7(2) 33-115. Et aussi dans {\it Th\'eorie des situations
didactiques}, Guy Brousseau, La pens\'ee sauvage \'editions, 1998.}
Ce qui est naturel, c'est de
vouloir r\'esoudre des probl\`emes, r\'epondre \`a des questions ;
par contre, il est raisonnable de refuser d'apprendre un concept
difficile si on n'en voit pas l'utilit\'e. L'\'etudiant ne peut bien
s\^ur pas refaire tout le cheminement historique ; mais
le plus souvent possible, on devrait prendre le temps de le laisser
r\'efl\'echir \`a un probl\`eme qui motive le concept qu'on
souhaite introduire. Dans cette optique, l'id\'eal serait de
remplacer tous les cours magistraux par des cours-TD int\'egr\'es ;
mais puisque, pour des questions de gros sous,
ceci ne semble pas \^etre au menu dans un avenir proche,
on devrait essayer de r\'efl\'echir \`a la possibilit\'e de rendre
les cours magistraux compatibles avec cette approche.

A une \'echelle plus petite (donc plus facile \`a mettre en place),
beaucoup de d\'efinitions ou de
th\'eor\`emes qui interviennent dans le cours sont des variantes de
notions introduites pr\'ec\'edemment~; l\`a encore, il pourrait \^etre
fructueux, par exemple, de laisser les \'etudiants \'ecrire seuls les
d\'efinitions concernant les limites infinies apr\`es qu'on leur ait
donn\'e celles des limites finies, ou d'imaginer les \'enonc\'es des
th\'eor\`emes d'intervertion sur les s\'eries lorsqu'ils connaissent
ceux sur les suites. Ces activit\'es vont dans le sens d'une
appropriation du formalisme par l'\'etudiant (et faciliteraient bien
s\^ur la m\'emorisation).

Dans le m\^eme ordre d'id\'ees, les TP sur machines devraient permettent de
d\'evelopper les activit\'es exp\'erimentales (voir par exemple
l'exercice \htmladdnormallinkfoot{\emph{Trouver la plus grande valeur
propre par une m\'ethode it\'erative}}{http://matexo.emath.fr/exemaalt/exos\_individuels/pdf\_navigable/valeur-propre-iterative.pdf}).


En tout cas, le respect trop strict de l'ordre sacro-saint 
``d\'efinitions-th\'eor\`emes-exercices d'application'' nous semble un
des facteurs qui contribue le plus \`a tuer la curiosit\'e naturelle
des \'etudiants sur laquelle l'enseignement devrait s'appuyer, et \`a
encourager les attitudes passives.

\subsection{ Faire en sorte que la d\'emonstration devienne le plus possible
une n\'ecessit\'e int\'erieure, le moins possible un acte
impos\'e par le jeu scolaire.}

A l'origine, les id\'ees de d\'emonstration et de langage formel ont
\'et\'e invent\'ees dans le but d'obtenir un discours d\'enu\'e de
toute ambigu\"it\'e, que chacun peut utiliser pour se convaincre (et
convaincre les autres) de la v\'eracit\'e d'une affirmation.

On constate que dans le cadre scolaire, ces id\'ees originelles sont
totalement d\'etourn\'ees. Ils est rare que les \'etudiants ressentent
le pouvoir convainquant des d\'emonstrations qu'ils subissent en
cours, ce qui est compr\'ehensible vu leur difficult\'e \`a rentrer
dans le formalisme utilis\'e (et donc leur incapacit\'e \`a distinguer
une preuve juste d'une ``preuve'' fausse)
; et celles qu'ils produisent en retour viennent d'une
demande de l'enseignant (qui en g\'en\'eral est pourtant d\'ej\`a
convaincu du r\'esultat \`a prouver !!).

Voici un exemple particuli\`erement frappant qui illustre ce rapport
tordu \`a la d\'emonstration : dans un examen, en question de cours,
on demande de prouver l'unicit\'e dans la division
euclidienne. Beaucoup d'\'etudiants ont \'ecrit en r\'eponse
quelque chose qui ressemble d'assez pr\`es \`a la preuve donn\'ee dans le
cours ; mais aucun n'a utilis\'e au cours de la preuve
l'argument-cl\'e, \`a savoir
le fait que le degr\'e du reste est strictement inf\'erieur au degr\'e du
polyn\^ome par lequel on divise ! Ici, le contexte scolaire conduit
\`a une parodie d'activit\'e math\'ematique...
\footnote{Au passage, ceci montre aussi que
le probl\`eme n'est pas tellement que ``les \'etudiants ne travaillent pas'',
mais plut\^ot qu'une grande partie de leur travail n'a pas de sens.}
\footnote{Remarquons qu'on rencontre des probl\`emes similaires en sciences
exp\'erimentales : en Travaux Pratiques, l'\'el\`eve qui n'obtient pas
les bonnes valeurs est souvent p\'enalis\'e, ce qui l'incite \`a
ajuster ses mesures \`a la th\'eorie ; que peut-il alors
comprendre de la d\'emarche scientifique ?}




La d\'emonstration est pourtant un outil fondamental des
math\'ematiciens, auquel nous refusons tous de renoncer. Nous
proposons quelques pistes :

- Dans un monde id\'eal, l'enseignant n'exigerait jamais qu'un
\'etudiant d\'emontre un \'enonc\'e donn\'e ; au contraire, on devrait
arriver \`a ce que l'\'etudiant ressente \emph{de lui-m\^eme} le
besoin d'\'ecrire des d\'emonstrations...

- Dans le monde r\'eel, \emph{on devrait \'eviter au
maximum de demander \`a un
\'etudiant de prouver un \'enonc\'e sans incertitude}~: la
pr\'esence d'une incertitude (par exemple sur les hypoth\`eses
exactes, ou sur le r\'esultat d'un calcul) doit redonner un sens \`a
la recherche d'une preuve. On peut ainsi
imaginer de donner des \'enonc\'es avec des ``hypoth\`eses \`a
trous''\footnote{Dans la formulation ci-dessus de l'exercice sur les
polyn\^omes de Lagrange (paragraphe \ref{ss.lagrangebeurk}), le
r\'edacteur a pr\'ecis\'e (et soulign\'e !) l'hypoth\`ese disant que
les abscisses doivent \^etre deux \`a deux distinctes ; or il s'agit
d'une hypoth\`ese dont on voit tr\`es facilement la n\'ecessit\'e,
qu'on peut donc demander aux \'etudiants de d\'ecouvrir par
eux-m\^emes ; au contraire,
il est tr\`es probable qu'avec un tel \'enonc\'e les \'etudiants
ne se posent pas de question, et donc ne per\c coivent pas la raison
d'\^etre de cette hypoth\`ese !}
(voir par exemple la partie d\'emonstration de 
l'exercice \htmladdnormallinkfoot{\emph{Trouver la plus grande valeur
propre par une m\'ethode it\'erative}}{http://matexo.emath.fr/exemaalt/exos\_individuels/pdf\_navigable/valeur-propre-iterative.pdf}).
Il y a l\`a tout un travail 
astucieux de reformulation des \'enonc\'es d'exercices \`a effectuer.

Soulignons un
point important : l'incertitude peut \^etre petite, mais elle ne
doit pas \^etre factice, comme dans l'exemple suivant (donn\'e \`a un
examen) :
\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.9\textwidth}{
\textbf{Exercice.}
\setcounter{no}{0}
Soient $r=(r_n)_{n \geq 0}$ et $s=(s_n)_{n \geq 0}$ les suites
r\'eelles d\'efinies par :
$$
r_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2} \mbox{ et }
s_n=r_n+\frac{1}{n}, \ \ \ \ n \geq 1.
$$
\monnumero Les suites $r$ et $s$ sont-elles adjacentes ?

\monnumero Les suites $r$ et $s$ sont-elles convergentes ? (On ne demande
pas leurs limites.) Si oui, trouver une valeur de $n$ telle que le
nombre $r_n$ repr\'esente les limites des suites $r$ et $s$ avec une
erreur inf\'erieure \`a $10^{-2}$.
}}
\end{center}
Si la difficult\'e est telle qu'on ne peut pas vraiment transformer
l'exercice en exercice ouvert, mieux vaut sans doute garder le
traditionnel ``montrer que...'' (ou changer compl\`etement d'exercice !).


Dans le m\^eme ordre d'id\'ees, on a souvent beaucoup de mal \`a
expliquer \`a un \'etudiant pourquoi la preuve qu'il propose n'est
pas satisfaisante, justement parce que le jeu auquel on joue,
c'est-\`a-dire le pourquoi de la d\'emonstration, n'est
pas clair ; cette difficult\'e dispara{\^\i}t si
le manque de rigueur le conduit \`a un \'enonc\'e faux.



- Pour  que les \'etudiants ne c\`edent pas \`a la tentation de m\'emoriser
  sans comprendre, les preuves demand\'ees en ``questions de cours''
 ne devraient jamais se  pr\'esenter exactement sous la forme donn\'ee en
  cours : on peut ainsi demander aux \'etudiants d'\'ecrire la d\'emonstration dans un cas
  particulier, ou dans un contexte un peu diff\'erent.
\footnote{En
  recherche \'egalement, on ne s'approprie vraiment une d\'emonstration
  difficile qu'en ayant essay\'e de la recycler, ce qui permet de voir
  pr\'ecis\'ement o\`u sert chaque hypoth\`ese.}


- Il faudrait garder \`a l'esprit que la d\'emonstration prend tout
son sens lorsque l'on prouve des propri\'et\'es surprenantes ; on ne
peut pas esp\'erer faire ressentir aux \'etudiants la n\'ecessit\'e
des d\'emonstration en leur prouvant, au tout d\'ebut de leur
s\'ejour \`a l'universit\'e, que la limite de la somme est
\'egale \`a la somme des limites, propri\'et\'e qu'ils connaissent
depuis longtemps. On peut penser que leur conviction que cette
propri\'et\'e est vraie est fond\'ee sur l'habitude et que c'est une
mauvaise raison, mais, encore une fois, nous devons partir des
\'etudiants tels qu'ils sont. Sans doute devrait-on attendre un peu
avant de les faire go\^uter \`a ce genre de preuves, dont le r\^ole
est parfaitement clair une fois qu'on a acquis une certaine
maturit\'e math\'ematique ; et si on ne peut pas s'en passer, on
devrait au moins prendre des pr\'ecautions, admettre qu'il s'agit d'un
jeu tr\`es particulier, qui peut dans un premier temps para\^{\i}tre
artificiel. 

- Le travail en groupe peut aussi contribuer \`a r\'ehabiliter la
fonction de persuasion de la d\'emonstration, si l'on arrive \`a
obtenir que tous les \'etudiants d'un groupe donn\'e comprennent
compl\`etement
tout ce que produit le groupe, ce qui obligerait chacun \`a
trouver un moyen pour convaincre les autres de la justesse de ses
id\'ees. Plus g\'en\'eralement, on devrait d\'evelopper les activit\'es
 pouvant favoriser le dialogue math\'ematique entre les \'etudiants.



\subsection{En permanence, penser \`a aider l'\'etudiant
\`a comprendre ``\`a quoi on joue''}
\label{ss.jeu}
Les probl\`emes de langages sont rarement explicit\'es : que signifie
``r\'esoudre une \'equation'' ? Qu'est-ce qu'une conjecture,
un axiome, une hypoth\`ese plus forte ou plus faible, un th\'eor\`eme plus
faible ou plus fort ? Pourquoi le prof pense-t-il que la conclusion
 ``la s\'erie converge si $\alpha$ est sup\'erieur \`a $0$'' ne donne pas la
r\'eponse pour toutes les valeurs de $\alpha$ ? 



Un probl\`eme proche provient de la diversit\'e des niveaux de
signification auxquels on se situe : niveau formel (le discours
math\'ematiques proprement dit)\footnote{En fait, le discours n'est
jamais compl\`etement formalis\'e : il s'agit donc plut\^ot d'un niveau
semi-formel, ce qui complique encore la situation ; d'autant que le
degr\'e de formalisation d\'epend fortement du contexte math\'ematique
(comparer les preuves classiques de th\'eorie des ensembles, d'alg\`ebre ou
d'analyse) et du contexte social, c'est-\`a-dire des connaissances et de
la maturit\'e math\'ematique du
public vis\'e (comparer un article de recherche \`a
un livre de DEUG)~; sans compter l'influence de l'humeur du professeur...},
 niveau intuitif (qui donne son sens au
discours math\'ematique), niveau m\'ethodologique
(le discours sur le discours), {\it etc}... 

Voici un exemple. Quand on expose la r\'esolution d'un exercice,
on a souvent un double objectif : expliquer la solution, et expliquer
comment on a trouv\'e la solution (ou plut\^ot, comment l'\'etudiant
aurait pu la trouver).
Le deuxi\`eme objectif est clairement aussi important que le premier ;
malheureusement, il passe souvent au second plan : fondamentalement,
parce que dans la tradition math\'ematique, exposer la preuve
``s\`eche'' est consid\'er\'e comme suffisant (Gauss pensait m\^eme
que le math\'ematicien, une fois sa construction achev\'ee, se doit
de faire dispara\^itre les \'echaffaudages !)\footnote{C'est d'ailleurs le point de
vue demand\'e aux \'etudiants aux examens.} ; et aussi parce que c'est
beaucoup plus difficile \`a expliquer.

En pratique, on se
contente souvent de commentaires oraux, dont les \'etudiants ne retirent
pas grand'chose : puisque le prof ne l'\'ecrit pas noir sur blanc, c'est
que \c{c}a doit \^etre accessoire...
Pour souligner l'importance du ``comment on trouve'', il pourrait
\^etre int\'eressant 
d'essayer d'y consacrer une plus grande place au tableau ; on
pourrait envisager de dinstinguer clairement, de mani\`ere assez
syst\'ematique, les preuves formelles des commentaires.

En r\`egle g\'en\'eral, on devrait peut-\^etre expliciter plus souvent ces difficult\'es.
Les exercices propos\'es illustrent \'egalement ce point de vue.



\section{Tentative de r\'eaction : quelques remarques pratiques}


\subsection{But du serveur d'exercices}
Le but est d'obtenir un certain renouvellement du stock d'exercices de
DEUG, dans le sens d'une diversification des activit\'es et des points
de vue. Un des avantages de cet objectif est qu'il est suffisamment
peu ambitieux pour qu'on puisse imm\'ediatement y travailler
concr\`etement ; ceci est \'evidemment aussi un de ses d\'efauts. En
particulier, il y a certainement bien des choses \`a repenser dans le
contenu math\'ematique du DEUG ; cependant, r\'efl\'echir aux
exercices peut \'eventuellement aider \`a pr\'eparer des changements plus
importants ?

Voici quelques principes pratiques concernant plus particuli\`erement
les exercices.

\subsection{Faire l'effort d'expliciter les objectifs p\'edagogiques
de chaque feuille d'exercice}
En tant qu'enseignant, ceci nous semble indispensable 
\`a la fois pour soi-m\^eme, pour les coll\`egues qui liront 
l'exercice, et pourquoi pas pour les \'etudiants. Ceci permet
d'organiser les s\'eances d'exer\-cices selon une certaine
progression, de ne pas oublier de traiter certaines notions,
 d'\'eviter de pr\'esenter plusieurs difficult\'es
nouvelles d'un seul coup, d'\'evaluer l'enseignement (et pour
l'\'etudiant, de s'auto-\'evaluer). Ceci devrait permettre aussi de
travailler sur le ``\`a quoi on joue'' (voir la partie \ref{ss.jeu}), en explicitant certaines
r\`egles du jeu, qui peuvent changer d'un exercice \`a l'autre.
\footnote{\`A un niveau plus global, il est ahurissant de constater
que les objectifs des modules d'enseignement sont tr\`es rarement
explicit\'es, et jamais expliqu\'es aux enseignants d\'ebutants. Par exemple,
le r\^ole des enseignements utilisant des logiciels de calculs formels
n'est pas \'eclairci : s'agit-il d'apprendre \`a ma\^{\i}triser le
logiciel, ou juste de l'utiliser pour faire les calculs dans les
exercices classiques, ou de l'utiliser pour faire des maths
exp\'erimentales ?}




\subsection{Reformuler les exercices}
Le contenu math\'ematique
des exercices classiques n'est pas en cause, mais :

- pour y acc\'eder, l'\'etudiant doit souvent
franchir un barrage de formalisme ;

- les \'enonc\'es sont souvent pr\'esent\'es sous forme ferm\'ee :
``Montrer que...'' ; il faudrait 
introduire partout un minimum d'incertitude.

Si l'on souhaite vraiment que l'\'etudiant s'approprie
 le formalisme, il faut lui proposer des exercices o\`u
c'est \`a lui de formuler de mani\`ere pr\'ecise certaines
d\'efinitions, certains \'enonc\'es.
Dans cette optique, voici une reformulation de l'exercice sur les
polyn\^omes de Lagrange (voir la partie \ref{ss.lagrangebeurk})~;
 cet \'enonc\'e \'etait pr\'evu pour un
travail en petits groupes, sur une dur\'ee importante (plus de deux
heures), en pr\'esence d'un professeur. 
Bien s\^ur, on peut imaginer
des formulations interm\'ediaires entre celle-ci et celle de la
partie \ref{ss.lagrangebeurk}. 

\begin{center}
\noindent
\framebox{%
\parbox{0.9\textwidth}{%
Voici un sujet ouvert (inhabituel), 
avec un \'enonc\'e vague, o\`u votre premier travail
sera d'exp\'erimenter pour essayer de transformer cet \'enonc\'e
vague en un \'enonc\'e pr\'ecis, le plus int\'eressant et le plus
``joli'' possible ! Autrement dit, d'apprendre \`a ``fabriquer'' 
l'\'enonc\'e d'un th\'eor\`eme...


\textbf{Quelqu'un aurait-il vu passer un polyn\^ome ?}
Voici une question vague : si on se donne un certain 
nombre de points dans le plan $\R^2$, y a-t-il des polyn\^omes 
dont le graphe passe par ces points ? Y en a-t-il toujours, y en a-t-il 
un seul ou plusieurs, et quand il en existe, 
peut-on trouver une formule les donnant ?

Voici quelques suggestions comme pistes de recherche
(avec l'id\'ee : quand un probl\`eme est trop difficile,
il faut essayer de le simplifier en commen\c cant 
par des cas particuliers...)~:
\begin{itemize}
\item Avez-vous une id\'ee intuitive de la r\'eponse ?

\item Essayer avec 2 points. Comment peut-on formuler le 
r\'esultat dans ce cas -l\`a ? Essayer de donner 
le ``meilleur'' \'enonc\'e possible.

\item Essayer avec trois points ?

\item Essayer avec quatre points, mais situ\'es sur l'axe des abscisses ;
puis \emph{\bf quatre points dont trois sont sur l'axe des abscisses}
;
puis quatre points dont deux sont sur l'axe des abscisses !
Puis r\'esoudre le 
cas avec quatre points.
\end{itemize}
}
}
\end{center}


\subsection{L'\'etudiant doit-il ``avoir appris son cours'' avant
le TD ?} 
Souvent, au d\'ebut du semestre, on exige des \'etudiants qu'ils
sachent leur cours en arrivant en TD. Quelle que soit la vigueur qu'on
mette dans cette exigence, on constate qu'au fil des TD  elle est de
moins en moins respect\'ee, et on est conduit soit \`a continuer \`a
faire comme si les \'etudiants connaissaient leur cours (et on incite
ainsi les \'etudiants \`a faire semblant de comprendre), soit 
\`a r\'eexpliquer rapidement en d\'ebut de s\'eance
les techniques utiles au TD.
Dans les deux cas,  ceci contribue \`a r\'epandre parmi les \'etudiants l'id\'ee que le
cours est \`a la fois incompr\'ehensible et inutile.

Il faudrait sans doute repenser ce rapport entre cours et TD. Pour la
plupart des \'etudiants, dig\'erer l'abstraction d'un cours de maths
sans l'aide des TD  est impossible ; et l'exigence ci-dessus conduit
au mieux (avec beaucoup de bonne volont\'e) \`a une m\'emorisation
st\'erile. Il serait beaucoup plus int\'eressant d'admettre cette
impossibilit\'e, et d'inciter les
\'etudiants \`a chercher les exercices en lien \'etroit avec leur
cours, en le consultant le plus souvent possible, les exercices aidant
\`a le comprendre. Ce point de vue devrait se ressentir sur les
\'enonc\'es des exercices.
On peut effectivement demander aux \'etudiants
d'avoir une certaine connaissance du cours avant le TD, \`a condition
de se limiter \`a des objectifs partiels et pr\'ecis (par exemple en
leur fournissant une liste de questions ``simples'', qui leur donne des
angles d'attaque) ; on pourrait aussi essayer
 qu'il y ait une relecture du cours imm\'ediatement apr\`es un TD.



\subsection{Le probl\`eme du temps}
Les exercices classiques ont l'avantage de permettre
un enseignement relativement rapide d'outils sophistiqu\'es (voir la
citation de Guy Brousseau dans la note \ref{n.gb}, partie \ref{ss.quesrep}).
Comme toute tentative d'apprentissage plus robuste,
les exercices ``alternatifs'' que nous proposons sont souvent
beaucoup plus co\^uteux en temps.

Face \`a la double contrainte horaires l\'egers/programme charg\'e,  ceci
 rend difficile le recours fr\'equent aux exercices non
classiques (et peut susciter l'opposition de certains coll\`egues). 

Pour contourner ces contraintes en douceur, une possibilit\'e consiste \`a
 utiliser les modules option\-nels du DEUG
(voir par exemple l'exp\'erience du module \emph{Culture Math\'ematique} en
DEUG MIAS \`a Orsay). On peut aussi utiliser les ``Devoirs
\`a la Maison''\footnote{Les DMs sont souvent massivement boycott\'es par les
 \'etudiants~; il ne serait donc pas ridicule d'essayer de les rendre
 plus motivants.}.

Bien entendu, il nous semble \'egalement souhaitable de diversifier les exercices
des TD  usuels. On peut esp\'erer que la perte en quantit\'e
sera compens\'ee par un gain en qualit\'e~; et la
motivation et l'\'eclairage apport\'es par les exercices
``alternatifs'' peuvent rendre
 plus efficaces les activit\'es plus techniques.


\subsection{R\'esistances}
Si l'on veut vraiment faire passer cette diversification dans les
m{\oe}urs (des enseignants et des \'etudiants),
il faudra sans doute atteindre une certaine masse critique : si
on se contente de proposer un exercice diff\'erent de temps en temps,
il sera juste ressenti comme un exercice bizarre~: ``d'ailleurs, il n'y en a pas
dans les annales d'examens''... Ce qui nous am\`ene \`a une deuxi\`eme
condition : tout changement de pratique, pour \^etre adopt\'e, doit avoir
une r\'epercussion d'une mani\`ere ou d'une autre sur
l'examen\footnote{Pour \'eviter les gros couacs, on peut envisager d'``exp\'erimenter''
sur les \'epreuves moins importantes : tests, interros...}. Il faudrait
donc introduire explicitement des questions plus ouvertes dans les
\'enonc\'es, ce qui n\'ecessite des \'epreuves plus longues (en temps,
pas en quantit\'e d'exercices). Au passage, cela pourrait contribuer
\`a diminuer l'importance excessive donn\'ee \`a la rapidit\'e : notre
but n'est pas de former les \'etudiants \`a passer des
concours, et l'universit\'e devrait pouvoir affirmer le droit \`a une
certaine lenteur.







\section{En guise de conclusion}

L'apprentissage des maths en DEUG est centr\'e sur la technique, ce qui
est peu motivant pour les \'etudiants, et 
aboutit \`a des connaissances trop superficielles pour faire
sens, trop fragiles pour \^etre utilisables. 

Pour rem\'edier \`a cette situation, il faudrait accepter de passer
un temps cons\'equent \`a utiliser le reste
de la riche palette du math\'ematicien : exploration,
exp\'erimentation sur papier ou sur ordinateur, simulation,
visualisation, formulation de conjectures, invention de
contre-exemples, \'ecriture de
d\'emonstrations, contr\^ole de la coh\'erence des r\'esultats obtenus,
application des concepts \`a des situations ext\'erieures aux maths,
analyse des limites des concepts et des techniques...

Pour avancer concr\`etement dans cette direction, nous proposons de
r\'efl\'echir aux exercices soumis aux \'etudiants,
et d'essayer d'enrichir massivement le stock  d'\'enonc\'es. Le
but central de cette page Web est donc de proposer des exercices
sur lesquels un effort de renouvellement (petit ou grand) a \'et\'e
fait. 


Ce renouvellement n'aura un sens que s'il atteint
une certaine masse critique ; or l'invention de nouveaux exercices
ou la reformulation des anciens n'est pas une entreprise facile. Ce
serveur esp\`ere devenir un lieu de mise en commun des efforts du plus
grand nombre d'enseignants.

Conclusion : COPIEZ NOS EXOS !
ENVOYEZ-NOUS LES V\^OTRES !

\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.9\textwidth}{
\textbf{Suggestion pratique :} on pourrait adopter la ``r\`egle'' suivante,
qui obligerait \`a un renouvellement minimal mais constant :
\emph{chaque feuille
d'exercices qu'un enseignant propose aux \'etudiants doit
comporter au moins un exercice invent\'e (ou en tout cas largement
reformul\'e) par l'enseignant.}
}}
\end{center}

Corollaire : \`a chaque nouvelle feuille notre base d'exercices doit
grossir un peu...

%\section{Mode d'emploi}




\small
\section*{Sources}
De nombreuses id\'ees, chip\'ees au cours de lectures ou de discussions,
ont \'et\'e r\'eutilis\'ees dans ce texte. En vrac et en oubliant
certainement bien des sources d'inspiration, citons~: le programme des
classes pr\'eparatoires (\htmladdnormallink{http://prepas.org/ups/maths/progs/index.html}{http://prepas.org/ups/maths/progs/index.html})~;
des expos\'es de Marc Legrand au CIES de Grenoble~; le livre introuvable de la commission
inter-IREM, \emph{Enseigner autrement en DEUG de maths premi\`ere ann\'ee}
(ou quelque chose comme \c{c}a) ;
le \emph{dictionnaire des math\'ematiques
\'el\'ementaires} de Stella Baruk (et surtout l'introduction qui est
un vrai bonheur)~; La \emph{Th\'eorie des situations didactiques} de Guy
Brousseau, et notamment le texte introductif (analyse de la
d\'ecouverte, par des enfants, de la d\'emonstration de th\'eor\`emes
concernant le jeu ``la course \`a 20'') ; les textes de la Commission sur l'ensei\-gne\-ment des
math\'ematiques (\htmladdnormallink{http://smf.emath.fr/Enseignement/index.html}{http://smf.emath.fr/Enseignement/index.html})~;
l'expos\'e de Jean-Pierre Kahane \`a l'Universit\'e de Tous Les
Savoirs ; une interview de Bernard Charlot dans le magazine de la
FSU~; le fabu\-leux petit livre de Jean-Marc Levy-Leblond, \emph{La physique
en question : m\'ecanique} (voir par exem\-ple
\htmladdnormallink{http://www.udppc.asso.fr/nouveautes/fourniss/livres/lli199903.htm\#physique\_en\_question\_meca}{http://www.udppc.asso.fr/nouveautes/fourniss/livres/lli199903.htm\#physique\_en\_question\_meca})~; 
un article de Jean Bricmont et Diana Johnstone dans le \emph{Monde
Diplomatique} d'août 2001,
{L'astrologie, la gauche et la science}~; sans oublier les
discussions avec les coll\`egues, et les \'echanges avec les \'etudiants... 


%*****************

\end{document}




